1 сем матем

Для гиперплоскости можно определить расстояние от точки до гиперплоскости, угол между гиперплоскостями и т.д., по аналогии с прямой на плоскости и плоскостью в трехмерном пространстве.

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой в пространстве Прямая может быть определена как пересечение двух плоскостей, т.е.

системой двух уравнений с двумя неизвестными

	A1x + B1y + C1z + D1	=	0	(22)
	A2x + B2y + C2z + D2	=	0

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0; z0) и парал-

лельной вектору l(a; b; c) получается из условия параллельности вектора

¡¡¡!

M0M(x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0), где M(x; y; z) – текущая точка, и вектора l:

	x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	(23)
	a		b		c

Упражнение: Покажите, что уравнения (23) представляют частный случай уравнений (22).

Уравнение прямой, проходящей через две точки

M0(X0; y0; z0) и M1(X1; y1; z1)

	x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	(24)
	x1 ¡ x0		y1 ¡ y0		z1 ¡ z0

(24) получается из (23), если в качестве вектора l взять вектор (x1 ¡ x0; y1 ¡ y0; z1 ¡ z0).

Угол между прямыми определяется как угол между соответствующими векторами l1 и l2.

Условие пересечения прямых в пространстве Две прямые пересекаются, если имеется решение системы четырех

линейных уравнений с тремя неизвестными, представляющей комбинацию систем (22) для обеих прямых.

Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

(25)

31

После преобразования координат, состоящего в надлежащих параллельном переносе и развороте, уравнение (25) приводится к одному из следующих видов, называемых каноническими уравнениями:

1. Эллипс

x2 + y2 = 1 a2 b2

2. Гипербола

x2 ¡ y2 = 1 a2 b2

3. Парабола

y2 ¡ 2px = 0

4. Две пересекающиеся прямые

x2 ¡ y2 = 0 a2 b2

5. Две параллельные прямые

x2 = 1 a2

6. Пустое множество

x2 + y2 = ¡1 a2 b2

Поверхности второго порядка

Общий вид уравнения поверхности второго порядка:

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Eyz + 2F yz+

+ 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

Преобразованием координат типа сдвига и поворота уравнение поверхности 2-го порядка может быть приведено к одному из следующих видов:

1. Эллипсоид

x2 + y2 + z2 = 1 a2 b2 c2

2. Однополостный гиперболоид

x2 + y2 ¡ z2 = 1 a2 b2 c2

32

3. Двухполостный гиперболоид

x2 ¡ y2 ¡ z2 = 1 a2 b2 c2

4. Конус второго порядка

x2 + y2 ¡ z2 = 0 a2 b2 c2

5. Эллиптический параболоид

2z = x2 + y2 a2 b2

6. Гиперболический параболоид

2z = x2 ¡ y2 a2 b2

7. Цилиндры 2-го порядка Уравнения цилиндров 2-го порядка в пространстве совпадают с урав-

нениями поверхностей 2-го порядка на плоскости (плоская кривая, перемещаясь вдоль оси z образует цилиндр).

33

Дифференциальное исчисление

Элементы теории пределов

Последовательность, предел последовательности Последовательность – это снабженное порядковыми номерами, воз-

можно бесконечное, множество объектов, например, чисел.

Предел последовательности, это число, к которому стремятся члены последовательности по мере возрастания их номеров. Точное определение: Число X называется пределом последовательности fxng, если для любого числа " > 0 найдется число N("), такое, что jX ¡ xnj < ", если n > N(").

Предел функции

Если имеется функция f(x), то с е¸ помощью можно образовать последовательность значений ff(xn)g, задавая последовательность значений аргумента xn.

Число F является пределом функции f(x) при x стремящемся к x0, если для любой последовательности аргументов fxng, стремящейся к x0, последовательность значений функции стремится к F .

Другое, эквивалентное определение предела: F есть предел функции f(x) при x стремящемся к x0, если для любого числа " > 0 найдется

число ± > 0 такое, что jF ¡ f(x)j < ", если jx0 ¡ xj < ±.

