ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Зная ωAB, можно определить скорость любой точки звена АВ по модулю и направлению.

Определим скорость точки В. VВ = ωAB ВCVAB.

На схеме механизма ВCVAB = 20 мм. Истинное значение определим через масштаб длин ВCVAB = 20 · μl = 20 · 1 = 20 см.

Тогда VВ = 1,47 · 20 = 29,4 см/с.

Направляем вектор VВ перпендикулярно отрезку ВСVAB в сторону

угловой скорости ωAB. Рассматривая звено О2В, определим его угловую скорость вращения вокруг оси О2. Так как VВ = ωО2В О2В, то отсюда ωО2В = VВ/О2В = 29,4/41 = 0,71с-1. направление ωО2В показываем круглой стрелкой вокруг точки О3 в соответствии с направлением вектора VВ.

Далее рассмотрим следующее звено CD. Надо определить направление скоростей точек C и D. Точка С находится также на звене АВ. поэтому, соединяем точку С с мгновенным центром скоростей CVAB звена АВ и находим скорость по модулю по формуле VС = ωAB СCVAB.

Замеряем отрезок СCVAB = 36 мм на схеме, определяем истинное значение через масштаб длин СCVAB = 36 · ΜL = 36·1= 36 см.

Окончательно получим VС =1,47 · 36 = 52,9 см/с.

Вектор VС проводим из точки С перпендикулярно отрезку СCVAB,

направленному в сторону угловой скорости ωAB звена АВ.

Направление скорости точки D известно – это горизонтальная линия. Проводим теперь из точек С и D перпендикуляры к направлениям их скоростей, на пересечении которых определится положение мгновенного центра скоростей CVСD звена СD.

По аналогии с вышеизложенным найдем угловую скорость ωСD зве-

на СD ωСD = VС/СCVСD.

Измеряем на схеме СCVСD = 135 мм и через масштаб длин находим истинное значение СCVСD = 135· μl = 135 · 1 = 135 см и угловую скорость звена СD. ωСD = 52,9/135 =0,39 с-1.

Скорость точки D по модулю определится VD = ωСD DCVAB.

На схеме отрезок DCVСD = 139 мм и действительное значение его рав-

но DCVСD = 139 · = 139 · 1 = 139 см. Тогда VD = 0,39 · 139 = 54,2 см/с.

Вектор VD длиной 54,2/3 = 18 мм проводим из точки D вдоль гори-

зонтальной линии в сторону угловой скорости ωСD звена СD. И, наконец, рассмотрим звено EF.

Скорость точки E, находящейся на звене СD, по модулю и направле-

нию определим, соединив ее с мгновенным центром скоростей CVСD звена

СD VE = ωСD ECVCD.

61

Замеряем на схеме ECVCD = 130 мм. Истинное значение отрезка

ECVCD = 130· =130 · 1 = 130 см/с; VE =0,39 · 130 – 50,7 см/с.

Вектор VЕ направляем перпендикулярно отрезку ECVCD в сторону

угловой скорости ωСD звена СD.

Точка F принадлежит также звену EF, которое вращается вокруг неподвижной оси О3F. Значит, вектор VF как вращательная скорость направ-

лен перпендикулярно звену О3F. Проводим это направление из точки F. Затем из точек E и F проводим перпендикуляры к направлениям

скоростей этих точек до их пересечения в точке CVEF, которая является мгновенным центром скоростей звена EF.

Определяем теперь ωEF = VE/ ECVEF. Измеряем на схеме отрезок ECVEF = 46 мм. Находим действительное значение ECVEF = 46 · μL = 46 · 1 =

= 46 см. Подставляя значения, находим: ωEF = 50,7/46 = 1,1 с-1. Теперь определим по модулю скорость точки F: VF = ωEF · FCVEF.

Замеряем на схеме отрезок FCVEF = 37 мм, находим действительное значение FCVEF = 37 · μL = 37 · 1 = 37 см.

Затем определим VF = 1,1 · 37 = 40,7 см/с. Вектор VF направляем

перпендикулярно отрезку FCVEF в сторону угловой скорости звена EF. Рассмотрим звено О3F и определим его угловую скорость ωO3F, для

чего найдем скорость точки F как вращательную VF = ωO3F · О3F, откуда

ωO3F = VF/ О3F = 40,7/28 = 1,45 с-1.

Угловую скорость ωO3F изображаем круглой стрелкой вокруг точки О3, направляя ее в соответствии с найденным уже направлением вектора VF .

