- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
- •ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
- •ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ
- •ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
- •ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
- •ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
- •ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC
- •ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
- •ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ
- •ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M
- •ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ
- •ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
- •ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
- •ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ
- •ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции. Свойства и реализация входных функций LC-двухполюсников.
Методыреализациидвухполюсникапозаданнойвходнойфункции.
Убедившись, что заданная функция F(p) удовлетворяет условиям физической реализуемости, можно перейти к нахождению двухполюсника, входной функцией которого она является. К настоящему времени разработано большое количество методов синтеза пассивных цепей, чаще всего используются два из них: первый − метод разложения входной функции на сумму простейших составляющих (метод последовательного выделения полюсов и постоянной); и второй − метод представления входной функции в виде непрерывной дроби.
1. Метод последовательного выделения полюсов и постоянной.
Сущность метода состоит в разложении функции F(p) на простые составляющие, реализацию которых можно определить непосредственно по их виду.
Пусть F (p)= MN ((pp)) имеет полюс в бесконечности. Тогда один шаг
деления M(p)/N(p) дает F(p) = H·p + F1(p), где H − положительная вещественная величина. Таким образом, выделяется полюс в бесконечности.
Если F(p) = Z(p) − сопротивление двухполюсника, то Z(p) = H·p + Z1(p) и H·p − сопротивление индуктивности; а если F(p) = Y(p) − проводимость, то
Y(p) = H·p + Y1(p) и H·p − проводимость емкости.
Если знаменатель функции F(p) имеет корень p = 0, то в разложении на простые дроби имеется член k0/p и
F (p)= MN ((pp)) = kp0 + F1 (p),
где k0 − вычет функции F(p) в полюсе p = 0.
При F(p) = Z(p)-сопротивлении член k0/p представляет собой последовательно включенную емкость, при F(p) = Y(p)-проводимости k0/p соответствует параллельно включенной индуктивности. Таким образом, выделяется полюс в начале координат.
Если F(p) имеет простой полюс на мнимой оси p = ±jωk, то
F (p)= |
kk |
+ |
kk |
+ F |
(p)= |
2kk p |
+ F |
(p), |
|
p − jω |
p + jω |
p2 + ω2 |
|||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
k |
|
k |
|
|
k |
|
|
где kk − вычет в полюсе p = ±jωk.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-373- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции
При F(p) = Z(p)-сопротивлении сопротивление параллельно соединен-
ных C |
|
= |
1 |
|
|
|
и |
L = |
2kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
k |
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
k |
p |
= |
|
|
|
1 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
2 |
|
p |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ω |
|
|
|
+ |
ω |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kk p |
2kk p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При F(p) = Y(p)-проводимости проводимость последовательно вклю- |
||||||||||||||||||||||||||
ченных L = |
1 |
|
|
и C |
|
= |
2kk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
|
k |
|
k |
|
|
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
k |
p |
= |
|
|
|
1 |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
2 |
|
p |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ω |
|
|
|
+ |
ω |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kk p |
2kk p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если число пар сопряженных полюсов функции F(p) q, то и параллельных или последовательных контуров также q.
После выделения из функции F(p) полюсов на мнимой оси остается функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости в зависимости от того, что представляет собой F(p)-сопротивление или проводимость. В частном случае может остаться положительная постоянная величина, которая реализуется последовательным активным сопротивлением, если F(p) = Z(p), или шунтирующим активным сопротивлением, если F(p) = Y(p).
Следует отметить, что величина этого сопротивления R = k ≤ minReF(jω), так как разность F(p) – k = F1(p) − положительная вещественная функция (если k > minReF(jω), то ReF1(jω) станет отрицательной для некоторых частот, а это значит, F(p) не будет положительной вещественной функцией).
Если же оставшаяся функция минимального реактивного сопротивления или минимальной реактивной проводимости имеет все нули и полюсы, лежащие на вещественной отрицательной полуоси, то двухполюсник, обладающий такой входной функцией, реализуется совокупностью RL- или RC-элементов.