Пределы последовательности и функции записываются следующим образом;

X = lim xn

n!1

F = lim f(x):

x!x0

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Функция f(x) называется бесконечно малой величиной при x ! x0,

если lim f(x) = 0.

x!x0

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x ! x0,

если lim f(x) = 1.

x!x0

Очевидно, что если f(x) – бесконечно малая величина, то 1=f(x) – бесконечно большая, и наоборот. Поэтому можно рассматривать только один из видов этих величин, например, бесконечно малые (б.м.).

Разные б.м. величины сравниваются по порядку (малости). Две б.м. ®(x) и ¯(x) имеют один порядок малости, если предел их отношения – конечное число.

34

Если

lim ®(x) = 0;

x!x0 ¯(x)

®(x) называется б.м. более высокого порядка, чем ¯(x). Если предел равен бесконечности, – ¯(x) является б.м. более высокого порядка, чем

®(x).

Говорят, что б.м. величина (x ¡ x0)n имеет порядок n.

При вычислении пределов б.м. высших порядков можно пренебрегать.

Две б.м. называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.

При вычислении пределов эквивалентные б.м. можно заменять друг другом.

Первый замечательный предел

lim sin x = 1

x!0 x

Доказательство Из Рис.10 получается соотношение

sin x < x < tg x;

отсюда 1 < x= sin x < 1= cos x и cos x < sin x=x < 1. Переходя к пределу при x ! 0, получаем требуемое.

1

tg x

sin x

x

1

Рис.10

Второй замечательный предел

		1	1	)y = e;
	lim(1 + x)x = lim (1 +
			y
	x!0	y!1

35

где e – постоянная Эйлера. Иррациональное число e ¼ 2; 718 .

Непрерывные функции

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если
lim f(x) = f(x0)	(28)
x!0

Функция непрерывна на множестве точек S, если она непрерывна в каждой точке множества.

График непрерывной функции представляет непрерывную линию. Большинство встречающихся на практике функций являются либо

непрерывными, либо разрывными в отдельных изолированных точках.

Функция f(x) называется разрывной в точке x0, если предел lim f(x)

x!x0

либо не равен f(x0), либо не существует.В первом случае говорят, что функция имеет разрыв 1-го рода, во втором – 2-го рода.

Подавляющее большинство разрывов 2-го рода возникают в ситуациях, когда функция представляет выражение со знаменателем, обращающимся в нуль в точках разрыва.

Свойства функций, непрерывных на отрезке Отрезком называется множество точек оси, удовлетворяющих нера-

венствам a · x · b. Как говорят, концы отрезка, т.е. точки a и b, принадлежат отрезку.

Множество точек x, определяемых неравенствами a < x < b называется интервалом. Точки a и b не принадлежат интервалу.

Разными способами, например, используя последовательное деление отрезка пополам, доказываются следующие свойства функций, непрерывных на отрезке:

²Непрерывная на отрезке функция принимает максимальное и минимальное значения в некоторых точках.

²Если f(a) = f(b), то, либо функция равна постоянной величине, либо существуют точки внутри отрезка, где она принимает максимальное и/или минимальное значение.

²На отрезке существуют точки, в которых функция принимает любые числовые значениями между минимальным и максимальным на отрезке.

Производная

36

Производной функции f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента

	f0(x0) = lim	f(x) ¡ f(x0)	(29)
		x ¡ x0
	x!x0

Если функция имеет производную в точке x0, говорят, что она дифференцируема в этой точке (это от слова дифференциал – понятия, связанного с производной и описываемого ниже).

Если функция имеет производную во всех точках множества, она называется дифференцируемой на этом множестве.

Операция вычисления производных называется дифференцированием. Правила дифференцирования и таблица производных простейших функций даны в таблице на последней странице настоящего пособия. С помощью этих правил можно продифференцировать любую, встречающуюся на практике функцию, заданную аналитическим выражением (формулой). Это нужно уметь делать.

Правила дифференцирования и таблица производных получаются непосредственным вычислением предела (29) для соответствующих функций.

Если в отдельных точках предел (29) не существует, иногда рассматриваются пределы слева или справа, представляющие, соответственно пределы

lim	f(x) ¡ f(x0)	;	lim	f(x) ¡ f(x0)	:
x!x0;x<x0	x ¡ x0		x!x0;x>x0	x ¡ x0

В этом случае говорят, что функция f(x) имеет производные слева или справа от точки x0.

Геометрический смысл производной Значение производной равно тангенсу угла наклона касательной к

кривой в данной точке (Рис.11). Касательная, это предел секущей при сближении точек сечения.

37

Y
		α
			y−y 0
		x−x 0
x	o	x	X
		tg α=f'(x)

Рис.11

Физический смысл производной

Производная – это мгновенная скорость изменения f(x) при изменении аргумента.

Если производная положительна – функция возрастает с ростом аргумента, отрицательна – убывает. Функция возрастает тем сильнее, чем больше производная.

Обозначения производной

y0 = f0(x) = dxdy = dfdx(x):

Дифференциал

Дифференциал функции f(x) в точке x0 представляет линейную функцию приращения dx = x ¡ x0

dyjx=x0 = df(x)jx=x0 = f0(x)jx=x0 dx

Для текущей точки x пишут

dy = df(x) = f0(x)dx

Дифференциал является б.м. функцией аргумента dx, эквивалентной

приращению функции ¢f = f(x) ¡ f(x0). Действительно,

lim	¢f(x)		= lim	f(x) ¡ f(x0)					= 1
	df(x)
x x0			x x0	(x	¡	x0)f0	(x0)
!			!

Другое истолкование дифференциала: дифференциал, это основная, линейная часть приращения функции, это то приращение, которое имела

38

бы функция, если бы отходя от точки x0 она менялась как линейная функция.

Эквивалентность приращения и дифференциала как бесконечно малых используется в практических вычислениях, поскольку при малых приращениях аргумента приращение функции можно заменить дифференциалом, вычислять который проще.

Свойство инвариантности дифференциала Рассмотрим сложную функцию аргумента x

y = f(u); u = '(x)

Если не учитывать зависимость переменной u от x, дифференциал равен

dy = f0(u)du	(30);
если учитывать,
dy = f0(u)'0(x)dx	(31)

Но '0(x)dx = du, поэтому правые части (30) и (31) совпадают. Это и есть свойство инвариантности дифференциала: дифференциал не зависит от того, является ли аргумент функции независимым, или он зависит от другого аргумента.

Производные и дифференциалы высших порядков

Если f(x) дифференцируема, производная f0(x) и дифференциал f0(x)dx представляют новые функции аргумента x, которые можно снова дифференцировать. Производная от производной называется второй производной или производной второго порядка

d µdf ¶ = d2f = f00(x) dx dx dx2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго

порядка

d2f = d(df) = f00(x)dx2

Такие операции можно продолжить. В результате приходим к понятию

производной порядка n: f(n)(x) = dnf и дифференциала порядка n: dxn

dny = f(n)(x)(dx)n Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают и на практике применяются редко.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя используется для вычисления предела в случае неопределенностей вида 00 или 11.

39

Первое правило
Если при вычислении предела lim			f(x)	для функций f(x) и g(x) вы-
полняются условия	x!x0		g(x)
	lim f(x) = 0;	lim g(x) = 0
	x!x0	x!x0

и существует предел

lim f0(x) = A;

x!x0 g0(x)

то

lim f(x) = A:

x!x0 g(x)

Второе правило совпадает с первым кроме условий: функции в числителе и знаменателе стремятся не к нулю, а к бесконечности:

lim f(x) =			1	;	lim g(x) =	1
x	!	x0			x x0
					!

Доказательство 1-го правила:

lim f(x) =

x!x0 g(x)

	f(x) ¡ f(x0)						f(x)¡f(x0)
lim					=	lim	x¡x0
x x0	g(x)	¡	g(x0)			x x0	g(x)¡g(x0)
!						!	x x0
							¡

= lim f0(x):

x!x0 g0(x)

Второе правило доказывается несколько более сложно.

Замечание

Можно показать, что правило Лопиталя остается справедливым и в случае x0 = 1.

Экстремум функции

Понятие экстремума объединяет два понятия: максимума и минимума. Поскольку методы определения максимума и минимума одинаковы, такое объединение целесообразно.

Экстремумы могут быть глобальными и локальными. Глобальный экстремум – это экстремум на всем возможном множестве значений аргумента. Локальный экстремум – экстремум в некоторой окрестности экстремальной точки.

С помощью дифференциального исчисления изучаются локальные экстремумы. Глобальные экстремумы можно определить перебором и сравнением локальных.

Необходимое условие экстремума

Теорема

40