Методы численного решения уравнений и систем нелинейных уравнений

3.1. Решение нелинейных уравнений

3.1.1. Отделение корней нелинейных уравнений

3.1.2. Методы уточнения корней нелинейных уравнений

 

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

                                                         ,                                                 (3.1)

где функция нелинейная:

–     нелинейная алгебраическая функция вида

;

–     трансцендентная функция (тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная или гиперболическая функция);

–     функция, полученная комбинированием этих функций.

Решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка  которая при подстановке в уравнение (3.1) обращает его в тождество. На практике не всегда удаётся подобрать такое решение точно. В этом случае решение уравнения (3.1) находят с применением приближённых (численных) методов. В этом случае решением нелинейного уравнения (3.1) называется такая точка , при подстановке которой в уравнение (3.1) последнее будет выполняться с определённой степенью точности, т. е.

,

где  − малая величина.

Процесс решения нелинейных уравнений предполагает реализацию  двух этапов:

1)  отделения корней нелинейных уравнений;

2)  уточнения корней нелинейных уравнений.

3.1.1. Отделение корней нелинейных уравнений   На этом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются у него корни или нет. Если корни есть, то необходимо уточнить, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень уравнения. Рассмотрим несколько способов отделения корней нелинейного уравнения. Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения (3.1), можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближённым значением корня. Если функция  имеет сложный вид, то её можно представить в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , . Значение  − приближённое значение корня (рис. 3.1) − является абсциссой точки пересечения двух графиков. Пример. Рассмотрим нелинейное уравнение вида . Отделим его корни графически. Решение. Представим уравнение в виде , где ,  . Графики функций ;  представлены на рис. 3.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень . Пример. Пусть задано нелинейное уравнение вида  или . Построив два графика функций  и , видим, что исходное уравнение не имеет корней (рис. 3.3).

Пример. Для нелинейного уравнения вида  с помощью аналогичных преобразований и построений получим, что исходное уравнение имеет несколько корней (рис. 3.4), а точнее, три корня. Второй способ отделения корней − табличный. При этом способе составляют таблицу значений функции  на определённом промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов соответствующие значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения  находится между ними. Пример. Выясним, сколько корней имеет уравнение  на отрезке

Решение. Составим таблицу значений функции  на промежутке  с шагом изменения аргумента  равным 1 (табл. 3.1).

Таблица 3.1

	−3,0	−2,0	−1,0	0,0	1,0
	−14,05	−4,14	1,63	3,00	−0,72

Как видно из табл. 3.1, корни уравнения  существуют на отрезках  и  поскольку значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.

Следующий способ отделения корней – аналитический. В этом случае процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

Теорема 3.1. Если функция  непрерывна на отрезке  и меняет на концах отрезка знак, т. е. , то на отрезке  содержится хотя бы один корень уравнения

Теорема 3.2. Если функция  непрерывна на отрезке , выполняется условие вида  и производная функции  сохраняет знак на отрезке , то на отрезке содержится единственный корень уравнения

Теорема 3.3. Если функция  является многочленом  степени  и на концах отрезка  меняет знак, т. е. , то на отрезке  имеется нечётное количество корней (если производная функции  сохраняет знак на отрезке , то корень единственный). Если на концах отрезка  функция не меняет знак, т. е. , то уравнение (3.1) либо не имеет корней на отрезке , либо имеет чётное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого нужно определить критические точки , т. е. точки, в которых первая производная  равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности  функции . На каждом из них следует определить знак производной , где , а затем выделить те интервалы монотонности, на которых функция  меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.