Таким образом, каждое выделение полюса понижает сложность входной функции, и, в конце концов, эта функция будет исчерпана полностью, в результате получается одна из двух схем (рис. 37.1).
Схемы рис. 37.1 называются первой и второй каноническими схемами Фостера. Любая из них содержит минимальное количество реактивных элементов, которое необходимо для построения заданной частотной зависимости входного сопротивления или входной проводимости.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-374- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2kq |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
= |
2k1 |
|
|
|
Lq |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ω2 |
|
|
|
|
|
ωq2 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = k |
||
|
|
|
k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
С = |
|
1 |
|
|
|
|
|
С |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
||
F(p) = Z(p) |
|
|
q |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
2k1 |
|
|
|
|
|
2kq |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 = |
1 |
|
|
|
|
|
Lq = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kq |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2k1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
F(p) = Y(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k0 |
|
|
C = |
2k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
q |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ω2 |
|
Сq = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ωq2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б
Рис. 37.1
2. Метод представления входной функции в виде непрерывной дроби. Наряду со схемами Фостера возможно построение канонических схем в виде цепной или лестничной схем (рис. 37.2).
Очевидно, Z(p) = Z1(p) + Zab(p),
|
|
Zab (p)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и т. д. |
||||||||||||||||
|
|
Y2 |
(p)+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z3 |
(p)+ Zcd |
(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Z (p)= Z1 (p)+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
Y2 (p)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z3 (p)+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(p) |
|
+…+ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yn (p) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zn–1(p) |
|||||||
|
|
Z1(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z3(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y2(p) |
|
|
|
|
|
|
Y4(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yn(p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.2
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-375- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции
Для построения лестничной схемы следует представить входную функцию в виде отношения полиномов, не разложенных на множители:
F (p)= |
M (p) |
= |
an pn + an−1 pn−1 +…+ a1 p + a0 |
. |
N (p) |
|
|||
|
|
bm pm +bm−1 pm−1 +…+b1 p +b0 |
Если функция F(p) = Z(p) − сопротивление и n = m + 1, то имеется полюс при p = ∞, который устраняется одним шагом деления числителя на знаменатель:
Z (p)= A1 p + NM(1(pp)) = A1 p + Z1′(p).
Функция Z1′(p) обращается в нуль при p = ∞, обратная ей функция
Y1′(p)= Z1′1(p) имеет при p = ∞ простой полюс и после выделения целой час-
ти может быть представлена в виде суммы двух функций:
Y1′(p)= A2 p +Y2′(p).
Поступая аналогично, находим
Z2′ (p)= Y2′1(p) = A3 p + Z3′(p).
Повторяя подобные преобразования n раз, получим
Z (p)= A1 (p)+ |
1 |
|
|
|
|
|
. |
||
A2 (p)+ |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
A3 (p)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
(p)+…+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
An (p) |
||||||||
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2),
если
A1(p) = Z1(p), A3(p) = Z3(p), ..., An–1(p) = Zn–1(p),
A2(p) = Y2(p), A4(p) = Y4(p), ..., An(p) = Yn(p).
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-376- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Методы реализации двухполюсника по заданной входной функции
Описанный процесс деления и обращения (инверсии) идентичен методу проверки полиномов Гурвица.
Возможен второй вариант разложения в непрерывную дробь по пара-
метру 1p , при котором устраняется полюс функции в точке p = 0. Разделив числитель и знаменатель функции F(p) на pn и обозначив 1p = q , получим
F (q)= an + an−1q + an−2q2 +…+ a1 pn−1 + a0qn . bmqn−m +bm−1qn−m+1 +…+b1qn−1 +b0qn
Если F(q) = Z(q) − сопротивление, то разложение в цепную дробь дает
Z (q)= B1 (q)+ |
1 |
|
|
|
|
|
. |
||
B2 (q)+ |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
B3 (q)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
(q)+…+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Bn (q) |
||||||||
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Как и в первом варианте, двухполюсник эквивалентен приведенной схеме (рис. 37.2) при
B1 (q)= Bp1 = Z1 (p), B3 (q)= Bp3 = Z3 (p),…, Bn−1Bn−1 (q)= Bnp−1 =
= Zn−1( p) = Bnp−1 = Zn−1 (p),
B2 (q)= Bp2 =Y2 (p), B4 (q)= Bp4 =Y4 (p),…, Bn (q)= Bpn =Yn (p).
