8. Ламинарное и турбулентное течение. Движение тел в жидкостях и газах. Формула Стокса.

Поток вязкой жидкости может быт ламинарным турбулентным В случае ламинарного (слоистого) течения каждый слой потока перемещается, не перемешиваясь с другими слоями. При турбулентном (вихревом) течении происходит образование вихрей и перемешивание различных слоев жидкости.

С увеличением скорости потока ламинарное течение может перейти в турбулентное, а скорость, при которой происходит этот переход называется критической. При течении по трубе слой жидкости скользят один по другому, перемещаясь с разными скоростями. Это различие скоростей обусловлено наличием трения слоев жидкости друг о друга, которые называется внутренним трением. В различных жидкостях силы внутреннего трения неодинаковы.

Ламина́рное тече́ние (лат. lamina — пластинка, полоска) — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления). Ламинарное течение возможно только до некоторого критического значения числа Рейнольдса, после которого оно переходит в турбулентное. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе

Турбулентное течение - форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядоченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа. Наиболее детально изучены Т. т. в трубах, каналах, пограничных слоях около обтекаемых жидкостью или газом твёрдых тел, а также так называемых свободные Т. т. — струи, следы за движущимися относительно жидкости или газа твёрдыми телами и зоны перемешивания между потоками разной скорости, не разделённым и какими-либо твёрдыми стенками.

Коэффициент сопротивления l=8t_w /rv²_cp (где t_w — напряжение трения на стенке, r — плотность жидкости, v_cp — её скорость, средняя по сечению потока) связан с Re соотношением

l^–1/2=(1/ xÖ8 ) In (l^1/2 Re) + B,

Стокса формула

F=6П*η*V*D, где D – диаметр шара(трубы), V- скорость движения жидкости

Re=(p(плотн.)*V*D)/η , где η – вязкость; V(ню)= η/p(плотность) – кинематическая вязкость.

Число Re> кристического => движение тела турбулентное

Число Re< критического => движение тела ламинарное.

9. Колебательное движение. Гармонические колебания.

Такое движение обуславливается переменной силой, во всякий момент направленной противоположно отклонению колеблющейся точки u, пропорциональной величине отклонений. Перемещение колеблющейся точки, в самом простом случае, выражается уравнением: x = α sin2 π t / T, где α размах или амплитуда колебания, T - период одного колебания, t время, считаемое от момента прохождения точки чрез среднее свое положение и угол 2π t / T - фаза колебания. Фаза определяет место точки в пути и считается от 0 до 2π. Кинетическая энергия колеблющейся частицы (масса m), выражаемая, обыкновенно, через ½ mv2 (живая сила), меняется в течение ½ периода от нуля до некоторого максимума. Поэтому средняя величина энергии для времени ½ периода выражается через π2m a2 / T2.

Все возможные типы колебаний могут быть приведены к простому колебанию - гармоническому

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом: или ,где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Гармонические колебания отличаются от всех остальных видов колебаний по следующим причинам:

1)Очень часто малые колебания, как свободные, так и вынужденные, которые происходят в реальных системах, можно считать имеющими форму гармонических колебаний или очень близкую к ней.

2)Широкий класс периодических функций может быть разложен на сумму тригонометрических компонент. Другими словами, любое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний.

3)Для широкого класса систем откликом на гармоническое воздействие является гармоническое колебание (свойство линейности), при этом связь воздействия и отклика является устойчивой характеристикой системы. С учётом предыдущего свойства это позволяет исследовать прохождение колебаний произвольной формы через системы.

10. Маятники. Биение.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.

- угол отклонения маятника от равновесия;

— начальный угол отклонения маятника;

— масса маятника;

— расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;

— радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

— ускорение свободного падения.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника Величина l называется приведённой длиной физического маятника.

Период колебаний физического маятника Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Интегрируя это уравнение, получаем.,где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение: .Отделяем переменные и интегрируем это уравнеие:

.Удобно сделать замену переменной, полагая . Тогда искомое уравнение принимает вид:

. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где l ― длина подвеса. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид: Гармонические колебанияМаятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы: где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

11. Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости: , где r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось X имеют разные знаки. Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид: .Применив обозначения , , перепишем уравнение движения следующим образом: .

Это уравнение описывает затухающие колебания системы. Коэффициент  называется коэффициентом затухания. решение можно записать в виде:

где  – частота затухающих колебаний.

Величина x периодически проходит через нуль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. Промежуток времени между двумя последовательными прохождениями x через нуль равен . Удвоенное его значение называется периодом колебаний. Множитель , стоящий перед периодической функцией , называется амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает со временем. Скорость затухания определяется величиной . Время, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в  раз, называется временем затухания . За это время система совершает  колебаний. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимум или минимум: .Он связан с числом колебаний N соотношением:

Величина  называется добротностью колебательной системы. Добротность тем выше, чем большее число колебаний успевает совершить система прежде, чем амплитуда уменьшится в  раз.

Постоянные величины  и , как и в случае гармонических колебаний, можно определить из начальных условий.