- •1.Предмет и задачи информатики
- •1) Теоретическая информатика:
- •2) Средства информатизации:
- •3) Информационные технологии
- •4) Социальная информатика:
- •2. Истоки и предпосылки информатики.
- •3. Структура современной информатики
- •4. Понятие информации. Носители информации. Сигналы
- •5. Количество информации. Измерение информации. Единицы измерения
- •6. Кодирование информации различных видов
- •7. Свойства информации
- •8. Устройство персонального компьютера
- •9. Основные принципы построения и работы компьютера
- •10. Понятие файла и файловой системы
- •11. Понятие информационной технологии
- •13. Основы интернета. Основные протоколы
- •14. Службы Интернета
- •15. Этапы решения задачи на эвм
- •16. Алгоритм. Свойства алгоритма
- •17. Методы проектирования алгоритмов
- •18. Способы описания алгоритмов. Основы графического способа.
- •19. Структуры алгоритмов. Основные виды вычислительных процессов. Примеры.
- •20. Алгоритмы вычисления суммы функционального ряда. Использование рекуррентных формул. Пример
- •Примеры
- •21. Поиск минимального и максимального элементов массива.
- •22. Сортировка одномерных массивов
- •23. Системы программирования и их состав.
- •24. Понятие о программировании
- •25. Понятие программного обеспечения. Классификация программного обеспечения.
- •26. Назначение операционной системы
- •27. Основные функции операционных систем
- •28. Прикладное по
- •29. Язык программирования Паскаль. Общая характеристика. Основные правила записи программ на языке Паскаль. Структура программы. Пример программы
- •6.Понятие типа данных в Турбо Паскаль
- •Простые типы данных
- •Численные (арифметические) выражения
- •Логические выражения
- •Символьные выражения
- •Составной оператор
- •30. Основные элементы языка Pascal
- •31. Понятие типа данных в Турбо Паскаль
- •Простые типы данных
- •Численные (арифметические) выражения
- •Логические выражения
- •Составной оператор
- •34. Ввод и вывод данных в Паскале.
- •Рассмотрим, для начала, Вывод данных в Паскале.
- •Рассмотрим, теперь, Ввод данных в Паскале.
- •35. Условные операторы Pascal-Паскаль
- •36. Оператор выбора Паскаля
- •37. Оператор безусловного перехода
- •38. Счетный оператор цикла или оператор цикла с параметром
- •39. Цикл с предпроверкой условия
- •40. Цикл с постпроверкой условия
- •42. Процедуры и функции
- •Описание и вызов процедур и функций
- •43. Процедуры.
- •44. Численное решение систем нелинейных уравнений
- •Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.2. Методы уточнения корней нелинейных уравнений
- •Тогда .
- •С погрешностью
- •Откуда при
- •Пусть тогда и
- •45. Метод половинного деления.
- •Тогда .
- •С погрешностью
- •46. Метод хорд
- •47. 52. Метод Ньютона (метод касательных)
- •48. Комбинированный метод хорд и касательных для уточнения корней нелинейных уравнений
- •49. 51. Метод простых итераций
- •50. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
- •53. Метод прямоугольников
- •Составные квадратурные формулы
- •Составные формулы для равномерных сеток
- •Погрешность метода
- •Пример реализации
- •54. Метод трапеций
- •Составная формула
- •59. Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа
- •Определение
- •Применения
- •Случай равномерного распределения узлов интерполяции
- •60. Разделё́нная ра́зность
- •Определение
- •Применение
- •История
44. Численное решение систем нелинейных уравнений
Постановка задачи.
Требуется решить систему нелинейных уравнений (1). В координатном виде эту задачу можно записать так:, где 1 ≤k≤n.
Убедиться в существовании решения и количестве корней, а также выбрать нулевое приближение в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными можно, построив графики функций в удобных координатах. В случае сложных функций можно посмотреть поведение аппроксимирующих их полиномов. Для трех и более неизвестных, а также для комплексных корней, удовлетворительных способов подбора начального приближения нет.
Метод Ньютона.
Обозначим некоторое приближение к корню системы уравнений. Пусть малое. Вблизикаждое уравнение системы можнолинеаризоватьследующим образом:
, 1 ≤ k≤n.(2)
Это можно интерпретировать как первые два члена разложения функции в ряд Тейлора вблизи . В соответствии с (1), приравнивая (2) к нулю, получим:
, 1 ≤ k≤n.(3)
Мы получили систему линейных уравнений, неизвестными в которой выступают величины . Решив ее, например, методом Гаусса, мы получим некое новое приближение к, т.е.. Выражение (3) можно представить как обобщение на систему уравнений итерационного метода Ньютона, рассмотренного в предыдущей главе:
, (4)
где в данном случае
–матрица Якоби, которая считается для каждого (s)приближения.
Критерием окончания итерационного процесса является условие (Можем принять подкак норму, так и). Достоинством метода является высокая скорость сходимости. Сходимость метода зависит от выбора начального приближения: если, то итерации сходятся к корню. Недостатком метода является вычислительная сложность: на каждой итерации требуется находить матрицу частных производных и решать систему линейных уравнений. Кроме того, если аналитический вид частных производных неизвестен, их надо считать численными методами.
Блок-схема метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
Так как метод Ньютона отличается высокой скоростью сходимости при выполнении условий сходимости, на практике критерием работоспособности метода является число итераций: если оно оказывается большим (для большинства задач >100), то начальное приближение выбрано плохо.
Частным случаем решения (4) методом Ньютона системы из двух нелинейных уравнений
являются следующие легко программируемые формулы итерационного процесса:
, где ,
,
Метод простых итераций.
Метод простых итераций для решения (1) аналогичен методу, рассмотренному при решении нелинейных уравнений с одним неизвестным. Прежде всего, выбирается начальное приближение , а исходная система уравнений преобразуется к эквивалентной системе вида
, (5)
и по ней осуществляется итерационный цикл. Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (1). Обозначим . Достаточным условием сходимости является. Скорость сходимости метода сильно зависит от вида конкретно подбираемых функций, которые должны одновременно удовлетворять условиям эквивалентности (5) и (1), и обеспечивать сходимость итерационного процесса.
Например, для исходной системы уравнений эквивалентная итерационная система (5) может быть представлена в следующем виде:
,
где множители = –0.15 и= –0.1 подбираются из анализа условий сходимости.
Метод спуска.
Рассмотрим функцию . Она неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, если. То есть, если мы найдемглобальныйминимум, то полученные значениякак раз и будут решениями уравнения (1). Подробнее о решении таких задач см. следующую главу.