Соответствующие двум вариантам разложения цепные схемы называются первой и второй каноническими схемами Кауэра.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-377- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
СвойстваиреализациявходныхфункцийLC-двухполюс-ников.
Выше было показано, что функция входного сопротивления двухполюсника без потерь (LC) записывается в виде
Z (p)= F0 + pT0 + Vp0 = pT0 + Vp0 ,
F0 ≡ 0 − энергетическая функция, характеризующая потери в сопротивлениях.
Нули сопротивления Z(p) |
p = ± j |
|
V0 |
находятся на мнимой оси. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что p = σ + jω, получим |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z (p)= (σ+ jω)T + |
V0 |
= |
σT |
+ |
|
σV0 |
|
|
+ j |
|
ωT − |
|
ωV0 |
|
= |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
σ + jω |
|
0 |
|
σ |
2 |
+ ω |
|
0 |
σ |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ω |
|
|
= R(σ,ω)+ jX (σ,ω).
Наибольший интерес представляет случай p = jω (σ = 0)
Z(jω) = jX(ω), R(σ,ω) = 0.
Аналогично для функции входной проводимости Y(p) = 1/Z(p) при p = jω:
Y(p) = G(σ,ω) + jB(σ,ω) = jB(ω).
Таким образом, входные функции LC-двухполюсников являются реактансными, т. е. имеющими нули и полюсы только на мнимой оси.
Одним из важнейших свойств входных функций является положительный наклон графиков их частотных зависимостей. Действительно, на основании условий Коши – Римана необходимыми и достаточными условиями того, чтобы функция u + jv = f(x + jy) была аналитической, являются
∂u |
= |
∂v |
, |
∂u |
= − |
∂v |
, |
∂x |
|
∂y |
|
∂y |
|
∂x |
|
и чтобы эти частные производные в рассматриваемой области были непрерывны.
Для Z(p) = R(σ,ω) + jX(σ,ω)
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-378- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
|
|
|
|
|
∂R(σ,ω) |
|
= |
∂X (σ,ω) |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂σ |
|
∂ω |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∂X (σ,ω) |
|
|
= |
dX (ω) |
= |
d |
ωT − |
|
ωV0 |
|
|
|
=T + |
V0 |
> 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
∂ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
σ |
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
|||||
|
σ=0 |
|
dω |
dω |
|
|
|
|
+ ω |
|
|
σ=0 |
|
ω |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из монотонного нарастания X(ω) и B(ω) следует, что нули и полюсы функций Z(p) и Y(p) чередуются. Это свойство называется разделительным.
Простые и сопряженные полюсы и нули на мнимой оси обусловлены сомножителями в числителе и знаменателе Z(p) или Y(p) вида (p2 +ω2k ) и p.
Кроме того, независимо от вида и сложности LC-цепь ведет себя как одиночная индуктивность или как одиночная емкость на очень низких и очень высоких частотах, а это значит, что функции Z(p) и Y(p) всегда имеют полюс или нуль при p = 0 и p = ∞. Следовательно, высшая и низшая степени полиномов числителя и знаменателя входных функций двухполюсника должны отличаться на единицу.
Таким образом:
Z (p) |
|
( |
|
|
1 )( |
|
|
3 ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
p2 |
+ ω2 |
p2 |
+ ω2 |
… |
|
||
F (p)= |
|
|
= H |
( |
|
|
2 )( |
|
|
4 ) |
, |
|
Y (p) |
|
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p |
+ ω2 |
p |
+ ω2 |
… |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где ω1 ω3,... − нули: ω2,... − полюсы − 0 ≤ ω1 < ω2 < ω3 < ω4 ...
Если полином M(p) − четный, то полином N(p) − нечетный, и наоборот, если N(p) − четный, то M(p) − нечетный.
