ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

2. Решение задачи с помощью уравнения Лагранжа Данная система имеет одну степень свободы. Поэтому выберем одну

обобщенную координату. Так как по условию требуется определить ускорение первого тела, которое совершает поступательное прямолинейное движение, выберем линейную обобщенную координату х, следящую за перемещением центра масс этого тела (рис. Д5б).

Рис. Д5б

Запишем уравнение Лагранжа для данной системы

d		∂T		∂T	= Qx ,
		&	−	∂x
dt		∂x

где Т – кинетическая энергия системы; x – обобщённая координата;

x& – обобщённая скорость ( x& = v1 );

Qx = ∑δAie – обобщённая сила;

δx

∑δAie – сумма элементарных работ внешних сил на приращении δх

заданной обобщённой координаты.

Определяем кинетическую энергию системы, выразив её через обобщенную скорость x&:

Т = Т1 + Т 2 + Т3 ,

141

где Т1, Т2, Т3 – соответственно кинетические энергии первого, второго и третьего тел.

Первое тело совершает поступательное движение, его кинетическая энергия определяется по формуле

Т1 = 12 m1v12 = 12 m1x&2;

&2

.

T1 =1,5x

Второе тело совершает плоскопараллельное движение

1

ω2

+ m v2 ,

m

R2

T =

J

c

J

c

=

2 2

.

2

2

2

2

2 c

Зависимости скоростей точек системы мы рассматривали выше, ко-

гда выполняли это задание с помощью общего уравнения динамики

ω = v1R3 =

xR3 ;

v = v1R3 =

xR3 .

2

&

c

&

r3R2

r3R2

r3

r3

Подставив численные значения известных величин, получим:

ω2

= 5x;

vc = 2x;

Jc = 0,08;

&

&

T2 = 3x&2 .

Третье тело совершает вращательное движение

T3 = 12 J0ω32;

J0 = m3ρ32 = 2 0,12 = 0,02;

ω3 = v1 = x& = 5x&; r3 r3

&2

.

T3 = 0,25x

Таким образом, кинематическая энергия системы равна

&

2

+

&2

&

2

=

&2

.

T = 1,5x

3x

+ 0,25x

4,75x

Дифференцируем полученные выражения согласно уравнению Ла-

гранжа

∂T

&

d

∂T

&&

∂T

= 0 .

&

&

= 9,5x;

= 9,5x;

∂x

∂x

dt ∂x

Определим обобщённую силу, для этого покажем на рис. Д5б внеш-

ние силы: F, M,

P1 = m1 g,

P2

= m 2 g,

P3

= m3 g.

142

Сообщим приращение δх выбранной обобщённой координате x и определим элементарную работу действующих сил

∑δAie = Fδx+P1sin 60º-Mδφ3- P2sin 45ºδSc,.

Выразим δφ3 и δSc через δх (см. общее уравнение динамики).

δSc =2 δх ; δφ3 = δх /r3

∑δAe = Fδx + m1gδxsin 60o − M δx / r3 − m2g 2δxsin 45o .

Подставив численные величины, получим: ∑δAie = 15,721δx;

Qx =	15,721δx	= 15,721 Н.
	δx

Найденные значения подставим в уравнение Лагранжа

9,5х&& = 15,721.

Следовательно,

W1 = &x&= 159,5,721 = 1,655 см/с2.

Сравнив результаты определения ускорения первого тела различными способами, делаем вывод: расчёт проведен верно.

Контрольные вопросы

1.Дифференциальные уравнения движения точки.

2.Две задачи динамики.

3.Общие теоремы динамики механической системы.

4.Принцип Даламбера.

5.Принцип возможных перемещений.

6.Общее уравнение динамики.

7.Дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода.

143

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучение курса теоретической механики закладывает основы для решения многих научных и конструкторских вопросов в машиностроении, приборостроении, авиастроении, освоении космоса и в других областях техники.

Знание теоретической механики позволяет инженеру исследовать и создавать оптимальные конструкции машин, приборов, сооружений, а также разрабатывать технологические процессы их изготовления.

Ключевая задача подготовки будущего инженера – научить его самостоятельной работе и творческому подходу при выполнении поставленной проблемы. Поэтому особое внимание уделяется практическим навыкам.

Настоящий практикум по теоретической механике разработан с целью помочь студентам всех форм обучения применять основные закономерности механики для анализа и решения конкретной задачи.

