ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Определение четырехполюсника. Классификация четырехполюсников. Системы уравнений четырехполюсника. Входное сопротивление четырехполюсника.

Определениечетырехполюсника.

Для передачи информации с помощью электромагнитной энергии (волн, сигналов в электрических схемах) применяются различные устройства (рис. 14.1), имеющие два входных (первичных) зажима и два выходных (вторичных). К входным зажимам подключается источник электрической энергии, к выходным присоединяется нагрузка. Такие устройства называются че-

тырехполюсниками.

Четырехполюсниками являются фильтры, трансформаторы, усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников, линии связи и т. д.

I1′

I2′

Zi

I1

I

1

2

2

ZН

Е

U2

U1

1

2

Рис. 14.1

Классификациячетырехполюсников.

Четырехполюсники бывают активные и пассивные. В активном четырехполюснике есть источники энергии, в пассивном − источников энергии нет. Примерами активных четырехполюсников являются усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников и др. Примером пассивного четырехполюсника может служить кабельная или воздушная линия связи, электрический фильтр и др.

Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Четырехполюсник является линейным, если напряжение и ток на его выходных зажимах линейно зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются линии связи, фильтры, примерами не-

Основы теории цепей. Конспект лекций

-120-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Классификация четырехполюсников

линейного – выпрямитель, детектор, преобразователь частоты в радиоприемнике.

Четырехполюсники могут быть симметричными и несимметричными.

Четырехполюсник симметричен, если перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой четырехполюсник соединен. В противном случае четырехполюсник несимметричен.

Четырехполюсники бывают автономными и неавтономными. На зажимах автономного четырехполюсника остается напряжение, обусловленное наличием внутренних источников, т. е. такой четырехполюсник обязательно является активным. В противном случае четырехполюсник пассивен.

Различают также обратимые и необратимые четырехполюсники. В обратимых четырехполюсниках отношение напряжения на входе к току на выходе (передаточное сопротивление) не зависит от того, какая пара зажимов является входной, а какая выходной. В противном случае четырехполюсник необратим.

Системыуравненийчетырехполюсника.

Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между напряжениями на входе и выходе и токами, протекаю-

щими через входные и выходные зажимы. Вариант с токами I1, I2 (рис. 14.1)

называют прямой передачей, а I1′, I2′ – обратной. Очевидно, что

I1 = −I1′, I2 = − I2′.

Две из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, можно рассматривать как заданные воздействия, две оставшиеся – как отклики на эти воздействия. Таким образом, соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе четырехполюсника могут быть записаны в виде шести систем уравнений.

1. Токи на входе и выходе выражаются в зависимости от напряжений на входных и выходных зажимах:

I1 =Y11U1 +Y12U2 ,

I2′ =Y21U1 +Y22U2.

Коэффициенты Y11, Y12 , Y21, Y22 называются Y-параметрами и являются

комплексными проводимостями. Действительно,

Основы теории цепей. Конспект лекций

-121-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Системы уравнений четырехполюсника

	Y	=		I1						– комплексная входная проводимость при коротком замы-
	11	U1
							U2 =0
	кании выходных зажимов.
	Y	=		I2′						– комплексная входная проводимость со стороны зажимов
	22		U2
									U	=0
		1

(2–2) при коротком замыкании входных зажимов.

Y	=		I1			– комплексная передаточная (взаимная) проводимость при
12		U2
					U =0
		1

коротком замыкании входных зажимов.

	Y	=		I2′				– комплексная передаточная (взаимная) проводимость при
			U
	21
				1			U2	=0

коротком замыкании выходных зажимов.

В случае обратимого четырехполюсника Y12 =Y21. Если четырехполюсник симметричен, то Y11 =Y22 и его свойства определяются только двумя па-

раметрами (например, Y11, Y12 ).

2. Напряжения на входе и выходе выражаются в зависимости от токов, протекающих через входные и выходные зажимы:

′

U1

= Z11I1 + Z12I2 ,

= Z

I

+ Z

I′.

U

22

2

21 1

2

Z

=

U1

– входное сопротивление со стороны зажимов (1–1) при ра-

11

I1

I2′ =0

зомкнутых выходных зажимах.

Z

=

U1

– передаточное (взаимное) сопротивление при разомкну-

12

I2′

I

=0

1

тых зажимах (1–1).

Z21

=

U2

– передаточное (взаимное) сопротивление при разомкну-

I1

I2′ =0

тых зажимах (2–2).

Z22

=

U2

– входное сопротивление со стороны зажимов (2–2) при

I2′

I

=0

1

разомкнутых зажимах (1–1).

Основы теории цепей. Конспект лекций

-122-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Системы уравнений четырехполюсника

В случае обратимого четырехполюсника Z12 = Z21 . Если четырехполюсник симметричен, то Z22 = Z11 и его свойства определяются только двумя параметрами (например, Z11, Z12 ).

3. В случае, когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного звена между источником сигнала и сопротивлением нагрузки, заданными яв-

ляются напряжение и ток на выходе (U2 , I2 ), а искомыми величины, характеризующие режим на входе четырехполюсника (U1, I1 ). Связь между вход-

ными и выходными напряжениями и токами устанавливает система параметров прямой передачи:

U1 = A11U2 + A12I2 ,

I1 = A21U2 + A22I2.

A

=

U1

– отношение напряжений в режиме холостого хода на выходе.

11

U2

I2 =0

A

=

I1

– величина, обратная передаточному сопротивлению в режиме

21

U2

I2 =0

холостого хода на выходе.

A

=

U1

– величина, обратная передаточной проводимости в режиме ко-

12

I2

U2 =0

роткого замыкания на выходе.

A

=

I1

– отношение токов в режиме короткого замыкания на выходе.