Следует отметить, что в зависимости от наличия внешних нулей и полюсов возможны четыре варианта входных функций двухполюсника (рис. 37.3).
а) − степень M(p) меньше степени N(p), в числителе сомножитель p; б) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в числителе; в) − степень M(p) больше степени N(p), сомножитель p в знаменателе; г) − степень M(p) меньше степени N(p), сомножитель p в знаменателе.
Х(ω) |
Х(ω) |
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-379- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
0 |
|
ω |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
ω |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
б |
|
|
|
|
Х(ω) |
|
|
|
Х(ω) |
|
||
|
|
|
0 |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
ω |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
г |
Рис. 37.3
Наиболее простыми цепями, реализующими заданную входную реактанстную функцию, являются канонические цепи Фостера и Кауэра.
Первая цепь Фостера получается при разложении входного сопротивления на сумму простых дробей, число которых определяется числом полюсов Z(p):
|
k0 |
q |
2kk p |
|
|
Z (p)= H p + |
+ ∑ |
|
. |
||
p |
2 |
2 |
|||
|
k=1 |
p +ω |
k |
||
|
|
|
Коэффициенты разложения (вычеты) определяются:
|
Z (p) |
|
|
= lim Z (p) p , |
|
|
|
Z (p)(p2 |
+ ωk2 ) |
|||
H = lim |
|
, k |
|
2k |
|
= lim |
|
|
|
. |
||
p |
|
|
p |
|
||||||||
p→∞ |
|
0 |
p→0 |
|
|
k |
p2 →−ωk2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммированию простых дробей Zk(p) соответствует последовательное соединение реализующих простых элементов L, C0 и параллельных контуров.
Полная реализация двухполюсника в этом случае имеет вид, показанный на рис. 37.4.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-380- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kq |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
1 |
|
|
|
|
|
L |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ω2 |
|
|
|
|
q |
|
ω2 |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||||
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
С = |
|
|
|
|
|
С |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|||||
Z(p) |
|
|
|
|
|
|
|
q |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
2k1 |
|
|
|
|
|
2kq |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.4
Наличие внешних нулей и полюсов функции Z(p) определяет наличие в цепи индуктивности L = H и емкости C0 = 1/k0. Если Z(p) имеет два внешних нуля (частотная характеристика вида – рис. 37.3, а), то в цепи отсутствуют индуктивности L = H и емкости C0, если имеет два внешних нуля (частотная характеристика (рис. 37.3, в), то индуктивность L = H и емкость C0 в цепи имеются. При наличии одного внешнего нуля и полюса у Z(p) (частотные характеристики (рис. 37.3, б, г) в цепи присутствует один из элементов либо L,
либо C0.
Пример 1. Реализовать первую цепь Фостера для функции
( ) 102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 104 )
Z p = (p2 + 2 104 )(p2 + 6 104 )(p2 +10 104 ).
Решение. Построим график, характеризующий частоты нулей и полюсов входного сопротивления − характеристическую строку двухполюсника.
