1 сем матем

Системы линейных алгебраических уравнений

В настоящем разделе излагаются основы теории систем линейных алгебраических уравнений. В общем виде система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21x1	+ a22x2	+ ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2	(3)
		.
		.
		.

am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm

Это система m уравнений с n неизвестными x1; x2; : : : xn. Е¸ можно просто записать в векторно-матричном виде, если ввести матрицу систе-

мы A:	a11	a12	: : : a1n
				C	;
	A = B ...	...	... ...
	0a21	a22	: : : a2n	1
	Bam1	am2	: : : amnC
	B			C
	@			A

m-мерный вектор-столбец правой части B:

01

b1

Bb C

B = B 2 C;

B .. C

@ . A bm

и n-мерный векторстолбец неизвестных X:

01

x1

Bx C

X = B 2C:

B .. C

@ . A xn

Система (3) может быть записана в векторно-матричном виде

AX = B:

(4)

11

Общие свойства систем линейных алгебраических уравнений

Эти свойства, присущие всем уравнениям, называемым линейными и характеризующимся тем, что неизвестные входят в уравнения только в первой степени, сильно упрощают исследование линейных систем.

Короче всего эти свойства записываются для систем, представленных в векторно-матричном виде.

Наряду с системой (4) рассмотрим систему однородных уравнений, отличающихся тем, что в правой части всех уравнений стоят нули:

AY = 0:

(5)

В правой части (5) стоит вектор-столбец из нулей, для простоты обозначенный нулем.

Система (4) называется неоднородной. Справедливы следующие свойства:

1.Если Y1 и Y2 – два решения системы (5), то ¸Y1 + ¹Y2 , где ¸ и ¹ – произвольные числа, – тоже решение системы (5).

Действительно, пусть AY1 = 0; AY2 = 0. Умножая первое соотношение на ¸, а второе на ¹, и складывая, получаем требуемое:

A(¸Y1 + ¹Y2) = 0.

2.Если X – решение неоднородной системы (4), а Y – решение однородной системы (5), то X + ¸Y – решение неоднородной системы

(4). Это свойство доказывается аналогично первому свойству.

3.Если есть уравнение AX = B1 + B2, то его решение X можно пред-

ставить в виде X = X1 + X2 где AX1 = B1; AX2 = B2. Это свойство также доказывается аналогично первому.

Указанные свойства позволяют искать решения линейных систем поэтапно, преобразую задачу к нескольким более простым.

Целесообразно вначале рассмотреть важный частный случай системы (3), когда число уравнений было равно числу неизвестных.

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений

Если определитель матрицы A отличен от нуля, она имеет обратную матрицу A¡1. Домножим уравнение (4) слева на A¡1:

A¡1AX = A¡1B:

12

Но A¡1A = In, где In - единичная матрица, InX = X, поэтому решение системы (4) определяется формулой:

X = A¡1B:

(6)

Правило Крамера

Согласно способу вычисления обратных матриц

	A¡1 =	1	(Aji);	(7)
		¢

где (Aij) – матрица, элементы которой представляют алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A, а ¢ – определитель матрицы.

Подставляя (7) в (6), получаем

		X =		1		(Aji)B:	(8)
					¢
Учитывая формулу (2)	и расписывая (8) для отдельных составляю-
щих вектора X, получаем:
xi =		¢i	;		(i = 1; 2; : : : n);		(9)
	¢

где – ¢ – определитель матрицы A, ¢i – определитель матрицы, полученной из A заменой i-того столбца столбцом правых частей системы (вектором B).

Формула (9) представляет правило Крамера.

Общая теория систем линейных алгебраических уравнений

В общем случае система линейных уравнений может:

–иметь одно единственное решение,

–не иметь ни одного решения,

–иметь бесконечное число решений.

Общий анализ систем линейных алгебраических уравнений определяется теоремой Кронекера-Капелли.