5. Графическое определение ускорений всех точек и угловых ускорений всех звеньев механизма

Для графического определения ускорений точек вычерчиваем схему механизма для заданного положения в масштабе μι = 1 сммм (рис. 2.11).

Выбираем масштаб ускорений согласно известным по модулю W nA и W τA .

μW = 10 см(с2 мм) .

Графически определяем ускорение точки А по формуле:

WA = WAn + WAτ .

Модули ускорений WAn и WAτ известны (п. 2 примера выполнения задачи)

62

63

WAτ

μ = 1 см/мм

μll = 1см мм

ε O A	ωO A	ε CD	WD
1	1
	ϕ	WA

WAn

WE

ε AB

WC

W n
B
W	WBτ	WBAn
B		ε O B
		2

WBAτ

WA

ε EF

ε O F

3

WFn

τ

W

F

τ

WF

W

FE

WE

τ

WDC

n

W

FE

Для точек А, В, С, Е

Для точек D, F

μ

= 1 см/(c2

2· мм)

μ

w

= 5 см/(c22

· мм)

wμW = 10см с

мм

μW

= 5см с

мм

WC

WDCn

Рис. 2.11. Графическое определение ускорений всех точек и угловых ускорений всех звеньев механизма

В выбранном масштабе откладываем вектор WAn , направляя его от точки А к неподвижной точке О1, и вектор WAτ , проводя его перпендикулярно вектору WAn (или WAτ O1A ) в направлении углового ускорения εO1 A

звена О1А.

Вектор WA найдется как диагональ параллелограмма (в данном случае прямоугольника), построенного на векторах WAn и WAτ как на сторонах.

Модуль ускорения точки А найдется через масштаб ускорений μW

WA = μW · AA1= 10 · 58,5 = 585 смс2 .

Принимая точку А за полюс, определим ускорение точки В при помощи теоремы об ускорениях точек плоской фигуры:

n + W

τ .

(4)

W

= W

A

+ W

B

BA

BA

Ускорение точки В можно определить по формуле

n

τ.

(5)

W

= W

+ W

B

B

B

С учетом зависимости (5) выражение (1) принимает вид

n + W

τ = W

n

τ .

(6)

W

A

+ W

+ W

B

B

BA

BA

Определим модули тех ускорений выражения (6), которые могут

быть вычислены

W n = ω2

· О2В = 0,732 · 41 = 22 см с2 ;

B

O B

2

W n

= ω2

· АВ = 1,472 · 63 = 136 см с2 .

BA

AB

В выбранном масштабе строим многоугольник ускорений согласно зависимости (6). Согласно правой части уравнения (6) от точки В отклады-

ваем вектор ускорения WA , из конца которого проводим вектор WBAn , известный по модулю и направленный параллельно звену АВ к полюсу В. Из конца вектора WBAn проводим прямую перпендикулярно звену АВ, соответ-

ствующую направлению вектора WBAτ , модуль которого неизвестен. Согласно левой части уравнения (6) из точки В откладываем вектор

WBn , известный по модулю и направленный вдоль О2В к оси О2. Из его конца проводим прямую перпендикулярно звену О2В, которая соответствует направлению неизвестного по модулю вектора WBτ, до пересечения с прямой, соответствующей направлению вектора WBAτ .

64

Полученную точку пересечения В1 соединяем с точкой В. Найденный

вектор BB1 геометрически равен вектору WB , т. е. WB = BB1. Измеряя его длину (ВВ1 = 28,5 мм) и умножая на масштаб ускорений µW , вычисляем модуль ускорения точки В:

WB = BB1 µW =10 28,5 = 285 смс2 .

Из построенного многоугольника ускорений, измерив длины неизвестных по модулю ускорений WBAτ и WBτ и умножив на масштаб µW , найдем:

WBAτ = 555 смс2 .

WBτ = 285 смс2 .

Зная, что модули WBAτ и WBτ вычисляются по формулам

W τ	= ε	AB	· АВ ;	W τ= ε	O B	· О2В,
BA				B
					2

определим угловые ускорения звеньев:

Wτ

555

-2

ΕAB

=

BA

=

= 8,8 c

;

AB

63

Wτ

285

-2

ΕO B =

B

=

= 6,95 c

.

O2B

41

2

Направление угловых ускорений εAB и εO2 B определим по направле-

нию найденных ускорений WBAτ и WBτ соответственно и обозначим круг-

лыми стрелками вокруг звеньев АВ и О2В.

Найдем ускорение точки С, используя известное свойство: концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят её на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.

С этой целью соединим концы векторов ускорений точек А и В отрезком А1В1. На этом отрезке должен лежать конец вектора ускорения точки С. Положение конца вектора ускорения точки С на этой прямой определяется из соотношения

	AB		=	A1B1		, откуда A C =	AC A B .
	AC			A C
						1 1	AB 1 1
			1		1
	Измерив на чертеже отрезок A1B1 = 97,5 мм, получим:
	АС = 42 97,5 = 65 мм.
	1	1	63

65

Откладывая от точки А1 отрезок А1С1 и соединяя точку С1 с точкой С, находим WC – вектор ускорения точки С. Измеряя его длину СС1 = 31,5 мм и умножая на масштаб ускорений μw , получаем модуль ускорения точки С.

W

= CC μ

w

= 10 31,5 = 315 см с2 .

C

1

Ускорение точки D найдем аналогично определению ускорения точ-

ки В, принимая при этом за полюс точку С:

n

τ

,

(7)

W

= W

+ W

+ W

D

C

DC

DC

где

n

– нормальное ускорение точки D во вращательном движении во-

W

DC

круг полюса С;

τ

– касательное ускорение точки D во вращательном движении

W

DC

вокруг полюса С.

Вычислим модуль ускорения

n

W

CD

W n

= ω2

CD = 0,4082 92 = 15,3 см с2 .

DC

CD

Так как модуль ускорения W n

значительно меньше модуля ускоре-

ния

WC , то увеличим

DC

масштаб

ускорений для точки

D до

μW = 5 см(с2 мм) . Поэтому, чтобы не загромождать чертеж, в соответ-

ствии с векторным равенством (7) строим многоугольник ускорений для точки D в выбранном масштабе вне механизма (рядом с ним).

Поскольку точка D движется вдоль горизонтальных направляющих, то ускорение ее направлено по горизонтальной прямой. Проведем эту прямую. Затем от точки D откладываем вектор найденного ускорения WC в новом масштабе. Из его конца проводим известный по модулю вектор WDCn параллельно звену CD, направляя его к полюсу С. Из конца вектора

WDCn проводим прямую перпендикулярно звену CD, что соответствует направлению неизвестного по модулю ускорения WDCτ . Точка пересечения D1 этой прямой с горизонтальной прямой, проведенной из точки D, определит вектор DD1 , который геометрически равен вектору ускорения WD . Измерив его, вычислим через масштаб ускорений модуль ускорения точки D

WD = DD1μW = 5 6 = 30 смс2 .

Аналогично, измерив длину вектора WDCτ , найдем:

WDCτ μW = 5 65 = 325 смс2 .

66

Угловое ускорение звена CD найдем по формуле

ΕCD = WDCτ ; εCD = 325 = 3,53 c−2 .

CD 92

Направление углового ускорения εCD определим согласно направлению вектора WDCτ и покажем круглой стрелкой вокруг звена CD.

Найденный вектор WD в уменьшенном (прежнем) масштабе

μW = 10 см(с2 мм) приложим к точке D механизма.

Ускорение точки Е звена CD найдем по аналогии с определением ускорения точки С, используя свойство ускорений точек, лежащих на одной прямой. Соединим концы векторов ускорений точек C и D отрезком C1D1. Положение конца вектора ускорения точки Е найдем из соотношения

CD = C1D1

, откуда

CE

C E

1

1

C E = CE C D .

1

1

CD

1 1

Отрезок C1D1 измеряем на чертеже (C1D1 = 86 мм) и вычисляем

C E = 46 86 = 43 мм.

1

1

92

Отложив C1E1 от точки C1

и соединив точку Е1 с точкой Е, найдем

WE = EE1 . Измеряя отрезок ЕЕ1 = 15 мм, определим:

W = μw ЕЕ1 = 10·15 = 150 м/с2.

E

Приняв точку Е за полюс, ускорение точки F найдем по формуле:

=

+

n

+

τ ,

(8)

W

W

W

W

F

E

FE

FE

где WFEn – нормальное ускорение точки F во вращательном движении вокруг полюса Е,

WFEτ – касательное ускорение точки F во вращательном движении во-

круг полюса Е.

Точка F также принадлежит звену O3F, которое вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О3. В этом случае ускорение

точки F определяется по известной формуле

n + W

τ .

(9)

W

= W

F

F

F

С учетом (9) зависимость (8) примет вид

n + W

τ = W

n

τ .