Нули Z(p) при ω = 0, |
ω = 2 102 |
, |
ω = 8 102 |
, |
ω = ∞, полюсы при |
1 |
3 |
|
5 |
|
3 |
ω = 2 102 |
, ω = 6 102 |
, ω = 10 102 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = ∞ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ω1 = 0 |
|
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
ω5 |
|
|
|
ω6 |
|
|
|||||
|
|
|
ω3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Частотная зависимость |Z(ω)| имеет вид рис. 37.5. |
|||||||||||||||||||||
|
Разложение Z(p) на простые дроби дает |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z (p) |
= |
|
2k2 p |
+ |
|
2k4 p |
|
+ |
2k6 p |
. |
||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
2 |
|
2 |
2 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p +ω |
|
|
p + ω |
p + ω |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
Следовательно, в канонической цепи имеется три параллельных колебательных контура (рис. 37.6) с резонансными частотами ω2, ω4, ω6.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-381- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|Z(ω)|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
10 102 |
|
||||
|
2 |
102 |
|
|
|
6 10 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 102 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8 102 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
L4 |
|
|
|
|
|
L6 |
|
|
|
|
|
С2 |
|
С4 |
|
С6 |
Z(p) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.6
Определим элементы контуров:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z (p)(p2 |
+ ωk2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2kk |
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
p2 →−ωk2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
= |
|
lim |
|
|
102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 |
104 )(p2 + 2 104 ) |
|
= 300 |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C2 |
|
|
|
|
|
Ф |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
→−210 |
4 |
(p |
2 |
|
+ 2 10 |
4 |
)(p |
2 |
+ 6 10 |
4 |
)(p |
2 |
+10 10 |
4 |
)p |
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
= |
lim |
|
102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 104 )(p2 + 6 104 ) |
|
= 25, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C4 |
|
p2 |
→−6104 (p2 + 2 104 )(p2 + 6 104 )(p2 +10 104 )p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
= |
|
lim |
|
|
|
102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 |
104 )(p2 +10 104 ) |
= |
300 |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C6 |
|
|
|
|
|
|
8 Ф |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
→−1010 |
4 |
(p |
2 |
+ 2 10 |
4 |
)(p |
2 |
+ |
6 10 |
4 |
)(p |
2 |
|
+10 10 |
4 |
)p |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-382- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
|
|
C2 = 0,0267 Ф, C4 = 0,04 Ф, C6 = 0,0267 Ф. |
|||||||||||||
Индуктивности L |
= |
2kk |
, |
L |
= |
|
300 |
|
=1,88 |
10−3 Гн, |
||||||
|
8 2 104 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
ω2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
= |
|
25 |
= 0,42 10−3 |
Гн, |
|
L |
= |
|
300 |
|
= 0,375 10−3 Гн. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
|
6 |
104 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
8 |
10 104 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая цепь Фостера получается при разложении на простые дроби функции входной проводимости Y(p).
Пример 2. Реализовать двухполюсник, если его входная проводимость
|
Y (p)= |
10−3 (p2 |
+ 2 106 )(p2 |
+ 6 106 )(p2 +10 106 ) |
. |
|
|
||
|
|
p(p2 + 4 106 )(p2 +8 106 ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Функция Y(p) имеет |
полюсы |
при |
ω = 0, |
ω = 2 103 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
ω = |
8 103, ω= ∞, нули при ω = 2 103, ω = |
6 103 |
, ω = |
10 103 . |
|
||||
4 |
|
|
1 |
3 |
|
5 |
|
|
|
Частотная зависимость |Y(ω)| представлена на рис. 37.7.
|Y(ω)|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
2 102 |
|
|
|
6 102 |
|
|
10 102 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 102 |
|
8 102 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 37.7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-383- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L0 = |
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
k0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Y(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
С = Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.8 |
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разложение Y(p) на простые дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Y (p)= H p + k0 |
+ |
|
|
|
2k1 p |
|
|
+ |
|
|
2k3 p |
. |
||||||||||
|
p2 + 4 106 |
|
|
p2 +8 106 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Вторая схема Фостера имеет вид, приведенный на рис. 37.8. Определим элементы цепи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
C = H = lim |
|
|
|
|
=10−3 Ф, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= k0 |
= lim Y (p)p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L0 |
|
p2 →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10−3 |
(p2 |
+ 2 106 )(p2 + 6 106 )(p2 +10 106 )p |
|
18 |
|
3 |
1 |
|
||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
10 |
|
|
|
, |
|
|
|
p(p |
2 |
+ |
4 10 |
6 |
)(p |
2 |
+8 |
10 |
6 |
) |
4 |
|
|
|
|||||||||
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гн |
|
L0 = 0,022·10–3 Гн,
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-384- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(p)(p2 + 4 106 ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
2 |
lim |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 103 |
|
|
|
|
|
, |
L |
= 0,5 10−3 Гн, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
p |
|
→−410 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
Y (p)(p2 +8 106 ) |
=1,5 103 |
1 |
|
|
, |
|
L |
= 0,67 10−3 Гн, |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
→−810 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гн |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
|
2k |
|
2 |
103 |
|
|
−3 |
|
|
C |
|
2k |
3 |
|
|
1,5 |
103 |
|
|
|
−3 |
|
||||||||||
= |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
= 0,5 |
10 |
|
Ф, |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
0,187 10 |
|
Ф. |
|||||
|
|
4 |
106 |
|
|
ω2 |
|
8 106 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
ω2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая каноническая цепь Кауэра получается последовательным выделением полюсов при p = ∞.
