Глава 2. Практическое значение функций нескольких переменных

1.Решение задач с помощью функций нескольких переменных в прикладной математике

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Решение. Находим критические точки функции внутри области из условия Получаем⇒– точка лежит на границе области . Значит, внутри области критических точек нет.

Исследуем на границе области . Для исследования разбиваем границу на три участка (соответственно сторонам треугольника):

На первом участке функция имеет вид Находим критические точки из условия(принадлежит первому участку); тогда

На втором участке функция имеет вид Находим критические точки:(не принадлежит второму участку).

На третьем участке функция имеет вид илиНаходим критические точки:(принадлежит третьему участку); тогда.

Вычисляем значения функции в точках стыка участков (вершины треугольника):. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее:– наибольшее значение,– наименьшее значение.

2.Определить, каковы размеры открытой прямоугольной ванны данной вместимости , если она имеет наименьшую площадь поверхности.

Решение. Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Обозначим его размеры через (длина, ширина, высота). Так как объемзадан, то. Площадь поверхности ванны:. Подставляем значениеи получаем функцию двух переменных:. Нужно найти точку минимума полученной функции, причем по смыслу задачи

Находим критические точки, используя необходимое условие экстремума: В нашем случаеВычисляем вторые производные и находим значение дифференциала второго порядка в критической точке:Значит, функцияимеет минимум при. Тогда.

2.Решение задач с помощью функций нескольких переменных в экономических областях

Задача 1.Прибыль от производства разных видов продукции

Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Пусть - количество производимыхразновидностей продукции, а их цены – соответственно(все- постоянные величины). Пусть затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек

Тогда функция прибыли имеет вид

Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных при (при отсутствии других ограничений)

Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных

Эта система уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость продукции равна предельным издержкам на производство этой продукции. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения системы уравнений зависит от вида функции издержек и может быть довольно сложным.

Пример. Производится два вида продукции, обозначим их через и. Цены этой продукции, соответственно,и, а функция затрат. Тогда при,прибыль является функцией двух переменных:

Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений решение которой определяет точку. Посколькуто найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен

Задача 2.

Потребитель имеет возможность потратить сумму 1000 денежных единиц на приобретение   единиц первого товара и единиц второго товара. Заданы функция полезности  и цены , за единицу соответственно первого и второго товаров. Найти значения , при которых полезность для потребителя будет наибольшей:

Решение.

Рассмотрим линии уровня функции полезности   т.е.  . Используя свойства лога­рифмов, имеем:

Таким образом, линии уровня представляют собой график функции

 (кривая безразличия)

Легко видеть, что максимальное значение , а следовательно, и уровня  достигается в том случае, если соответствующая кривая безразличия касается прямой (линии уровня затрат)  . Так как градиент в каждой точке перпендикулярен линии уровня, то из этого следует, что условие максимальности прибыли может быть сформулировано следующим образом:

Так как

Где угловой коэффициент прямой, проходящей через .

Из условия перпендикулярности прямых имеем , т.е. . Следовательно, оптимальное распределение потребления товаров находится как решение системы:

Ответ- значения, при которых полезность для потребителя будет наибольшей.