ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

	Заменим в уравнении (1) &z& на d z&/dt								и, разделив переменные, полу-
чим:	dz&		= dt.
	a − bz&
	После интегрирования имеем
								– 1 ln ׀а – b z&׀= t + C1	(2)
								b
	По начальным условиям движения определим постоянную интегри-
рования C1.			При t = 0 z&= V0, тогда C1 = – 1 ln ׀а – b V0׀.
								b
	После подстановки C1 в уравнение (2) найдем
	t = –		1 ln			a − bz&		.
						a − bV
			b
						0

Подставив числовые значения, получаем z& = 25 – 20 e-0,2t

При t = 1 с z&= VВ = 25 – 20 e-0,2 = 8,62 м/с.

Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС.

Составим дифференциальные уравнения в проекциях на оси x и y.

&&	= Fx ;		&&	= F − Fтр − P cos30				o	;	(3)
mx			mx
	&&	= Fy ;		&&	= N − P cos 60	o	.			(4)
my				my

Сила трения скольжения определяется по формулеFтр = fN .

Вдоль оси у точка не перемещается, поэтому&y&= 0 – проекция ускорения точки на ось y. Из уравнения (4) находим 0 = N − P cos 60o, откуда

N = P cos 60o и сила трения Fтр = fP cos 60º = fmg cos 60º = 0,98 H.

Подставив числовые значения в дифференциальное уравнение (3), получаем:

	&&	=	6t	2	− 0,98 − mg cos30				o	;
mx
&&		6t 2			0,98			mg cos30o
x	=	m − m					−	m		;
				&&	= 3t	2	−	8,98.		(5)
				x

Интегрируя дважды уравнение (5), получим:

&	= t	3	− 8,98t + C1;
x
x = t 4	−	8,98t 2		+ C1t + C2.	(6)
4			2

91

Найдем постоянные интегрирования. Начальные условия при движении груза на участке ВС: при t = 0 x&0 = vB = 8,62 м/с, x0 = 0, С1 = vВ = = 8,62 м/с; С2 = 0. Подставив значения этих постоянных в уравнение (6), получим закон движения груза D на участке ВС.

x = 0,25t 4 − 4,49t 2 + 8,62t.

2. Общие теоремы динамики

Теорема о движении центра масс механической системы

Под механической системой понимается совокупность материальных точек, положение и движение которых взаимосвязаны. Например, движение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней; движение планет солнечной системы обусловлено силами их взаимного притяжения и т. д.

При изучении движения механических систем силы разделяют на внешние F e и внутренние F i .

Внешними называются силы, с которыми действуют на точки и тела рассматриваемой системы точки и тела, не входящие в состав этой систе-

мы. Внутренними называются силы, с которыми точки и тела

рассматри-

ваемой системы действуют друг на друга.

Положение центра масс системы, точки С,

определяется равенством

∑mi

ri

r c=

,

(3.4)

M

где mi

– масса отдельной точки системы;

ri

– радиус-вектор, определяющий положение этой точки системы;

rc

– радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы;

M = ∑mi – масса системы.

Для i-й точки запишем основной закон динамики

d 2

r

m W = F e + F i

или

m

i

= F e + F i ,

(3.5)

i i

i

i

i

dt 2

i

i

где нижний индекс i = 1, 2,…n;

Fie – равнодействующая приложенных к точке внешних сил;

92

Fii – равнодействующая приложенных к точке внутренних сил. Суммируя уравнения (3.5), получим:

	d 2		r
∑mi					= ∑ Fie + ∑ Fii .
			i							(3.6)
	dt
		2

Продифференцируем дважды по времени уравнение (3.4).

	d 2		r	= ∑mi	d 2	r
M			c			i	.
	dt
		2			dt 2

Тогда, учитывая полученное выражение и то, что∑ Fii = 0 (свойство внутренних сил), уравнение (3.6) запишется:

Md 2rc = ∑ Fie = R e . dt 2

	d 2	r
Зная, что		c		= W			, получаем:
	dt 2				c
						MWc = ∑			e .	(3.7)
								Fi

Уравнение (3.7) выражает теорему о движении центра масс механической системы.

Центр масс механической системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, под действием только внешних сил.