Пример 3. Реализовать цепь Кауэра первого типа для функции входного сопротивления
( ) 102 p(p2 + 4 104 )(p2 +8 104 )
Z p = (p2 + 2 104 )(p2 + 6 104 )(p2 +10 104 ).
Решение. Представим Z(p) в виде отношения полиномов
Z (p)= |
|
|
102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
p |
6 |
+18 10 |
4 |
p |
4 |
8 |
2 |
12 |
||
|
|
|
|
+92 10 p |
|
+120 10 |
Поскольку Z(p) не имеет полюса в бесконечности, то в первой схеме Кауэра отсутствует элемент Z1(p). Обратная функция Y(p) = 1/ Z(p) имеет полюс в бесконечности, выделяя который, получим элемент цепи Y2(p);
|
p6 +18 104 p4 +92 108 p2 +120 1012 |
|
|
102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
−(p6 +18 104 p4 +92 108 p2 +120 1012 ) |
|
10-2 p =Y2 (p)= C2 p |
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 104 p4 + 60 108 p2 +120 1012 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию |
|
|||||||||||||
|
Z′(p)= |
102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
6 10 |
4 |
p |
4 |
|
8 |
|
2 |
12 |
|
|
|||
|
|
|
|
+ 60 10 p |
|
+120 10 |
|
Z′(p) имеет полюс при p = ∞, выделяя который, получим Z3(p):
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-385- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p |
|
6 104 p4 + 60 108 p2 +120 1012 |
|
||
|
|
|||||
−(102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p) |
|
1610-2 p = Z3 (p)= L3 p |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|||
|
2 106 p3 +12 1010 p |
|
Следующий шаг обращения и выделения полюса дает следующий элемент цепи Y4(p):
6 104 p4 + 60 108 p2 +120 1012 |
|
|
2 106 p3 +12 1010 p |
||
−(6 104 p4 + 60 108 p2 +120 1012 ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 10-2 p =Y4 (p)= C4 p . |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
24 108 p2 +120 1012 |
|
|
|
|
и т. д.
2 106 p3 +12 1010 p 24 108 p2 +120 1012
−(2 106 p3 +12 1010 p) |
|
|
|
|
1 |
10-2 p = Z5 (p)= L5 p. |
||||||||
|
||||||||||||||
|
|
12 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 1010 p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
24 108 p2 +120 1012 |
|
2 1010 p |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
−(24 108 p2 +120 1012 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
12 10-2 p =Y6 (p)= C6 p, |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
120 1012 |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 1010 p |
|
120 1012 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−(2 1010 p) |
|
|
|
1 |
10-2 p = Z7 (p)= L7 p. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
60 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
Такимобразом, перваясхемаКауэраимеетвид, представленныйнарис. 37.9.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
L3 = 1,67 · 10–3 Гн |
|
|
L5 = 0,83 · 10–3 Гн |
|
L5 = 0,167 · 10–3 Гн |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
С2 = 10–2 |
Ф |
||||||||||
|
|
|
|
|
С4 =3 · 10–2 Ф |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С6 =12 · 10–2 Ф |
|||||||
Z(p) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-386- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
Выше было показано, что возможен второй вариант разложения входной функции в цепную дробь по параметру 1/p, при котором последовательно выделяются полюсы при p = 0. В этом случае реализуется каноническая цепь Кауэра второго типа.