(10)

W

+ W

+ W

F

F

E

FE

FE

Вычислим модули ускорений, данные для которых имеются

67

WFn = ωO2 3 FO3F = 1,3932 28 = 54 смс2 ;

WFEn = ω EF2 EF = 1,032 48 = 51 смс2 .

Построим при точке F в увеличенном масштабе μW = 5 см(с2 мм)

многоугольник ускорений согласно зависимости (10).

Согласно правой части уравнения (10) от точки F механизма отложим вектор ускорения полюса WE в выбранном масштабе. Из конца этого век-

тора проведем вектор WFEn параллельно звену EF, направив его к полюсу Е, а из конца вектора WFEn перпендикулярно звену EF проведем прямую,

по которой направлен вектор ускорения WFEτ . Затем согласно левой части уравнения (10), отложим от точки F известный по модулю вектор ускорения WFn , направляя его вдоль звена O3F к неподвижной точке О . Из конца вектора WFn проводим прямую перпендикулярно звену O3F , соответст-

вующую направлению вектора WFτ до пересечения с ранее проведенной перпендикулярно звену EF прямой. Соединяя полученную точку пересечения этих прямых F1 с точкой F, определяем вектор ускорения WF точки F,

т.е.

= 13 мм), найдем модуль

WF = FF1 . Измерив длину этого вектора (

WF

вектора

WF через масштаб ускорений:

W =

μ

; W = 5 13 = 65 см с2 ,

W

W

F

F

F

и по аналогии определяется модуль вектора W

τ

τ

FE

W τ

=

μW

;

W

τ = 5 31 = 155 см с2 .

W

FE

FE

FE

Так как Wτ

= ε

EF

O F

и

W

τ

= ε

O F ,

то угловые ускорения

FE

3

F

O F

3

звеньев EF и O3F равны

3

= WFEτ

εEF

= 155

= 3,23

с−2 ;

EF

48

εO F =

WFτ

=

30

= 1,07 с−2 .

O3F

28

3

Направление угловых ускорений εFE и εO3F обозначим круглыми стрелками вокруг звеньев EF и O3F в соответствии с направлениями найденных векторов WFEτ и WFτ .

68

6. Аналитическое определение ускорения точки В и углового ускорения звена АВ

Схема механизма рисуется в выбранном масштабе длин. В данном случае μι= 0,65 сммм (рис. 2.12). Для аналитического определения уско-

рения точки В воспользуемся теоремой об ускорениях точек плоской фигуры.

Принимая за полюс точку А, выразим ускорение точки В по формуле

n + W

τ = W

n + W

τ

n

τ .

(11)

W

+ W

+ W

B B A A

BA

BA

В этом векторном уравнении известны по модулю и направлению ускорения

WAn = 485 смс2 ; WAτ = 325 смс2 ;

WBAn = ω2AB AB; WBAn = (1,47)2 63 = 136 смс2 ;

WBn = ωO2 2 B O2B; WBn = (0,73)2 41 = 22 смс2 .

Для ускорений WBτ и WBAτ известны лишь прямые, по которым они

направлены. Надо определить направления этих ускорений и их модули. Согласно векторному равенству (6) из точки А без соблюдения масштаба

проведем

векторы

WAn вдоль звена

О1 А, направляя его к

точке О1 и

τ

n

(или

τ

O A ) по направлению круглой стрелки углового ус-

W

W

W

A

A

A

1

корения εО А звена О1 А.

1

n вдоль

Затем из точки В, не соблюдая масштаб, проведем вектор

W

B

звена

О2 В , направляя его к точке О2 ,

τ О В, предполагая на-

вектор W

B

2

правленным в произвольную сторону, вектор

n

вдоль звена АВ, направ-

W

BA

ляя его к точке В, и вектор WBAτ АВ, направленным в произвольную сто-

рону.

Выберем систему координат Bxy с началом в точке В и спроектируем векторное равенство (11) на оси Вx и Вy .

Проектируя равенство (11) на ось Вx , получим:

W n sinβ+ W τ cosβ = W n cosα− W τ sin α− W n .					(12)
B	B	A	A	BA

69

70

			μ l	= 0,65см мм
A	WAτ		μl = 0,65 см/мм
			D
	α
	ϕ = 115o
	εO A
	1		E
	ωO A
	1
	O1			O3
	W n
	A
	ωAB
	C		F
	W n
	AB
	B		y
W τ	β	W n
AB		B	ωO B
			2
			O2
	W τ		Рис.2.12 Аналитическое определение ускорения точки В
	B		и углового ускорения звена АВ.
	x

Рис. 2.12. Аналитическое определение ускорения точек В и углового ускорения звена АВ