Проектируя (3.8) на оси координат получим дифференциальные уравнения движения центра масс

			Mxc			=	e	;
							∑ Fix
			&&
			Myc				e	;	(3.8)
						= ∑ Fiy
			&&
			M&z&c = ∑ Fize .
Следствия из теоремы:
1) если∑		e = 0, то
	Fi			Wc = 0 и vc = const;
		e	&&			и	&	&	&
2) если ∑ Fix = 0,			xc = 0				xc = const и еслиxc = 0, то		xc = dxc/dt = 0,

откуда xc = const .

93

Следствия из теоремы о движении центра масс выражают закон сохранения движения центра масс системы.

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор,

равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения

всех материальных точек системы

= ∑mi vi

или

= M vc.

(3.9)

K

K

Вектор количества движения тела имеет направление вектора скоро-

сти центра масс этого тела.

Дифференцируя уравнения (3.9), получим:

d

= M

dvc

=

K

MW

.

(3.10)

dt

dt

c

С учетом (3.7) уравнение (3.10) примет вид

d

K

= ∑

e .

(3.11)

Fi

dt

Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на эту систему.

В проекциях на оси координат уравнение (3.11) запишется

		dKx			= ∑ Fixe ;
		dt
	dK y				= ∑ Fiye ;			(3.12)
		dt
		dKz			= ∑ Fize .
		dt
Уравнения (3.12) представляют собой дифференциальную форму
теоремы об изменении количества движения системы.
Для получения другой формы рассматриваемой теоремы введем по-
нятие импульса силы.
Если на тело действует постоянная сила										в течение конечного про-
									F
межутка времени t, то импульс силы								определяется по формуле
						S

S = F t.

94

Импульс силы есть вектор, направленный так же, как сила F . Для переменной силы сначала определяем элементарный импульс

d S = F dt.

Импульс силы за конечный промежуток времени определяют по формуле

		t2			t2
	S	= ∫ dS		=	∫	Fdt .		(3.13)
		t1			t1

Интегрируя равенство (3.11), получим:

t2

K2 − K1 = Σ ∫ Fiedt .

t1

Учитывая (3.13), в окончательном виде полученное уравнение запишется:

		2 −	K1 = ∑	Sie .	(3.14)
	K

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе за этот промежуток времени.

Уравнение (3.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме.

В проекциях на оси координат уравнение (3.14) имеет вид

K2x − K1x = ∑ Sixe ;

K2 y − K1y = ∑ Siye ;

K2z − K1z = ∑ Size .

Следствия из теоремы на основании уравнений (3.11) и (3.12):

1.Если ∑ Fie = 0, то d К /dt = 0 и К – const.

2.Если ∑ Fixe = 0, то dKx/dt = 0 и Kx – const.

Эти следствия выражают закон сохранения количества движения систем.

95

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Момент количества движения материальной точки относительно центра О(рис. 3.1).

								(3.15)
			l0 = r × mv.
								Модуль вектора l0 равен
								l0 = mvh,
						где l0 – момент количества движения
						точки относительно центра О;
						m – масса точки;
Рис. 3.1						v		– скорость точки;
						r		– радиус-вектор, определяющий

положение точки М относительно центра О.

Момент количества движения точки относительно оси z lz = mv1h1,

где mv1 – проекция вектора количества движения на плоскость I, перпендикулярную оси z;

h1 – кратчайшее расстояние от вектора (mv1) до оси z;

lz может быть положительным или отрицательным, что определяется по аналогии с моментом силы относительно оси. Зависимость между l0 и lz следующая (рис. 3.2):

lz = l0 cosγ.

Рис. 3.2

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительного данного центра, называет-

96

ся вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра

		0 = ∑			(3.16)
	L		l0i = ∑ri × mivi.

Кинетическим моментом, или главным моментом количеств движения механической системы относительно оси, называется алгебраиче-

ская сумма моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно оси

Lz = ∑lzi .

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен Lz= Jzω.

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из n материальных точек. Выделим из системы i-ю точку и запишем дифференциальное уравнение ее движения

m dvi = F

e + F

i , или

d (mivi )

e + F

i ,

(3.17)

= F

dt

i dt

i

i

i

i

где Fie и Fii – равнодействующие соответственно внешних и внутренних

сил, действующих на i-ю точку.

Положение i-й точки относительно некоторого центра О зададим ра- диусом-вектором ri . Левую и правую части уравнений (3.17) векторно ум-

ножим на

ri

r

×

d(mi vi )

=

r

×

e +

r

×

i .

(3.18)

F

F

i

dt

i i

i i

Преобразуем полученное уравнение

d

(ri × mivi ) = dri

× mivi + ri ×

d (mivi )

,

dt

dt

dt

т. к.

dri × mivi = vi × mivi = 0

(vi

mivi ),

dt

ri × Fie =

m

0 (Fie ) ;

(F e )

(F i )

ri × Fii =

m

0 (Fii ) ;

где m

и m

– моменты сил

e и

i относительно центра О.

F

F

0

i

0

i

i

i

Уравнение (3.18) запишем в виде

dtd (ri × mivi ) = m0 (Fie )+ m0 (Fii ) ;

97

Запишем аналогичные уравнения для всех других точек системы и просуммируем их

	n		n			n
	∑	d	(ri × mivi ) =∑	m	0	(Fie )+ ∑	m	0	(Fii ).	(3.19)
		dt
	1		1			1

В полученном уравнении

	n	d		d
						dL
	∑		(ri × mivi ) =		∑(ri × mivi ) =	0			,
		dt		dt		dt
	1

∑n m0 (F i )= 0 на основании свойства внутренних сил. С учетом отмеченных

1

условий уравнение (3.18) запишется в виде

				= ∑n	m0 (		e ).
	dL0							(3.20)
						Fi
	dt
				1

Уравнение (3.17) выражает теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно центра.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна геометрической сумме моментов внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Записывая равенство (3.17) в проекциях на оси координат, получаем:

dL

dLy

dL

x

= ΣМx( Fie );

= ΣМy( Fie );

z

= ΣМz( Fie ),

(3.21)

dt

dt

dt

где Lx , Ly , Lz – кинетические моменты механической системы относи-

тельно осей координат.

Следствия из теоремы на основании уравнений (3.20) и (3.21):

1. Если ∑m0 (

e ) = 0, то

d

0

L

= 0

и

0 = const.

Fi

L

dt

2. Если ∑mx (

e ) = 0, то

dLx

= 0

и Lx = const.

Fi

dt

Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.

98

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Кинетическая энергия механической системы определяется как сумма кинетических энергий всех входящих в эту систему материальных точек

	T = ∑Ti = ∑	m v2
		i i	.	(3.22)
		2

Кинетическая энергия твердого тела Формулы, определяющие кинетическую энергию тела при различ-

ных видах движения.
1)	Поступательное движение
	T =	1 Mv2	,		(3.23)
		2
где М – масса тела; v –скорость тела.
2)	Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
	T =	1 J zω2		,	(3.24)
		2

где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

ω– угловая скорость тела.

3)Плоскопараллельное движение

T =	1 Mvc2	+	1 Jcω2	,	(3.25)
	2		2

где vc – скорость центра масс тела;

Jc – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

В общем случае движения твердого тела кинетическая энергия опре-

деляется по формуле
T =	1 Mv2		+	1 J	p	ω2	,	(3.26)
	2	c		2

где vc – скорость его центра масс; M – масса тела;

J p – момент инерции тела относительно мгновенной оси, проходящей

через центр масс; ω – угловая скорость вращения тела относительно мгновенной оси.

99

Кинетическая энергия в общем случае движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс (теорема С. Кенига).

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии механической системы проводят, используя уравнение теоремы для точки, т. к. она справедлива для любой из точек системы. Тогда для каждой точки системы массой mi , движущейся со скоростью vi , можно записать:

	m v2					= dAe + dAi .
	d		i i
			2				i	i
Интегрируя это равенство, получаем:
	mivi2		− miv02i = Ae + Ai						,	(3.27)
	2				2		i	i

где нижний индекс i = 1, 2..., n ;

m v2

i 0i – кинетическая энергия точки в начальном положении системы; 2

mivi2 – кинетическая энергия точки в конечном положении системы; 2

Aie – алгебраическая сумма работ внешних сил, действующих на точку на заданном перемещении;

Aii – алгебраическая сумма работ внутренних сил на том же перемещении.

Просуммируем левые и правые части уравнений (3.27)

	Σ	mivi2	– Σ	miv02i	e	i	,	(3.28)
		2		2
					= ∑ Ai	+ ∑ Ai

Σm v2

где i 0i = Т0 – кинетическая энергия системы в начальном положении; 2

Σmi2vi2 = Т – кинетическая энергия системы в конечном положении.

100