теория вероятн

Задача №10

Найти вероятность того, что на удачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5,либо тому и другому одновременно.

Решение

Двухзначные числа - т.е. от 10 до 99.  Всего это 99-10+1=90 чисел

т.к. мы выбираем случайно одно из этих чисел, то вероятность того, что оно окажется кратным зависит от количества кратных среди них. Чтобы посчитать количество кратных чисел в диапазоне от 10 до 99, можно поступить так: найти первое кратное число в диапазоне, и первое кратное, идущее после диапазона. Затем их разность делим на то число, количество кратных которому мы ищем.

  Для 2: первое кратное в диапазоне- это 10,  а первое кратное после диапазона- это 100

посчитаем количество кратных 2:  (100 - 10) / 2 = 90 / 2 = 45  (т.е. в нашем диапазоне 45 числа, кратных четырём)

Для 5: 10,  100,  и (100 - 10) / 5 = 90 / 5 = 18 (чисел, кратных пяти)

Далее: чтобы число было кратным четырём и пяти одновременно, нужно чтобы оно делилось на 2*5, т.е. на 10(здесь наименьшее общее кратное находится просто перемножением, так как 2 и 5 -это взаимно простые числа).

Соответственно, для 10-ти будет: 10,  100,  и (100 - 10) / 10 = 90 / 20 = 9 (9 чисел, кратных четырём и пяти одновременно)

Далее, найдём вероятности выпадения кратных чисел:

кратных 2: 

45 / 90 = 0,5

кратных 5: 

18 / 90 = 0,2

кратных 2 и 5: 

9 / 90 = 0,1

Задача №20

Имеются две урны: в первой 2 белых и 3 черных шара; во второй 2 белых и 2 черных. Из на удачу выбранной урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение

Пусть событие А состоит в том, что извлечен белый шар. Это событие может произойти совместно с одной из гипотез (событий):

Н1-выбрана первая урна;

Н2-выбрана вторая урна.

Вероятность выбрать ту или иную урну равна 1/2

Р(Н1)=Р(Н2)=1/2

Вероятность вынуть белый шар из первой урны- это условная вероятность Р(А/Н1), по условию задачи Р(А/Н1)=2/5. Аналогично, вероятность извлечь шар белого цвета из второй урны Р(А/Н2)=2/4=1/2.

По формуле полной вероятности находим:

Р(А)=Р(А/Н1)*Р(Н1)+Р(А/Н2)*Р(Н2)

Р(А)=2/5*1/2+1/2*1/2=0,45

Задача №30

Дана вероятность p появлений события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится а) ровно k раз б) не менее k раз в) не менее k1 раз и не более k2 раз

n=6; p=0,8; k=3; k1=2; k2=5.

В каждом из 500 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 220 раз; б) ровно 190 раз; в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз; г) меньше чем 235 раз.  Решение. При решении этой задачи используем теоремы Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).  а) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 220.  Найдем P₅₀₀(220).  Имеем:    Значение функции φ(x) найдем из таблицы:    б) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 190.  Найдем P₅₀₀(190).  Получаем:    в) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 180, b = 240.  Найдем P₅₀₀(180 < k < 240).  Имеем:    г) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 0, b = 235.  Найдем P₅₀₀(k < 235).  Имеем: