16. Распределение Больцмана, Гиббса.

В отсутствие внешних сил средняя концентрация молекул газа п в состоянии равновесия всюду одинакова. Но этого не будет при наличии силовых полей. Рассмотрим, например, идеальный газ в однородном поле тяжести. В состоянии теплового равновесия температура Т должна быть одинакова по всей толще газа. Иначе в газе возникли бы потоки тепла, направленные в сторону убывания темпера­туры, и состояние газа не было бы равновесным. Для механического равновесия необходимо, сверх того, чтобы концентрация молекул газа убывала с увеличением высоты. Направим ось Z верти­кально вверх и найдем закон изменения концент­рации п с координатой Z в состоянии теплового и механического равновесия. Выделим мысленно бесконечно короткий вертикальный столб газа ABDC с высотой dz. Пусть площадка основания столба равна единице. Вес столба nmgdz должен уравновешиваться разностью давлений P1-P2=-(dP/dz)*dz. Это приводит к соотношению dP/dz=-nmg. Подставляя сюда P=nkT и принимая во внимание, сто температура T одинакова во всех высотах, получим kT(dn/dz)=-nmg или kTdln(n)=-mgdz. Для справедливости этого соотношения предположение об однородности поля тяжести, используемое при выводе, несущественно. Аналогичное соотношение можно получить и для неоднородного поля. Для этого надо написать условие механического равновесия части газа, заполняющей настолько малую область пространства, что в пределах этой области поле g может считаться однородным. Условие равновесия в этом случае удобнее писать в векторной форме kTdLn(n)=-m(gdr). Физическая природа силового поля g также не играет роли. Оно не обязательно должно быть гравитационным, а может быть электрическим или каким-либо другим. Важно только, что поле должно быть постоянно и консервативно (потенциально). В неконсервативных полях равновесие невозможно. В этом нетрудно убедиться, интегрирую по замкнутому контуру обе части последнего соотношения. Если поле g не консервативно, то по крайней мере для некоторых контуров интеграл (gdr) будет отличен от нуля. Интеграл же от левой части последнего выражения равен нулю по любому замкнутому контуру ввиду однозначности функции n(r). Получившиеся противоречие и доказывает наше утверждение. Следует, однако, отметить, что потенциальности (консервативность) силового поля является только необходимым, но достаточным условием равновесного газа. Если Ep-потенциальная энергия молекулы в силовом поле, то m(gdr)=dEp , а потому kTdLn(n)=-dEp . В этом виде соотношение уже не осталось никаких признаков однородности и физической природы силового поля. Интегрируя получаем Это важное соотношения называется Законом Распределения Больцмана или просто рапределение Больцмана. Приминительно к однородному полю тяжести, если от концентрации n перейти в давлению P, формула преобразуется в где μ- молекулярный вес газа, а R – универсальная газовая постоянная. Это – Барометрическая Формула, с которой мы имели дело в механике.

Гиббса распределение, фундаментальный закон статистической физики, определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые значения.

Для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура (с термостатом), справедливо каноническое Гиббса распределение, установленное Дж. У. Гиббсом в 1901 для классической статистики. Согласно этому распределению, вероятность определённого микроскопического состояния пропорциональна функции распределения f (qi, pi), зависящей от координат qi и импульсов pi частиц системы: де H (qi, pi) — функция Гамильтона системы, т. е. её полная энергия, выраженная через координаты и импульсы частиц, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура; постоянная А не зависит от qi и pi и определяется из условия нормировки (сумма вероятностей пребывания системы во всех возможных состояниях должна равняться единице). Т. о., вероятность микросостояния определяется отношением энергии системы к величине kT (которая является мерой интенсивности теплового движения молекул) и не зависит от конкретных значений координат и импульсов частиц, реализующих данное значение энергии.

В квантовой статистике вероятность wn данного микроскопического состояния определяется значением энергетического уровня системы Eп. Для идеального газа, т. е. газа. в котором энергией взаимодействия частиц можно пренебречь, каноническое Гиббса распределение переходит в Больцмана распределение, определяющее вероятность того, что координата и импульс (энергия) отдельной частицы имеют данные значения (см. Больцмана статистика).

Если система изолирована, то её энергия постоянна; в этом случае справедливо микроканоническое Гиббса распределение, согласно которому все микроскопические состояния изолированной системы равновероятны. Микроканоническое Гиббса распределение лежит в основе Гиббса распределение канонического.