1 сем матем

трактовать функцию (42) как сечение функции u = F (x1; x2; : : : xn; z) = z ¡ f(x1; x2; : : : xn). Дифференциал е¸, согласно (39) равен

du = Xn @x@Fk dxk + @F@z dz:

k=1

Но, если точка находится на сечении (42), то приращение ¢u и, следовательно, дифференциал должны быть тождественно равны нулю. Отсюда получается соотношение

0 = Xn @x@Fk dxk + @F@z dz;

k=1

из которого можно вычислить dz:

Xn @F

dz = ¡ @x@Fk dxk

k=1 @z

Сравнивая с выражением (39) для дифференциала, получаем

@f		@F
		k
	= ¡	@x	; k = 1:2; : : : n:	(43)
@xk		@F
		@z

Это и есть формула для производных неявной функции.

Упражнение: Покажите, что для неявной функции x2 + y2 = 1 подсчет производной dx=dy по формуле (43) и из соотношения, полученного разрешением неявной функции, приводит к одинаковым результатам.

Производная сложной функции
Пусть в функции
z = f(x1; x2; : : : xn)	(44)

переменные xk; k = 1; : : : n, являются функциями другой переменной t.

xk = xk(t); k = 1; : : : n

(45):

В этом случае, после подстановки (45) в (44) z превращается в функцию аргумента t. Найдем е¸ производную, не вычисляя эту функцию явно.

Дифференциал dz равен

dz = Xn @x@fk dxk;

k=1

51

но, поскольку dxk = dxdtk dt из этой формулы получается

dz = Xn @f dxk dt; k=1 @xk dt

откуда и получается требуемая производная

				Xk
z0	=	dz	=	n	@f dxk	;	(46)
t		dt			@xk dt
				=1

Аналогично получается формула для частных производных сложной функции, если входящие в формулу (44) аргументы xk являются функциями нескольких переменных.

В механических приложениях часто встречается случай, когда одна из переменных xk совпадает с t. Пусть, например, x1 = t. Тогда из формулы (46) получается

				Xk
dz		@z		n	@f dxk
dt	=	@t	+	=2	@xk	dt	;

В этой формуле одновременно присутствуют и частная производная z по t – @z@t , отражающая изменение функции при изменении только первого аргумента t, при этом зависимость остальных переменных от t

не учитывается, и полная – dz , учитывающая изменение с изменением t остальных переменных. dt

Экстремум функции нескольких переменных

Из формулы (41) можно получить необходимое условие экстремума. Действительно, если точка x0 экстремальная, при перемещении е¸ в любом направлении (любом векторе k) приращение должно быть неположительным для максимума и неотрицательным для минимума. Это может быть только в том случае, если все частные производные равны нулю

@f	= 0; k = 1; 2; : : : n	(47)
@xk

Соотношения (47) представляют необходимое условие экстремума и содержат n уравнений, из которых, в принципе, могут быть определены n неизвестных – координат точки, кандидата на экстремум.

Достаточные условия экстремума могут быть получены из формулы Тейлора для многомерной функции. Обычно они весьма сложны.

52

Условный экстремум

Задача на условный экстремум состоит в выборе экстремальной точки среди точек, принадлежащих некоторому фиксированному множеству точек – допустимому множеству. Часто допустимое множество задается равенствами, включающими функции многих переменных.

Например, требуется минимизировать (максимизировать) функцию f(x) при дополнительных условиях

gs(x) = cs; s = 1; 2; : : : m

(48):

В методе Лагранжа эта задача сводится к задаче на безусловный экстремум функции

m
Xs
F (x) = f(x) + ¸sgs(x)	(49)
=1

где ¸s – постоянные числа, называемые множителями Лагранжа. Совокупность n необходимых условий оптимальности

@x@Fk = 0; k = 1; 2; : : : n

и m ограничений (48) образуют систему n + m уравнений для определе-

ния n + m неизвестных x1; : : : xn; ¸1 : : : ¸m.

Рассмотрим вывод метода Лагранжа для задачи с двумя переменными и одним ограничением

f(x; y; ) ¡ extr; g(x; y) = c

Допустим, точка (x; y) – экстремальная. Дифференциал функции f должен быть равен нулю при всех возможных смещениях из точки (x; y):

	@f	dx +	@f	dy = 0;	(50)
	@x		@y

а дифференциал функции g равен нулю в силу того обстоятельства, что значения этой функции не должны меняться

@g	dx +	@g	dy = 0;	(51)
@x		@y

Помножим (51) на постоянное число ¸ и сложим с (51). После пере-

группировки членов, получим
µ	@f	+ ¸	@g	¶dx +	µ	@f	+ ¸	@g	¶dy = 0	(52)
	@x		@x			@y		@y

53

µ ¶

@f@x + ¸@x@g dx = 0

Это равенство должно выполняться для любых допустимых приращений dx и dy. Выберем ¸ таким образом, чтобы выполнялось равенство

(53)

Тогда для выполнения (52) должно выполняться

µ	@f	+ ¸	@g	¶dy = 0	(54)
	@y		@y

Но условия (53) и (54) представляют необходимые условия экстремума функции F (x; y) = f(x; y) + ¸g(x; y), что и требовалось доказать.

