- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •ЛЕКЦИЯ 5. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
- •ЛЕКЦИЯ 7. МОЩНОСТЬ В ЦЕПИ ГАРМОНИЧЕСКОГО ТОКА
- •ЛЕКЦИЯ 8. ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ (РЕЗОНАНСНЫЕ) ЦЕПИ
- •ЛЕКЦИЯ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР
- •ЛЕКЦИЯ 10. СЛОЖНЫЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 12. НАСТРОЙКА СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 13. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
- •ЛЕКЦИЯ 14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 15. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ (ВТОРИЧНЫЕ) ПАРАМЕТРЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
- •ЛЕКЦИЯ 17. СЛОЖНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
- •ЛЕКЦИЯ 18. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
- •ЛЕКЦИЯ 20. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПИ RLC
- •ЛЕКЦИЯ 23. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
- •ЛЕКЦИЯ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 26. ФИЛЬТРЫ ВЕРХНИХ ЧАСТОТ
- •ЛЕКЦИЯ 27. ПОЛОСОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 28. ФИЛЬТРЫ ТИПА M
- •ЛЕКЦИЯ 29. БЕЗЫНДУКЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ
- •ЛЕКЦИЯ 30. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
- •ЛЕКЦИЯ 31. РЕЖИМ БЕГУЩИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 32. РЕЖИМ СТОЯЧИХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 33. РЕЖИМ СМЕШАННЫХ ВОЛН
- •ЛЕКЦИЯ 34. СОГЛАСОВАНИЕ ЛИНИИ С НАГРУЗКОЙ
- •ЛЕКЦИЯ 35. ЧЕТВЕРТЬВОЛНОВЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
- •ЛЕКЦИЯ 36. ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
- •ЛЕКЦИЯ 37. СИНТЕЗ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 38. СВОЙСТВА И РЕАЛИЗАЦИЯ ВХОДНЫХ ФУНКЦИЙ RC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 39. СИНТЕЗ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
- •ЛЕКЦИЯ 41. ЛЕСТНИЧНЫЕ ЦЕПИ С ЭЛЕМЕНТАМИ ДВУХ ТИПОВ
- •ЛЕКЦИЯ 42. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ МЕТОДОМ ДАРЛИНГТОНА
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Виды связи. Коэффициент связи. Соотношения между токами в связанных контурах. Векторные диаграммы связанных контуров.
Рассмотренные ранее одиночные колебательные контуры обладают недостаточно высокой избирательностью ввиду невысокой крутизны скатов резонансной кривой, что препятствует четкому разделению сигналов по частоте. Для повышения избирательности применяют сложные колебательные системы из нескольких контуров, связанных между собой различным способом. Чаще всего применяют системы из двух связанных контуров.
Видысвязи.
В зависимости от того как осуществляется связь между контурами через общий магнитный поток или общее электрическое поле различают
магнитную (индуктивную) (рис. 11.1, а, б) или электрическую (рис. 11.1, в, г)
связь. Применяют также и комбинированную индуктивно-емкостную связь
(рис. 11.2, а).
Кроме того, связь подразделяют на внешнюю, когда элементы связи не входят в состав контуров, и внутреннюю, когда элементы связи являются общими для двух контуров.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
L1 |
|
|
|
|
|
L2 |
C2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Трансформаторная |
|
|
|
|
|
|
Автотрансформаторная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(внешняя магнитная) |
|
|
|
|
|
(внутренняя магнитная) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|||||||||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутренняя емкостная |
|
|
|
|
|
|
Внешняя емкостная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-99- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Виды связи
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|||||
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
Z1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C12 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
R1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а |
|
Рис. 11.2 |
|
|
б |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При рассмотрении стационарного режима любую из двухконтурных цепей можно представить в виде обобщенной схемы (рис. 11.2, б).
В общем случае Z1 и Z2 имеют L1, C1, R1 и L2, C2, R2, входящие только в первый или во второй контуры, Z12 имеет L12, C12, R12, общие для двух контуров.
Результирующие величины L, C, R, получаемые при обходе данного контура при разомкнутом втором: L11, C11, R11 и L22, C22, R22.
Z |
= R |
+ jωL |
+ |
|
|
1 |
|
, |
|
||||
|
jωC |
||||||||||||
|
11 |
|
11 |
11 |
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
Z |
|
= R |
+ jωL |
+ |
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
22 |
|
22 |
22 |
|
|
jωC22 |
||||||
Общее сопротивление Z |
= R + jωL |
+ |
|
|
1 |
. |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
12 |
|
12 |
12 |
|
|
|
jωC |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
Очевидно, что Z11 = Z1 + Z12 , |
Z22 = Z2 + Z12 . |
|
|
|
Коэффициентсвязи.