13

Теорема Кронекера - Капелли связывает существование и характер решения системы линейных алгебраических уравнений с рангом матрицы A системы линейных алгебраических уравнений и рангом, так называемой, расширенной матрицы, полученной приписыванием к A

еще одного столбца – правых частей системы:
a11	a12	: : : a1n		b1	1
0a21	a22	: : : a2n		b2
B ...	...	...	...	...	C
Bam1	am2 : : : amn			bmC
B					C
@					A

Рангом матрицы называется число, равное порядку (размерности) наивысшего по порядку, отличного от нуля минора.

Формулировка теоремы Кронекера – Капелли

Если ранг матрицы системы A меньше ранга расширенной матрицы, система решений не имеет. Если ранг A равен рангу расширенной матрицы, система имеет решения. При этом, если число уравнений системы равно числу неизвестных, а detA 6= 0, решение единственно. В противном случае, если уравнений меньше, чем неизвестных, число решений бесконечно и зависит от свободных параметров (некоторых неизвестных).

Если уравнений больше чем неизвестных, часть уравнений либо является следствием остальных, либо имеется ситуация с отсутствием решений.

Реальный процесс решения систем в ситуациях когда число уравнений не совпадает с числом уравнений связан с необходимостью расчетов рангов матриц, для чего имеются специальные методы. Поскольку системы большой размерности решаются с помощью вычислительных машин, для чего имеются специальные программы, теорема Кронекера-Капелли имеет, в основном, только теоретическое значение.

Таким образом, если число уравнений равно числу неизвестных, а матрица A системы имеет обратную, система имеет одно и только одно решение.

Если число неизвестных больше числа уравнений, следует часть членов с неизвестными перенести в правую часть системы, выбрав их таким образом, чтобы матрица при оставшихся неизвестных имела обратную. Решение полученной системы с новой правой частью получается любым методом. Поскольку в правых частях системы содержатся неизвестные, являющиеся свободными, их можно задавать произвольным образом, получая разные решения. Система имеет бесконечное число решений, определяемых значениями параметров – свободных неизвестных.

14

Система не будет иметь ни одного решения, если отдельные уравнения системы противоречат друг другу. Легко построить соответствующий пример.

Пример 6. Очевидно, что ни при каких значениях неизвестных x и y уравнения системы

x + 2y = 3 x + 2y = 4

не могут одновременно выполняться.

Метод Гаусса

Методы обратной матрицы и Крамера применимы только к системам, в которых число уравнений равно числу неизвестных. Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных применим ко всем линейным системам, даже если число уравнений отличается от числа неизвестных. При этом, метод Гаусса позволяет либо найти одно единственное решение системы, либо определить, что система решений не имеет, либо построить формулы, задающие все существующие решения системы.

Идея метода Гаусса проста: это итеративный метод последовательного исключения неизвестных. На каждой из итераций одно неизвестное исключается, в результате получается система, содержащая на одно уравнение меньше и зависящая от множества неизвестных, не содержащего исключ¸нную переменную.

Любое из уравнений системы можно трактовать как уравнение относительно выбранной одной неизвестной. Разрешая его относительно этой неизвестной и подставляя полученное выражение в остальные уравнения, получаем систему на единицу меньшего числа уравнений с на единицу меньшим числом неизвестных.

Такая операция повторяется до тех пор, пока не останется одно уравнение. Если число уравнений исходной системы равно числу неизвестных и определитель системы отличен от нуля, оставшееся уравнение содержит одну неизвестную и легко разрешимо. Полученное значение неизвестной последовательно, снизу вверх, подставляется в промежуточные уравнения, что позволяет определить все составляющие решения.

Вдругих случаях одно уравнение либо содержит много неизвестных, либо представляет не уравнение, а невозможное равенство.

Впервом случае система имеет бесконечное число решений (все кроме одной неизвестной в этом уравнении могут быть заданы произвольно, а оставшаяся одна неизвестная выражена через них).

Во втором случае система решений не имеет. Проиллюстрируем вс¸ это на примерах.

