49. 51. Метод простых итераций

В ряде случаев весьма удобным приемом уточнения корняуравнения является метод последовательных приближений (метод итераций).

Пусть с точностью необходимо найти корень уравненияf(x)=0, принадлежащий интервалу изоляции[a,b]. Функцияf(x)и ее первая производная непрерывны на этом отрезке.

Для применения этого метода исходное уравнение f(x)=0должно быть приведено к виду

(4.2)

В качестве начального приближения 0 выбираем любую точку интервала [a,b].

Далее итерационный процесс поиска корня строится по схеме:

(4.3)

В результате итерационный процесс поиска реализуется рекуррентной формулой (4.3). Процесс поиска прекращается, как только выполняется условие

(4.4)

или число итераций превысит заданное число N.

Для того, чтобы последовательность х₁, х₂,…, х_nприближалась к искомому корню, необходимо, чтобы выполнялось условие сходимости:

(4.5)

Рис. 4.6.  Геометрический смысл метода

Переходим к построению схемы алгоритма (рис. 4.7). Вычисление функцииоформим в виде подпрограммы.

Рис. 4.7.  Схема алгоритма уточнения корня методом итераций

50. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х или 3-х уравнений. Если же число уравнений больше, то гораздо выгоднее использовать метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть необходимо решить систему: где x_i - неизвестные, i = 1, 2, ..., n; n < 200. Если число уравнений больше, то нужно применять итерационные методы решения. a_i,j - элементы расширенной матрицы коэффициентов В соответствии с алгоритмом Гаусса выразим x₁ из первого уравнения (2) x₁ = (a_1,n+1 - a_1,2x₂ - ... - a_1nx_n)/a₁₁ Если a_1,1=0, то необходимо переставить уравнения системы. Затем подставим (2) во все уравнения системы (1), кроме первого. Таким образом, неизвестное x₁ будет исключено из всех уравнений системы, кроме первого. При этом элементы расширенной матрицы преобразуются по формулам: a_1j⁽¹⁾ = a_1j/a₁₁ a_ij⁽¹⁾ = a_ij - a_i1a_1j⁽¹⁾, i = 2,3,...,n; j = 1, 2, ..., n+1 В результате исключения x₁ из всех уравнений все элементы первого столбца преобразованной матрицы будут равны нулю, кроме a₁₁⁽¹⁾ = 1 Аналогично, x₂ выражаем из 2-го уравнения и исключаем оставшихся уравнений системы и т.д. В результате получаем преобразованную матрицу, у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Выпишем соответствующие формулы для исключения неизвестного x_k и получения коэффициентов преобразованной матрицы. Теперь мы можем определить все неизвестные x_k последовательно, начиная с x_n и заканчивая x₁. Эта процедура называется обратным ходом метода Гаусса. Для того, чтобы уменьшить погрешность при делении на диагональный элемент в формуле (3), рекомендуется осуществлять такую перестановку уравнений, чтобы поставить на диагональ наибольший по модулю из всех элементов рассматриваемого столбца. Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Оценить погрешность численного решения системы можно с помощью вычисления невязок. Для этого численные решения x_k, k = 1, 2, ..., n, нужно подставить в систему и вычислить разность между правыми и левыми частями уравнений. При малой погрешности решений величины невязок r_k будут равны нулю.