Пример 4. Реализовать цепь Кауэра второго типа для функции входного сопротивления
Z (p)= |
|
|
102 p5 +12 106 p3 +32 1010 p |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
p |
6 |
+18 10 |
4 |
p |
4 |
8 |
2 |
12 |
||
|
|
|
|
+92 10 p |
|
+120 10 |
Решение. Разложим Z(p) в цепную дробь, расположив полиномы числителя и знаменателя по возрастающим степеням. Поскольку Z(p) не имеет полюса при p = 0, то возьмем функцию Y(p) = 1/Z(p), у которой имеется полюс при p = 0. Выделяя первый полюс делением полинома знаменателя Z(p) на полином числителя, получим элемент цепи Y2(p):
120 1012 +92 108 p2 +18 104 p4 + p6 |
|
32 1010 p +12 106 p3 +102 p5 |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
−(120 1012 + 45 108 p2 +3,75 104 p4 + p6 ) |
|
|
|
375p |
=Y2 (p)= |
1 |
|
. |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
L p |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
47 108 p2 +14,25 104 p4 + p6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
От полученного остатка от деления возьмем обратную функцию |
|
|||||||||||||||
Z′(p)= |
32 1010 p +12 106 p3 +102 p5 |
|
||||||||||||||
47 10 |
8 |
2 |
+14,25 |
10 |
4 |
p |
4 |
+ p |
6 . |
|
|
|
||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Функция Z΄(p) имеет полюс при p = 0, выделяя который, получим Z3(p):
32 1010 p +12 106 p3 +102 p5 |
|
47 108 p2 +14,25 104 p4 + p6 |
|
|||||
|
|
|||||||
−(32 1010 p +9,7 106 p3 + 68 p5 ) |
|
|
|
68p |
= Z3 (p)= |
1 |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
C p |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2,3 106 p3 +32 p5 |
|
|
|
|
|
|
Продолжая операции обращения и выделения полюсов при p = 0, получаем:
47 108 p2 +14,25 104 p4 + p6 2,3 106 p3 +32 p5
−(47 108 p2 + 6,54 104 p4 + p6 ) |
|
2040p |
=Y4 (p)= |
1 |
||||||||
|
||||||||||||
|
L p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2,3 106 p3 +32 p5 |
|
7,71 104 p4 + p6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
−(2,3 106 p3 +30 p5 ) |
|
30p = Z5 (p)= |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
C p |
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-387- |
ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Свойства и реализация входных функций LC-двухполюс-ников
|
7,71 104 p4 + p6 |
|
2 p5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
−7,71 104 p4 |
|
|
|
|
|
3,855 103 |
=Y |
(p)= |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
6 |
|
L6 p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 p5 |
|
p6 |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
= Z7 (p)= |
1 |
|
|
|
|
||||
|
−2 p5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
C7 p |
|
|
|
|||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем Z(p) в виде цепной дроби:
Z (p)= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2,7 10−3 p |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,015 p |
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 10−3 p |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,3 10−3 p |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 10−3 p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 p |
|
|
|
|
Соответствующая вторая схема Кауэра представлена на рис. 37.10.
|
|
|
|
|
|
|
С5 =33,3 · 10–3 Ф |
|
|
С3 =0,015 Ф |
|
|
С7 =0,5 Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 = 26 · 10–6 Гн |
|||||
|
|
L4 = 0,5 · 10–3 Гн |
|||
L2 = 2,7 · 10–3 Гн |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 37.10
Наряду с рассмотренными выше каноническими схемами возможны и другие типы схем, которые получаются как комбинации цепей Кауэра первого и второго типов, а также комбинации цепей Фостера и Кауэра. Одним из наглядных примеровявляетсяодновременноевыделениеполюсовприp = ∞иp = 0, чтоэквивалентно процессу деления для высших степеней p, деления для низших степеней, последующегополучениеобратнойфункциииповторениятогожецикла.
Контрольныевопросы
1.Каковы основные методы реализации двухполюсника по заданной входной функции?
2.Чтопредставляют собойперваяи втораяканоническиесхемыФостера?
3.Что представляют собой первая и вторая канонические схемы Кауэра?
4.Какими свойствами обладают входные функции LC-двухполюсников?
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-388- |