15

Пример системы, имеющей единственное решение

Пример 7. Рассмотрим систему

x + y + z	= 3
x + 2y + 2z	= 5:
x + 2y + 3z	= 6

Вычитая первое уравнение из второго и вычитая первое уравнение из третьего, преобразуем систему уравнений к эквивалентной

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
y + 2z	= 3

Вычитая второе уравнение системы из третьего, получаем новую эквивалентную систему

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
z	= 1

решение которой легко получается последовательным решением уравнений

снизу вверх. Система имеет единственное решение z=1; y=1; x=1.

Пример системы, имеющей бесконечное число решений

Пример 8. Рассмотрим систему

x + y + z	= 3
x + 2y + 2z	= 5:
2x + 3y + 3z	= 8

Вычитая первое уравнение из второго и вычитая первое уравнение из третьего, преобразуем систему уравнений к эквивалентной

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
y + z	= 2

Вычитая второе уравнение системы из третьего, получаем новую эквивалентную систему

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
0	= 0

Полученный результат показывает, что эквивалентная исходной система состоит из двух уравнений, относительно трех неизвестных. Одно из неизвестных может быть задано произвольно, а остальные неизвестные выражаются через

него. Решение системы имеет вид z–произвольное; y=2 ¡ z; x=1.

Пример системы, не имеющей решений

16

Пример 9. Рассмотрим систему
x + y + z	= 3
x + 2y + 2z	= 5:
2x + 3y + 3z	= 9

Вычитая первое уравнение из второго и вычитая первое уравнение из третьего, преобразуем систему уравнений к эквивалентной

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
y + z	= 3

Вычитая второе уравнение системы из третьего, получаем новую эквивалентную систему

x + y + z	= 3
y + z	= 2:
0	= 1

Последнее соотношение в эквивалентной исходной системе неверно, что показывает, что исходная система решений не имеет.

17

Аналитическая геометрия

Системы координат

Система координат на плоскости задается точкой O (начало координат) и двумя взаимно перпендикулярными осями Ox и Oy. (Рис.1).

Y

M(x,y)

x

y

X

Рис.1

Любая точка плоскости, например, M, однозначно определяется двумя числами: своими координатами x и y.

Системы координат могут быть косоугольными и нелинейными. Например, при решении практических задач часто используются полярные координаты, в которых положение точки определяется двумя числами: радиусом r и углом ' (Рис.2). Между декартовыми и полярными координатами существуют простые соотношения:

	j	p
x = r cos ' j		r = x2 + y2
y = r sin '		' = arcsin(y=r)

18

Y

M

x

r

y

φ

0	X

Рис.2

Во всех случаях точка на плоскости зада¸тся двумя числами. Плоскость образует двумерное пространство.

Точки на прямой линии можно задать одним числом, прямая – одномерное пространство.

Для задания точки в пространстве обычно используются три взаимно перпендикулярных оси: Ox; Oy; Oz и три числа x; y; z. Пространство является трехмерным.

Математическое обобщение – n-мерное пространство. Точка n-мерного пространства задается n числами

x1; x2; : : : ; xn:

Преобразование декартовых координат на плоскости

Переход от одной декартовой системы координат к другой можно выполнить в два этапа: параллельного переноса и разворота.

Рассмотрим эти этапы по отдельности. Старые координаты будем обозначать через x и y , новые – через x0 и y0.

Параллельный перенос осей координат в точку O0(a; b)(Рис.3).

19

Y’
Y
		M(x,y)
		y’
y
		x’
O’		X’
O	x	X

Рис.3

x = x0	+ a	j	x0 = x	¡	a
y = y0	+ b j y0 = y ¡ b:

Разворот на угол ® (Рис.4)

x = x0	cos ® ¡ y0 sin ®	j	x0 = x cos ® + y sin ®
y = x0	sin ® + y0 cos ®	j	y0 = ¡x sin ® + y cos ®:

Уравнения разворота можно записать в матричной форме:

	µ y ¶ = A µ y00		¶
	x	x
где			¶
A =	cos ®	¡ sin ®
	µ sin ®	cos ®

;	µ y00	¶ = A¡1 µ y		¶:
	x		x
;	A¡1	= µ	cos ®	sin ®	¶
			¡ sin ®	cos ®

Последние формулы часто используются при исследовании последовательностей поворотов на плоскости и пространстве.

20