15. Взаимоотношения кристаллографических осей и элементов симметрии кристалла. Символы граней.

Некоторую грань А₁В₁С₁ , пересекающую все три координатные оси, возьмем в качестве единичной грани.

Единичная грань – грань кристалла, параметры которой приняты за единицы измерения.

Отрезок OA₁ служит масштабом (единицей) для первой оси X (OI). Отрезок OB₁ служит масштабом для второй оси Y (ОII). Отрезок ОС1 соответствует масштабу для третьей оси Z (ОIII). Если задана некоторая грань АxВxСx , то согласно закону целых чисел, имеем :

где р, q, r – целые и обычно небольшие числа.

Однако для числовой характеристики грани АxВxСx во многих отношениях удобнее брать обратные величины.

Эти отношения отвечают символу грани АxВxСx . Приведя дроби к общему знаменателю и взяв отношение между ними (отбросив знаменатели и сократив, если можно, на общего множителя), получим здесь также три целых числа:

OA₁ \OA_x : OB₁ \OB_x : OC₁\ OC_x = h: k: l

где h, k, l – целые и обычно небольшие числа.

Три числа, входящие в символ, называются его индексами.

Совокупность индексов символа грани кристалла принято заключать в круглые скобки без всяких знаков между ними (hkl).

Найдем символ грани А₂В₂С₂ , изображенной на рисунке:

OA₁ \OA₂ : OB₁ \OB₂ : OC₁ \OC₂ = 2 \6 : 3 \4 : 1 \2 = 4: 9: 6

Окончательно символ грани А₂В₂С₂ запишем так: (496).

Для получения символов граней необходимо за координатные оси принять три направления, проходящие через одну точку и параллельные трем ребрам кристалла, а также выбрать единичную грань.

Кристаллографические оси - направления в кристалле, параллельные его ребрам и принятые за координатные оси.

Установка кристалла - выбор кристаллографических осей и единичной грани.

В общем случае первая кристаллографическая ось Х направляется к наблюдателю, вторая ось У лежит более или менее горизонтально и параллельно наблюдателю, третья ось Z ориентируется вертикально.

1. Символ (111) всегда отвечает единичной грани.

OA₁ \OA₁ : OB₁ \OB₁ : OC₁ \OC₁ = 1:1:1

2) В символе грани, параллельной какой-либо кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.

-Пусть грань АxВxСx параллельна первой кристаллографической оси Х. Тем самым ее отрезок по оси X равен бесконечности (ОАх = ∞).

0:OB₁\OB_Х : OC₁\OC_Х

-Грань, пересекающая вторую кристаллографическую ось и параллельная двум другим, обладает символом (010). Наконец, грань, параллельная первой и второй кристаллографическим осям и пересекающая лишь третью, получает символ (001).

Пример: разберем модель в форме кирпичика или спичечной коробки. Кристаллографические оси выбираются здесь параллельно трем четверкам взаимно параллельных ребер. Мысленно перенеся начало координат в центр тяжести фигуры, получим расположение осей, изображенное на рисунке.

Согласно вышесказанному, передняя грань характеризуется символом (100). Параллельной ей задней грани соответствует символ (1̅00). Правая грань имеет символ (010), а левая боковые грани имеет символ (01̅0). Верхняя грань имеет символ (001) и нижняя грань символ (001̅).

Операция выбора кристаллографических осей существенно упрощается двумя нижеследующими теоремами.

Теорема 1. Оси симметрии L2, L3, L4, L6, либо совпадают с рядами решеток, либо параллельны им и, следовательно, являются действительными или возможными ребрами кристаллов.

Следствие. Кристаллографические оси можно совмещать с осями симметрии, так как последние соответствуют действительным или теоретически возможным ребрам кристаллов.

Теорема 2. Нормали к плоскостям симметрии либо совпадают с рядами пространственных решеток, либо параллельны им и, следовательно, являются действительными или возможными ребрами кристаллов.

Следствие. Кристаллографические оси можно совмещать с нормалями к плоскостям симметрии, поскольку эти нормали параллельны действительным или возможным ребрам кристаллов.

На основании двух приведенных теорем кристаллографические оси проводятся:

1. по осям симметрии;

2. по нормалям к плоскостям симметрии (в случае отсутствия или недостаточного числа осей);

3. параллельно действительным или возможным ребрам кристаллов (в случае отсутствия или недостаточного числа осей и плоскостей симметрии).