22

I2

U2 =0

Найдем связь между A - и Y -параметрами. Из второго уравнения системы Y -параметров следует

I1 =Y11U1 +Y12U2 ,

I2′ =Y21U1 +Y22U2.

−I2 = I2′ =Y21U1 +Y22U2 ,	U1	= −	Y22	U2 −	1	I2 .
			Y21		Y21

Подставив последнее выражение в первое уравнение системы Y -па- раметров, получим:

Основы теории цепей. Конспект лекций

-123-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Системы уравнений четырехполюсника

I =Y

−

Y22

U

−

1

I

+Y U

= −

Y11Y22 −Y12Y21

U

−

Y11

I

.

2

2

2

2

1 11

Y21

Y21

12 2

Y21

Y21

И окончательно,

U

1

= −

Y22

U

2

−

1

I

2

,

Y21

Y21

Y11Y22 −Y12Y21

Y11

I = −

U

2

−

I

2

.

1

Y21

Y21

Следовательно,

A = −

Y22

,

A = −

1

,

A = −

Y11Y22 −Y12Y21

= −

Y

,

A = −

Y11

,

11

Y21

12

Y21

21

Y21

Y21

22

Y21

где Y =Y11Y22 −Y12Y21 – определитель, составленный из Y -параметров. Определитель, составленный из A -параметров, равен:

A = A11A22 − A12 A21 = Y12 .

Y21

Для обратимого четырехполюсника Y12 =Y21 и A = A11A22 − A12 A21 =1.

4. Для анализа передачи сигнала от зажимов (2–2) к зажимам (1–1) используется система уравнений обратной передачи:

U2 = B11U1 + B12I1′,

I2′ = B21U1 + B22I1′.

Значения B -параметров определяются также из опытов холостого хода входной цепи (I1′ = 0) и короткого замыкания (U1 = 0).

5.Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе I1

инапряжения на выходе U2 , искомые величины U1 и I2′ могут быть найдены из системы уравнений в H -параметрах:

Основы теории цепей. Конспект лекций

-124-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Системы уравнений четырехполюсника

U1 = H11I1 + H12U2 ,

I2′ = H21I1 + H22U2.

Значения каждого из H -параметров определяются из опытов короткого замыкания на выходе (U2 = 0) и холостого хода первичной цепи (I1 = 0).

6. В том случае, когда задаются величины U1 и I2 , ток на входе I1 и напряжение на выходе U2 определяются из уравнений в G -параметрах:

I1 = G11U1 +G12I2′,

U2 = G21U1 +G22I2′.

Входящие в эту систему уравнений G -параметры могут быть найдены из опытов холостого хода выходной цепи (I2′ = 0) и короткого замыкания на

входе (U1 = 0).

Поскольку все шесть систем параметров описывают один четырехполюсник, то они связаны между собой формулами пересчета, приведенными в справочных таблицах.

Входноесопротивлениечетырехполюсника.

Влияние четырехполюсника на режим цепи, с которой он соединен, оценивается входными сопротивлениями (рис. 14.2):

ZBX1	=	U1	и ZBX2	= ZBЫХ =	U2	.
		I1
					I2′

На эти входные сопротивления оказывается нагруженным источник при передачи сигнала слева направо (рис. 14.2, а) и справа налево (рис. 14.2, б).

Входные сопротивления могут быть выражены через любую систему параметров четырехполюсника. Удобнее всего это сделать, воспользовав-

шись системой A -параметров. В этом случае

ZBX1	=	U1	=	A11U2 + A12I2	=	A11ZH + A12	, где ZH =U2 / I2 .
		I1		A21U21 + A22I2		A21ZH + A22

Основы теории цепей. Конспект лекций

-125-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Входное сопротивление четырехполюсника

	I1	I2′	I2
1		2

																																	ZH
	U1																								U2
				1																			2
									ZВХ1
																	а
																					I2′
													I
																												2
						1						1
																															U2
Z
										U1
1
																													2
								1
																				ZВХ2
																	б

Рис. 14.2

В случае перемены направления передачи сигнала (рис. 14.2, б) воспользуемся следующим приемом. Если в системе уравнений в A -параметрах заменить токи I1 на – I1′ и I2 на – I2′ и решить уравнения относительно U2 и I2′, то

получим уравнения в системе B -параметров, выраженные через A -коэф- фициенты. Тогда

	ZBX2	=	U2	=	A22U1 + A12I1′	=	A22Z1 + A12	,
			I2′		A21U11 + A11I1′		A21Z1 + A11

так как Z1 =U1 / I1′.

Выражения для входных сопротивлений могут быть представлены и в иной форме. Действительно,

A11

A12

+ ZH

Z2K + ZH

Z1K + Z1

A11

и Z

= Z

Z

=

= Z

,

BX1

A

A

1X

Z

+ Z

BX2

2X Z

+ Z

21

22

+ ZH

2X

H

1X

1

A21

Основы теории цепей. Конспект лекций

-126-

ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Входное сопротивление четырехполюсника

	где Z =	A11	,	Z =	A12	– входные сопротивления в режиме холостого хода
	1X	A21		1K	A22
	и короткого замыкания на выходе, Z2X =						A22	,	Z2K =	A12	– входные сопротив-
							A21			A11

ления в режиме холостого хода и короткого замыкания на входе.

Таким образом, четырехполюсник трансформирует сопротивление нагрузки в новое сопротивление, зависящее как от величины нагрузки, так и от параметров четырехполюсника.

Контрольныевопросы

1.По каким признакам классифицируются четырехполюсники?

2.Какие системы уравнений устанавливают соотношения между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные зажимы четырехполюсника?

3.Что такое входное сопротивление четырехполюсника?

Основы теории цепей. Конспект лекций

-127-