Для количественной оценки взаимного влияния контуров применяется понятие коэффициента связи. Рассмотрим, например, случай трансформаторной связи (рис. 11.1, а). Пусть при разомкнутом втором контуре в первом
контуре протекает ток I1 . Тогда отношение ЭДС, индуктированной в катушке L22, к полному напряжению на индуктивности L11
k = |
E2 |
= |
jωMI1 |
= |
M |
, |
|
|
jωL I |
L |
|||||
1 |
U |
L |
|
|
|
||
|
|
|
11 1 |
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
где k1 имеет смысл коэффициента трансформации и является величиной, характеризующей степень связи первого контура со вторым.
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-100- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Коэффициент связи
Если генератор включить со стороны второго контура, а первый контур
разомкнуть, то k2 = M .
L22
При одновременном протекании токов в обоих контурах имеется взаимное влияние между ними тем большее, чем больше произведение k1k2.
Коэффициент связи между контурами определяют как k = k1k2 .
Для трансформаторной связи k = |
M |
. |
|
|
|||
|
L L |
||
|
11 |
22 |
|
В общем случае коэффициент связи k определяется как отношение сопротивления связи к среднему геометрическому сопротивлений того же рода обоих контуров. Для рассмотренной выше трансформаторной связи
k = |
X12 |
|
= |
ωM |
|
= |
M |
|
. |
ωL ωL |
ωL ωL |
L L |
|||||||
|
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
Для автотрансформаторной связи (рис. 11.1, б)
k = |
X12 |
|
= |
ωL12 |
|
= |
L12 |
|
. |
ωL ωL |
ωL ωL |
L L |
|||||||
|
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
11 |
22 |
|
Для внутренней емкостной связи (рис. 11.1, в)
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
C11C22 |
|
|||||
|
|
|
|
k = |
|
|
|
ωC12 |
|
|
= |
|
|
C12 |
|
|
= |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC11 |
|
ωC22 |
|
|
|
C11 |
|
C22 |
|
|
|
|
||||||
где C = |
C1C12 |
, |
C |
22 |
= |
|
C2C12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11 |
C1 |
+C12 |
|
|
|
|
C2 +C12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При изменении емкости C12 от 0 до ∞ коэффициент связи изменяется от k = 1 до k = 0.
При C12 = 0 система вырождается в один контур, при C12 → ∞ ωC112 → 0
и контуры оказываются несвязанными.
Если связь между контурами осуществляется через чисто реактивное сопротивление и контуры настроены на одну частоту, совпадающую с частотой генератора, то индуктивное и емкостное сопротивления каждого контура приблизительно равны характеристическому сопротивлению и коэффициент связи может быть определен по формуле
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-101- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Коэффициент связи
k = X12 ,
ρ1ρ2
где ρ1 и ρ2 – характеристические (волновые) сопротивления первого и второго контуров.
Соотношениямеждутокамивсвязанныхконтурах.
Для обобщенной схемы связанных контуров (рис. 11.2, б) можно составить систему уравнений методом контурных токов
E = Z11I1 − Z12I2 ,
0 = −Z12I1 + Z22I2.
Решив систему относительно токов в контурах, получим
I |
2 |
= |
Z12 |
I |
, |
I |
|
= |
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
, |
|
I |
2 |
= |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z12 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Z |
1 |
|
|
1 |
|
|
Z |
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
Z |
2 |
|
|
Z |
|
|
|||||||||||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
22 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
Z22 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
Z22 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
Z22 |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
Z12 |
|
|
|
|||||||
|
|
I |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z11 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z |
|
− |
|
|
Z |
22 |
|
|
|
Z |
22 |
|
|
Z |
|
− |
|
|
|
|
Z |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
Z22 |
|
|
|
|
|
|
|
Z11 |
|
|
|
|
22 |
|
Z11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения для тока в первом контуре следует, что влияние второго контура на первый можно оценить с помощью некоторого «вносимого» со-
противления, добавляемого к собственному сопротивлению Z11 , т. е.
Z = − |
Z 2 |
|
тогда I = |
|
E |
|
12 |
, |
|
|
. |
||
|
|
|||||
1BH |
Z22 |
|
1 |
Z11 |
+ Z1BH |
|
|
|
|
|
Таким же образом влияние первого контура на второй можно оценить с
= − Z 2
помощью вносимого сопротивления Z2BH 12 .