Он является дополнительной книгой для самостоятельного изучения теоретических и практических вопросов теоретической механики при подготовке студентов к рейтинг-контролю, зачету и экзамену.

Практикум может быть рекомендован для специальностей с сокращенным курсом изучения теоретической механики.

144

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Образец оформления титульного листа

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

Кафедра теоретической и прикладной механики

Курсовая работа по теоретической механике

15-й вариант

Выполнил студент гр. АТ-105

И.И. Иванов

Принял преподаватель И.П. Сидоров

Владимир 2007

145

Приложение 2

Образец выполнения чертежа (ватман, формат А4)

Задача С1

P1

Задача С2

A

M

C

α

E

E

F

3a

q

M

6a

3a

D

P2

C

6a

B

β

D

60 °

Рис. C2

E

F

A

Q

y

2a

γ

N

1,5 a

y

1,5 a

YA

x

P1y

P1

Рис. C1

XA

YD

C

x

MA

M

45°

E

XD

3a

C

P1x

M

D

1,5 м

Рис. C2а

Q

D

P2

C

Nx

30°

B

1,5 м

Ny

RB

RBy

N

YA

A

XA

30 °

Рис. C2б

1 м

1 м

RBx

60 °

60 °

Задачи С1, С2

Группа

Рис. C1a

Выполнил

Иванов И.И.

АТ - 105

Принял

Сидоров И.П.

146

Приложение 3

Образец выполнения чертежа (ватман, формат А4)

Задача С3				z	1
	γ			A
Q		2	4
				2
α 2						3
	L		δ		5
6
	B			ψ		C
x				Рис. C3
				z
Q	45			A		S1
			0	S4
450				S2	S2
			6 0
	L					S3
			0		S5
	S6				300

В450

xРис. C3a С

γ1 P β1

H

ϕ

D

300 P

600

H

450

D

Задача С4	B

D

A	M
	C	α
y	α	F

2a

2a

		z	Рис. C4
		Z B B	Y B			y
Z A		P2				а
						D
A
XA	YA	M	M	Fx	H	Fz
x				C		a
y			P1	S1	a
		2a				Рис.	C4a
			Задачи С3, С4				Группа
			Выполнил		Иванов И.И.		АТ - 105
			Принял			Сидоров И.П.

147

Приложение 3

Образец выполнения чертежа (ватман, формат А4)

Задача С3				z	1
	γ			A
Q		2	4
				2
α 2						3
	L		δ		5
6
	B			ψ		C
x				Рис. C3
				z
Q	45			A		S1
			0	S4
450				S2	S2
			6 0
	L					S3
			0		S5
	S6				300

В450

xРис. C3a С

148

γ1 P β1

H

ϕ

D

300 P

600

H

450

D

Задача С4	B

D

A	M
	C	α
y	α	F

2a

2a

		z	Рис. C4
		Z B B	Y B			y
Z A		P2				а
						D
A
XA	YA	M	M	Fx	H	Fz
x				C		a
y			P1	S1	a
		2a				Рис.	C4a
			Задачи С3, С4				Группа
			Выполнил		Иванов И.И.		АТ - 105
			Принял			Сидоров И.П.

			Приложение 4
Образец выполнения чертежа (ватман, формат А4)
	V1		V1у
		W1τ
2,12	W1х		М1
V1х
	W1		У1
		W1у
	О
	С	Х1	2,82	x
		W1n
		Рис. К1
	Задачи К1, К3		Группа
	Выполнил		Иванов И.И.
	Принял		АТ - 105
			Сидоров И.П.

149

		Образец выполнения чертежа (ватман, формат А3)						Приложение 5
			μl = 1 см мм				μl = 1 см мм
		A					μV = 3 см c мм
				D	A			D
	V A	ω
								V D
		O1 A			V A
		ϕ		E
						ω O1 A	E
		O 1			O 3				O 3
						O 1	V E	V F
		C							ω O 3 F
				F	C
								F
					VC
		B
	μl = 1 см мм				B		ω AB	ω E F
				O 2
								CVE F
A					V B		ω O 2 B
	D							O 2
ϕ	E		μV	= 1 см мм
O 1		O 3		f
C	F			d
					O
B	O 2			e				ω C D
								C VC D
				b
		a		c		Определение положения мгновенных
							центров скоростей
Схема механизма в заданном положении			Построение плана скоростей
							Задание №		Группа
							Выполнил	Иванов И.И.	АТ - 105
							Принял	Сидоров И.П.
150