54

Контрольные задания для практических занятий

Вариант I

Элементы математического анализа

1.

Вычислить производные функций:

y = xp

;

y =

x

;

y = xex2 ;

x

ln x

p

p

2

x2

1

2

y = sin

!x;

y =

px2

¡+ 1

;

y = ln(x +

x

+ 1):

2.

Найти максимум функций:

y = (x + 1)e¡x; y = x2(1 ¡ x):

3.

Построить графики функций:

y = x2e¡x y = xx + 1

x ¡ 1

Линейная алгебра

1. Перемножить матрицы:

4 ¡1

3 1

0 6 9 ¡5 10

5 8

¡4

3

2

5

@ 4 7 ¡3 A@ 9 6 5 A

2.

Найти обратную матрицу:

1

0

6

3

4

@

2

5

7

A

5

¡2

¡3

3.

Решить систему уравнений:

2x1 + 2x2 ¡ x3 + x4 = 4;

4x1 + 3x2 ¡ x3 + 4x4 = 6;

8x1 + 5x2 ¡ 3x3 + 4x4 = 12;

3x1 + 3x2 ¡ 2x3 + 2x4 = 6:

55

Дифференцирование функций нескольких переменных

1. Вычислить частные производные первого и второго порядка функций:

z = x2y3 + y; z = exy:

2. Вычислить дифференциал функции

z= ex¡y:

3.Найти условный экстремум функции

z = x2 + y2 ¡ xy + x + y ¡ 4 при x + y + 3 = 0:

56

Вариант II

	Элементы математического анализа
1. Вычислить производные функций:
	x2	+ 1													1				2
y =				;				y =										; y = xex		;
	x3	¡ x								x3 + 3x ¡ 1
	sin x		¡		cos x					p
														2
y =							; y =						x2 ¡ 1			;			y = (1 + 4x2)3:
	sinx + cos x
											px			+ 1
2. Найти максимум функций:
						y =			x			;		y = xe¡x:
									ln x
3. Построить графики функций:
						y = x2ex y = x										x ¡ 1
																x + 1
						Линейная алгебра
1. Перемножить матрицы:										10									1
					0	1		0	1						2	4		1
					@	0		1	1		A@				1	3		3	A
						1		1	0						3	2		1
2. Найти обратную матрицу:																1
								0	2			4			4
								@	1			3			1	A
									5	¡2					¡3

3. Решить систему уравнений:

3x1 ¡ 2x2 ¡ 5x3 + x4 = 3; 2x1 ¡ 3x2 + x3 + 5x4 = ¡3;

x1 + 2x2 ¡ 4x4 = ¡3; x1 ¡ x2 ¡ 4x3 + 9x4 = 22:

Дифференцирование функций нескольких переменных

57

1. Вычислить частные производные первого и второго порядка функций:

z = x2 ln y3 + y; z = e2xy:

2. Вычислить дифференциал функции

z= ex+y:

3.Найти условный экстремум функции

z = x2 + y2 ¡ xy + x + y ¡ 4 при x + y ¡ 3 = 0:

58

Вариант III

Элементы математического анализа

1. Вычислить производные функций:

		x3 + 1				x2		2 x2
	y =		; y =					; y = x e	;
		x3 ¡ x			x3 + 3x ¡ 1
					p
	y =	ln x ¡ x		; y =		x ¡ 1	;	y = (x + 4x2)3:
		ln x + x			px2 ¡ 1

2. Найти максимум функций:

y = lnx2x; y = x ¢ 2(x¡1):

3. Построить графики функций:

y = x2e¡x y = x				(x ¡ 1)2
				x + 1
	Линейная алгебра
1. Перемножить матрицы:			10 1		¡1	1 1
0 1	¡1 0
2	1	¡1	1		2	1
@ ¡1 1		1	A@ 0		3	3 A

2. Найти обратную матрицу:			¡1	1
0	1	1
@	0	¡5	1	A
	1	1	0

3. Решить систему уравнений:

2x1 + 2x2 ¡ x3 + x4 = 4; 4x1 + 3x2 ¡ x3 + 4x4 = 6; 8x1 + 5x2 ¡ 3x3 + 4x4 = 12; 3x1 + 3x2 ¡ 2x3 + 2x4 = 6:

Дифференцирование функций нескольких переменных

59

1. Вычислить частные производные первого и второго порядка функций:

z= x3 ; z = e2x¡y: y2

2.Вычислить дифференциал функции

z= x2y:

3.Найти условный экстремум функции

z = x2 + y2 ¡ 2xy + x + y ¡ 1 при x + y ¡ 2 = 0:

60