Z11
Чаще всего сопротивление связи чисто реактивное
|
|
|
Z12 = ± jX12 , |
|
тогда Z 2 |
= −X 2 |
и Z = |
X122 |
. |
|
||||
12 |
12 |
1BH |
Z22 |
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-102- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Соотношения между токами в связанных контурах
При Z22 = R2 + jX22
Z |
|
|
X 2 |
|
|
|
X 2 |
R − j |
|
X 2 |
X |
|
|
= |
|
12 |
|
= |
|
12 |
|
12 |
|
, |
|||
R |
+ jX |
|
R2 |
+ X 2 |
R2 |
+ X 2 |
|
||||||
1BH |
|
22 |
|
2 |
|
22 |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
22 |
|
2 |
22 |
|
|
|
Z1BH = R1BH + jX1BH.
Аналогично из первого контура во второй вносится сопротивление
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
X 2 |
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
= R |
+ jX |
|
|
|
|
|
|
|
|
2BH |
= |
12 |
= |
|
|
12 |
2BH |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2BH |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + jX11 |
|
|
|
||||||
где R = |
|
|
X 2 |
R , X |
|
|
= − j |
|
|
X 2 |
X |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2BH |
|
Z |
|
2 |
1 |
|
2BH |
|
|
|
|
Z |
|
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что независимо от вида связи и настройки контуров действительная часть вносимого сопротивления всегда положительна. Это следует из физического эффекта поглощения энергии, поступающей из первого контура во второй.
Реактивная составляющая вносимого сопротивления может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от настройки контуров
X |
|
= ωL − |
1 |
, |
|
ωC22 |
|||
|
22 |
22 |
|
при ω > ω02 X22 > 0 и X1BH < 0, при ω < ω02 X22 < 0, X1BH > 0,
ω02 – резонансная частота второго контура.
Это значит, что при индуктивной расстройке второго контура в первый вносится емкостное сопротивление, а при емкостной наоборот – индуктивное.
При резонансе второго контура
ω= ω X |
|
|
X |
|
= 0, R = |
X 2 |
|
22 |
= 0, |
1BH |
12 |
, |
|||
|
|||||||
02 |
|
|
1BH |
R2 |
|||
|
|
|
|
|
|
т. е. чем меньше сопротивление потерь второго контура, тем больше вносимое сопротивление и большее влияние оказывает второй контур на режим работы первого контура.
Следует также отметить, что фазы Z1BH и Z2BH равны соответственно и противоположны по знаку фазам Z22 и Z11
X1BH |
= − |
X22 |
, |
X2BH |
= − |
X11 |
. |
R |
R |
R |
|
||||
|
|
|
R |
||||
1BH |
2 |
|
2BH |
1 |
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-103- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Векторныедиаграммысвязанныхконтуров.
Векторные диаграммы токов и напряжений в связанных контурах рассмотрим на примере схемы с трансформаторной связью (рис. 11.3, а). Схема замещения первого контура содержит кроме собственных элементов еще и вносимые активное R1BH и реактивное X1BH сопротивления (рис. 11.3, б).
Для построения векторных диаграмм удобно воспользоваться системой уравнений связанных контуров:
E = Z11I1 − Z12I2 ,
0 = −Z12I1 + Z22I2.
Сучетомвносимыхсопротивленийэтиуравненияможнопредставитьввиде:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E = R11 |
+ jωL11 + |
|
I1 |
− jωMI2 , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
jωC11 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R + jωL + |
1 |
I |
|
||||||
0 |
= − jωMI + |
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
22 |
|
22 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
jωC22 |
|
|
Здесь R11 = R1 + R1BH, R22 = R2 + R2BH.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
R1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
L1 |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1BH |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1BH |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-104- |
ЛЕКЦИЯ 11. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
Векторные диаграммы связанных контуров
|
1 |
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
jωC22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωL22 I2 |
|
|
|||||||
jωM I1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
90° |
|
|
|
R22 I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωL11 I1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωC11 |
|
|
|
|
|
|
R11 I1 |
− jωM I2
Е
I1
Рис. 11.4
Предположим, что контуры работают на частоте выше резонансной, т. е. их реактивное сопротивление имеет индуктивный характер. Тогда напряжения на индуктивностях по величине больше напряжений на емкостях.
Выбрав произвольно направление тока I2 , откладываем напряжение на сопротивлении R22, совпадающее по направлению с током I2 (рис. 11.4). Напряжение на индуктивности L22 опережает, а на емкости C22 отстает от тока
I2 на π2 . Согласно второму уравнению сумма напряжений на элементах вто-
рого контура равна напряжению на сопротивлении связи jωMI1 .
Ток I1 отстает от напряжения jωMI1 на π2 .
Аналогично строим векторную диаграмму для первого контура.
Контрольныевопросы
1.Какие виды связи применяют в системе из двух связанных контуров?
2.Что такое коэффициент связи?
3.Что такое «вносимое» сопротивление контура?
Основы теории цепей. Конспект лекций |
-105- |