1 сем матем

ВАРИАНТ 15

Вычислить:

x3 ¡ 7x ¡ 2

1: lim

;

2: lim

tg 3x

;

5 + 2x ¡ 5x4

x!1

x!1

x!0

sin 8x

;

µ1 ¡ x

¡ 1 ¡ x3 ¶;

x!1

µ2x ¡ 1¶

3: lim

1

3

4: lim

x + 1

x

³

¡

+ 1´

x!1

+

6

x!1

2x ¡ 1

p

p

sin 5x + 1

;

5: lim

x2

x

x2

;

: lim

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

8

< ¡x; x < ¡1;

f(x) = x2 ¡ 1; ¡1 · x < 2; : 5; x ¸ 2:

ВАРИАНТ 16

Вычислить:

1: lim

5x ¡ 1 + x3

;

2: lim

1 ¡ cos x

;

3 x!¡1

x!1

2x4 ¡ x

x!0

x2

¶

µx + 1 ¡ x3

+ 1¶; 4 x!1

µ x ¡ 1

;

: lim

3

2

: lim

2x + 1

x

³

2

¡ 1 ¡

p

+ 1´

5 ¡ 4x

x!1

x!1

p

x2

sin 2x

5: lim

x2

;

6: lim

;

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

8

< ¡x + 3; x < 0; f(x) = cos x; 0 · x < ¼;

: ¡5; x ¸ ¼:

ВАРИАНТ 17

101

Вычислить:

1 ¡ 2x3 + 4x4

sin 3x

1: lim

;

2: lim

;

¡x3 + 2x ¡ 5

x!2

x!1

x!0 tg 4x

¶

;

µx2 ¡ 4 ¡ x ¡ 2¶; 4

x!1 µ1 ¡ 8x

2x+1

3: lim

7

x

: lim

5

³

p

p

x ¡ 1

5: lim

2x2

+ 1

x2

¡

1

; 6: lim

;

2 sin x2 + 5

x!1

¡

´

x!1

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

	8	x; x < ¡¼;
f(x) =		¡p	¼2 ¡ x2			; ¡¼ · x < ¼;
	:			¸
	<	3; x			¼:

ВАРИАНТ 18

Вычислить:

1: lim

¡3x2 + 5 + 3x3

;

2: lim

tg 2x

;

3 x!¡2

x!1

¡2x4 + x + 3

x!0 sin x2

µx + 2 ¡ x2 ¡ 4¶; 4

x!1 µ1 + 5x¶

4x

;

: lim

2

x

: lim

3

p

p

sin 3x

5

: lim

3x + 1

x2 + 2x

;

6: lim

;

x3

¡

5 x!1

³

¡

´

x!1

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить

характер точек разрыва, сделать чертеж:

f(x) = 8 x;x2

+ 1¡; 2

2 x < 1;

<

x <

;

·

¡3;

x

1¡:

:

¡

¸

ВАРИАНТ 19

Вычислить:

2x ¡ x3 + 5x7

tg x3

1: lim

;

2: lim

;

1 ¡ 4x + 8x6

sin 3x

3 x!4

x!1

x!0

;

µx2 ¡ 16

¡ x3 ¡ 64¶;

x!1

µ1 ¡ 7x¶

: lim

4

x

4: lim

5

2x¡1

102

p

p

x + 5

5: lim

³

x2

x2

¡ 2´; 6

: lim

;

x!1

3

+ 1 ¡

x!1 sin 3x ¡ 1

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить

характер точек разрыва, сделать чертеж:

f(x) = 8 x3

; 2 · x < 1;

¡10; x < ¡2;

< 2x +¡3;

x

1:

:

¸

ВАРИАНТ 20

Вычислить:

7x4 + 3x ¡ 8

sin 5x

1: lim

;

2: lim

;

x!1

1 + 2x ¡ 4x3

x!0 tg x3

;

3 x!¡3 µx2 ¡ 9

¡ x3 + 27¶;

x!1 µ1 + 7x¶

3x¡1

: lim

2

3x

4: lim

6

³

¡ 1 ¡

+ 1´

x!1

2

; 6

x!1

x2

+ 1

p

p

x

sin x2

+ 8

;

5: lim

x

: lim

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить

характер точек разрыва, сделать чертеж:

f(x) =

8 fxg; 0 · x < 1;

:

¡x2

¡ 1; x < 0;

¸

<

3;

x

1:

ВАРИАНТ 21

Вычислить:

4x3 + 7x2 + 2

sin 5x

1: lim

;

2: lim

;

x2 ¡ 5

tg 12x

x!¡2

x!1

¶

x!0

¶

µx2

¡ 4 ¡ x3 + 8

x!1 µ

3x + 1

2x+3

3: lim

3

2x

;

4: lim

7x ¡ 8

;

³

p

p

´

2x2

x

2

5

x!1

1

¡

2x

¡

3x

¡

1

x!1

¡

;

sin 2x ¡ 1

: lim

;

6: lim

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

8

> ¡1; x < 0;

>

f(x) = < sin x; 0 · x < ¼2 ; > cos x; ¼2 · x < ¼;

>

: ¡x; x ¸ ¼:

103

ВАРИАНТ 22

Вычислить:

8x3 + 3x2 ¡ 5

1: lim

;

2: lim

tg 2x

;

1 + 3x2 ¡ 4x4

3 x!¡1

x!1

x!0 sin x4

¶

;

µx2 ¡ 1 ¡ x + 1¶;

x!1 µ1 + 5x

7x¡1

: lim

3x

1

4: lim

4

³

p

p

1 ¡ sin 3x

5: lim

3x2

+ x

x2

¡

1

;

6: lim

;

x!1

¡

´

x!1

x + 2

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

8

< ¡x + 2; x < ¡1; f(x) = ¡x3; ¡1 · x < 2;

: x; x ¸ 2:

ВАРИАНТ 23

Вычислить:

1: lim

7x5 + x3 ¡ 2

;

2: lim

1

;

sin 3x ctg 5x

x!1 1

¡ 3x + 6x4

x!0

x!3 µx2 ¡ 9 ¡ x ¡ 3¶

x!1

µ2x + 2

¶

3: lim

x

6

;

4: lim

2x ¡ 1

x¡1

;

5

³

p

p

: lim

1 + sin 4x

5: lim

x2

¡

1

x2

¡

2x + 2 ;

6

;

x!1

¡

´

x!1

4 ¡ x

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

8

< ¡4; x < ¡1;

f(x) = ¡(x ¡ 1)2 + 1; ¡1 · x < 1;

:¡x; x ¸ 1:

ВАРИАНТ 24

104

Вычислить:

1: lim

2x3 + 3x2 ¡ 8

;

2: lim ctg x sin 4x;

3x5 ¡ 7x2 + 1

x!1

x!0

x!¡1 µx + 1

¡ x3 + 1¶

; 4 x!1 µ1 ¡ 7x¶

;

3: lim

x

2

: lim

2

x¡1

³

p

p

2 ¡ sin 3x

5: lim

x2

+ 1

x2 + 3x

¡

1

;

6: lim

;

x3 + 1

x!1

¡

´

x!1

7. Исследовать функцию на непрерывность и установить характер точек разрыва, сделать чертеж:

f(x) =	8 sin x; ¡¼¼ · x <			2 ;
	:	¡3; x < ¡¼;		¼
	<	3; x	2 :

105

Задание 9.

ВАРИАНТ 1

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

lim(2

¡

cos x)

1

:

x2

x 0

!

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

arcsin (x2

¡ 3y3) +

xy

= 3x:

2

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x = arctg

t+1

;

½ y = arcsintp¡11 ¡ t2

:

4. Найти производную функций:

a) y = arctg (x sin 3x);

b) y = r3 arcsin2

x

;

2

c) y = x2s4

5

5

µ3 arctg3 4x +

p

¶ :

arccos 6x

ВАРИАНТ 2

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

1

lim (tg x)x¡

¼

:

4

x!¼4

2.Найти производную функции y, заданной неявно:

arccos (x3 ¡ 2y2) +

x

= 4x2 ¡ 1:

2y

3.Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x = ln tg p

t3 + 2t;

½ y =

1

:

sin2

(ln t2)

4.Найти производную функций:

3

x2

2

a) y = rarccos2

;

b) y = ln tg (xe¡x

);

8

5

3

c) y = pxs4

µ3 arctg3 5x +

p

¶ :

arcsin 6x

106

ВАРИАНТ 3

1.Вычислить предел по правилу Лопиталя:

p 1 lim(cos x)x :

x!0

2. Найти производную функции y, заданной неявно: y3 = ¡x3 ¡ xy2 + arcsin (x + 2y):

3.Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

½x = ln p1 ¡ t2;

y = p11¡t2 arcsin t:

4.Найти производную функций:

µx ¶; b) y = q5 tg3 (e¡xx2); tg x

c) y =

x2

:

4

2

3

r³

+ 2parccos 6x´

arctg3 4x

ВАРИАНТ 4

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

1

xlim x

ex ¡ 1 :

!1

y

заданной неявно:

2. Найти производную функции

³,

´

arctg (xy) +

y

= y2 + x:

2x

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x =

t2 ln t

;

2

1

t

½ y = ln¡p

:

1 ¡ t2

4. Найти производную функций:

7

x2 + 1

3

a) y = rsin2

;

b) y = e¡2x arcsin5 ex

;

2

c) y =

x2

:

4

5

5

r³3 arctg5 3x +

p

´

arccos 4x

107

ВАРИАНТ 5

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

x 1 lim( )x¡2 :

x!2 2

2. Найти производную функции y, заданной неявно: arcctg (2x ¡ y) ¡ y2 = sin xy ¡ x4:

3.Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

½x = arctg 1+t¡p1t ;

y = arccos 1 ¡ t2:

4. Найти производную функций:

3x = s

a) y = ctg

µ

¶

;

b)

cos

µ

;

sin x

x2

x2 + 1

e¡

8

3

e¡2x

¶

4

y

c) y =

:

3

4

3

3

r³

+ 2parcsin

3x´

arcctg7 4x

ВАРИАНТ 6

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

x2

2x + 1

x

lim

:

¡

4x + 2¶

x!1 µx2

¡

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

x4 ¡ 2y2x2 + arcsin (x + 2y)2 =

y2

:

x

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

ctg3 p

x

=

t

¡

t2;

2

½ y =

p

arcsin(ln t3):

t+t2

4. Найти производную функций:

s

e5x

s

µ

x + 5

¶

µ x2

¶

a) y = 4

cos3

5x2 ¡ 3x

;

b) y = arcctg

7

sin5

e¡x

;

c) y =

:

4

5

3

r³

p

+ 3 arctg5 3x´

arccos 4x

108

ВАРИАНТ 7

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

1

lim(cos x + a sin bx)x :

x!0

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

exy +

y2

= cos (3xy) + y2:

3x

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x = tg3 p

;

t + t2

3

( y = 2pt

t¡¡t32t

:

4. Найти производную функций:

¶

5

a) y = s9

µ

arccos4

5x e¡x4

3x

;

b) y = 8qsin3

( x2 );

2

4

cos x

c) y = x3s4

µ

arccos

7x

¶

p

5

+ 3 arctg4 5x

:

3

ВАРИАНТ 8

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

1

lim (cos x)

sin x

:

x!0

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

x

x

2

3x

+ 2y2:

ey

+

= ctg

3y2

y

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x =

t2 ln t

;

2

½ y =

1¡

t

arctg(3

ln t4):

4. Найти производную

функций:

2

p

s

2x

s

µ

ctg 5x

¶

µ4

x2

¶

a) y = 5

ctg4

5x

¡ 3x

;

b) y = arctg 3

sin2

3¡

;

s5

c) y = p

p

5

+ 3 arctg3 6x

x3

:

arcsin

3

µ

3x

¶

109

ВАРИАНТ 9

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

x!1

µ2

¡

px2 + 1¶

lim x

¼

arcsin

x

:

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

x

sin2 x

3x

e¡y +

= 5 y

¡ y:

3y2

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x = 3arctg q

;

1t¡2t

( y = p

arccos6(p4

):

ln t4

¡

t3

4. Найти производную функций:

s

Ãs

!

µ

ctg 5x

¶

µ x2

¶

a) y = 5

ctg4

5x2

¡ 3x

;

b) y = ln

3

sin2

3¡2x

+ 1 ;

c) y =

3x

:

5

2

4

r³

+ 2parccos3 7x´

arctg4 5x

ВАРИАНТ 10

1. Вычислить предел по правилу Лопиталя:

lim (cos x)

1

:

sin x

x!0

2. Найти производную функции y, заданной неявно:

x

3y2

3y

e¡y

+

= 5¡

¡ y:

x

ctg x2

3. Найти y0(x)для заданной параметрически функции :

x = 2sin t2 ;

½ y =

ctg(5 ln(2t3)):

функций:

4. Найти производную

4

p

3

sin2 3x3¡6

tg

(2x)

; b) y = er

a) y =

x2

;

³

´

(arcsin3 px)

c) y =

e¡2x

:

5

5

4

r³

p

+ 3 arctg4 7x´

arccos5 8x

110