18. Установка кристаллов высшей категории. Соотношения параметров и углов между кристаллографическими осями.

Установка кубических кристаллов

В кристаллах кубической сингонии, кроме 4L3, всегда присутствуют три взаимно перпендикулярные оси симметрии либо L4, либо L2. Эти три оси принимаются за кристаллографические оси.

В случае наличия 3L4 кристаллографические оси проводятся по ним и только при отсутствии их, кристаллографические оси совмещаются с 3L2.

В противоположность всем до сих пор рассматривавшимся сингониям, установка кубических кристаллов является строго однозначной. Никакого произвола в выборе координатных осей здесь быть не может.

Итак, для всех кристаллов кубической сингонии: α=β=γ=90°; а0=b0=c0.

Эти величины одинаковы для всех таких кристаллов, а потому отличать последние друг от друга путем измерения одних лишь углов невозможно. Для определения символа грани кристалла кубической сингонии достаточно измерить ее параметры по трем кристаллографическим осям (выразив их в сантиметрах или миллиметрах) и взять обратные величины (значения единичных отрезков в выражение символа здесь не входят).

Напомним еще раз символы некоторых форм кубической сингонии, знание которых обязательно.

Полную совокупность всех граней одной простой формы принято условно характеризовать символом одной из ее граней, обладающим наибольшим количеством положительных индексов. Такой символ, условно относящийся к одной простой форме целиком, обычно заключается в фигурные скобки. Например, вместо шести символов граней куба (100), (010), (001), (1̅00), (01̅0) и (001̅) можно употреблять лишь – один {100}.

-Гексаэдр (куб) {100}

-Октаэдр (8 граней) {111}

-Тетраэдр (4 грани) {111}

-Ромбододекаэдр (12 граней) {110}

19. Методика определения символов рёбер кристалла и их связь с символами граней кристалла.

Символ ребра: = r :s : t =

Координаты точки М:

х = , у = 4b₀, z = 2с₀.

= r :s : t = = = 1:6:3 = =

Очевидно, что символы [rst] и [ ] обозначают одно и то же ребро.

Символы всех ребер, параллельных одной из координатных осей, и, следовательно, символ самой оси (например, оси X), будут определяться следующим образом:

= = =

Соответственно символами координатных осей Y и Z будут [010] и [001].

Между символом грани (hkl) и символом лежащего в ее плоскости ребра [rst] существует следующее соотношение:

hr + ks + lt = 0 Это уравнение Вейса, связывающее символы грани и ребра кристалла, параллельного этой грани.

Пользуясь уравнением и зная символы двух граней (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂), можно определить символ ребра [rst], по которому они пересекаются. Для этого нужно решить систему уравнений, составленных для каждой из пересекающихся плоскостей:

r : s : t = (k₁l₂-k₂l₁) : (l₁h₂-l₂h₁) : (h₁k₂-h₂k₁)

r :s : t = (1·3-2·0) : (0·1-3·1) : (1·2-1·1) =

Получаем символ ребра [].

Отметим, что размещение символов граней в обратном порядке в нашем случае наверху (123), а внизу (110) приводит к тому же результату, но с обратными знаками у индексов (в нашем случае получим [ ]). Легко сообразить, что последний результат соответствует точке, взятой на том же ребре, но по другую сторону от начала координат. Как видим, одно и то же ребро может выражаться двумя символами: [ ] и [ ].

Таким же образом можно вычислить и символ грани (hkl), в плоскости которой лежат два пересекающих ребра [r₁s₁t₁] и [r₂s₂t₂]:

Например, зная символы двух пересекающихся ребер куба, т.е. двух координатных осей кристалла: [001] – оси Z и [100] – оси X, можно рассчитать символ грани (hkl), в плоскости которой они располагаются: