ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

	m v2			J	ω2
T =	2	c	+	c	2	,
2	2			2

где vc – скорость центра масс С катка;

Jc – момент инерции катка относительно его центральной оси;

m R2

JC = 22 2 ;

ω2 – угловая скорость катка.

Выразим скорость vc , угловые скорости ω2 , ω3 через скоростьv1 груза 1 (рис. Д2 а).

Рис. Д2 а

Скорость точек обода ступенчатого блока равна скорости движения

сходящей с барабана нити (нить нерастяжима). Следовательно, ω3 = v1 ; r3

vс = ω3R3; vс = v1rR3 .

3

Так как каток 2 катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка Cv находится в точке соприкосновения его с неподвижной по-

верхностью. Поэтому ω	2	=	vс	=	vс	; ω	2	=	v1R3	.
			СC		R
									r R
			v		2			3 2

111

		При подстановке найденных зависимостей в уравнения кинетиче-
ских энергий тел получим
T	=	m3ρ32v12			=		2 0,12		v2 = 0,25v2				;
		2r2					2 0,22
3									1			1
	3
T	= m2		v12R32			+		1 m2R22		v12R32		= 3 m		v12R32	=	3	10,42 v2	= 3v2	;
										r2R2				r2		4
2	2			r2				2 2				4	2				0,22 1	1
				3					3		2			3
T = m1v12				=	3 v2			= 1,5v2;
1	2				2	1			1

T = 1,5v12 + 0,25v12 + 3v12 = 4,75v12.

Найдем сумму работ всех сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. Д2 б)

Рис. Д2 б

На груз 1 действуют силы: вес P1 ; нормальная реакция N1 ; сила трения Fтр1 , направленная противоположно скорости груза 1; сила F .

Силами, действующими на ступенчатый блок 3, являются вес P3 ; реакция подшипников в точке 0 – N3 и момент сил сопротивления M. К кат-

ку 2 приложены силы: вес катка P2 ; сила трения Fтр2 , препятствующая

скольжению катка; нормальная реакция N2. Работа силы P1

112

A(P1)= P1S1 sin 60o = m1gS1 sin 60o.

Работа силы F

A(		)=	S1		S1
			∫	FdS =	∫	10(2	+ S )dS = 20S	+ 5S 2.
	F
							1	1
			0		0

Работа силы Fтр1

A(Fтр1)= −FтрS1; Fтр1 = fN1.

Для определения N1 составим дифференциальное уравнение движе-

ния груза 1 в проекции на ось y : m1&y&= N1 − P1 cos60o; учитывая, что проекция ускорения груза 1 &y&= 0, получим:

0 = N1 − P1 cos 60o; N1 = F1 cos 60o = m1g cos 60o,

тогда

Fтр = fmg cos60o и A(Fтр 1 )= − fm1gS1 cos 60o.

Работа момента М сил сопротивления

A(M ) = −Mφ3 .

Здесь ϕ3 – угловое перемещение ступенчатого блока 3. Выразим угол по-

ворота ϕ	3	через перемещение S груза 1 ϕ	3	=	S1	, тогда	A(M ) = −M	S1	.
		1			r3			r3

Работа силы тяжести катка D

A(P2 )= −P2SC sin 45o.

Перемещение SC также выразим через перемещение S1.

SC = φ3R3 = S1R3 ; r3

A(P2 )= −m2 g R3 S1 sin 45o. r3

A(N1 )= 0, т. к. угол между силой N1 и перемещением точки ее при-

ложения равен 90°, а cos90o = 0.

A(P3 )= 0; A(N3 )= 0, т. к. они приложены к неподвижной точке. A(N2 )= 0, A(Fтр2 )= 0, т. к. эти силы приложены к мгновенному цен-

тру скоростей.

Сумма работ всех сил, приложенных к рассматриваемой системе:

113

∑Aie = A(P1 )+ A(F )+ A(Fтр)+ A(M )+ A(P2 ),

∑Aie = 0,256 + 2,05 − 0,147 − 0,6 − 1,386 = 0,173 Дж.

Приравнивая значения T и ∑ Aie , получим:

4,75v2		= 0,173,
	1
откуда
v = 0,173			= 0,19 м/с.
1	4,75

Ответ: v1 = 0,19 м/с.

Задача Д3

Применение теоремы о движении центра масс к исследованию движения механической системы

Тела 2 и 4 (рис. Д3.0…Д3.9) движутся (вращаются) по отношению к телу 1 с помощью механизмов, установленных на этом теле. Блок 3 вращается по закону φ3 = f (t ). Учитывая, что блок и катки сплошные однородные цилиндры, и предполагая горизонтальную плоскость гладкой, определить закон движения призмы. При t = 0 система находилась в покое.

Качение тел происходит без проскальзывания; нити невесомые и нерастяжимые, трением скольжения и качения тел по поверхностям пренебречь.

Необходимые для решения исходные данные приведены в табл. Д3 и на рис. Д3.0…Д3.9. Вариант задания выдаётся преподавателем.

Указания к работе.

Если ∑Fiхe = 0 и в начальный момент vcx = 0 , то при движении системы xc = const . Пусть система состоит из трёх тел с массами m1, m2 , m3 c начальными координатами их центров масс x1, x2 , x3. Если под дейст-

114

вием сил тела совершат абсолютные перемещения, проекции которых на

ось x будут	x1,	x2 ,	x3 , то соответствующие координаты станут равны
x1 + x1, x2 +	x2 ,	x3 +	x3 . Тогда, учитывая, чтоxc = const , получим:
m1x1 + m2 x2 + m3x3 = m1(x1 + x1)+ m2 (x2 + x2 )+ m3(x3 + x3 )

	или m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 = 0 .
В общем виде это условие можно записать в следующем виде:
	∑mi xi = 0 ,
где mi	– масса центра масс i-го тела;
хi	– абсолютное перемещение центра масс i-го тела вдоль оси x, ко-

торую следует направить вдоль неподвижной горизонтальной плоскости.

							Таблица Д3
№	m1, кг	m2 , кг	m3, кг	m4 , кг	αo	βo	φ3 = f (t ), рад
п/п
0	6m	2m	m	2m	60	30	0,3t 2
1	5m	m	m	2m	60	45	0,3t3
2	4m	m	m	2m	30	60	0,5t 2
3	8m	3m	m	2m	45	45	0,6t 2
4	9m	4m	m	2m	30	45	0,9t3
5	6m	2m	m	2m	60	45	0,3t 4
6	5m	m	m	2m	45	30	0,2t3
7	8m	3m	m	2m	30	60	0,8t 2
8	10m	5m	m	2m	60	30	0,9t 2
9	9m	2m	m	2m	45	45	0,1t3

115

Рис. Д3.0

Рис. Д3.1

Рис. Д3.2

Рис. Д3.3

Рис. Д3.4	Рис. Д3.5

Рис. Д3.6	Рис. Д3.7

116

			4			ϕ3	ϕ3	3	4	1
2						3				2
						1
		α							β
				Рис. Д3.8				Рис. Д3.9
	Пример выполнения задачи Д3
	Дано:			массы	тел	соответственно		равны	m1 = 6m;	m2 = 2m;
m = m		4	= m;	r = r; α = 600 (рис. Д3).
3				3
	Закон движения тела 3 осуществляется по закону φ3 (t ) = 0,5t2 ; см.
рис. Д3.
							Рис. Д3
	Найти перемещение x1 призмы 1 по идеально гладкой плоскости. В
начальный момент система находилась в покое.
						Р е ш е н и е
	Изобразим все внешние силы, приложенные к материальной системе.
Внешними силами являются: P1 – вес призмы, P2 – вес катка, P3 – вес бло-
ка 3,	P4 – вес блока 4,				N	– суммарная нормальная сила реакции горизон-
тальной плоскости.

117

Выберем направление осей координат, ось x направим по горизонтали вправо и запишем теорему о движении центра масс системы материаль-

ных точек в проекции на ось x. Mx&&с = ∑Fixe .

Так как внешние силы перпендикулярны к оси x, то ∑Fixe = 0. Тогда

M&x&c = 0 и x&c = C1 .

В начальный момент времени система находилась в покое, поэтому C1 = 0 и Mx&c = 0 . Отсюда следует, что xc = C2 → const , т. е. абсцисса центра масс системы независимо от перемещений отдельных масс, входящих в систему, остаётся постоянной.

При этом имеет место следующее равенство:

	∑mi xi = 0 ,
где mi	– масса i-й точки или тела системы;
хi	– абсолютное перемещение i-й точки или центра масс тела вдоль
оси x.
Система состоит из четырёх тел, поэтому
	m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 = 0 .	(1)
Будем считать, что абсолютное перемещение призмы		х1 направле-

но вправо, куда направлена ось x. Определим абсолютные перемещения других тел, выражая их через х1 х3 = х4 = х1, т. к. центры масс этих тел закреплены на призме.

При определении абсолютного перемещения центра масс тела 2 его движение представим как сложное, состоящее из движения вместе с призмой и качения без скольжения по наклонной плоскости призмы.

Абсолютное перемещение центра масс тела 2 представим в виде x2 = x2e + x2r ,

где х2e = х1 – перемещение центра масс тела вместе с призмой (переносное перемещение);

х2r – перемещение центра масс тела вдоль оси x за счёт качения его по призме (относительное перемещение).

Это перемещение

х2r = S2 cosα = φ32r3 cosα = 0,25t2r cos60o .

Тогда абсолютное перемещение

118

x2 = x1 + 0,25t2r cos 60° .

Подставляя все перемещения в равенство (1), получаем:

	m		x + m		x + m		x + m (			x + 0,25t2r cos 60°)= 0 .			(2)
	1		1	3	1	4	1		2	1
Из равенства (2)
x = −	m	2	0,25t 2r cos 60°			= −		2m 0,25t 2r cos 60°			= −	0,5t 2r cos 60°	= −0,025t 2r .
1	m1		+ m2 + m3 + m4						6m + 2m + m + m			10

Знак “–“ говорит о том, что призма будет перемещаться не вправо, как предположили, а влево.

3. Принцип Даламбера

Для рассмотрения движения систем Даламбер предложил специальный принцип, получивший название принципа Даламбера.

Принцип Даламбера для материальной точки эквивалентен основному закону динамики. Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид

							(3.40)
		= F + R,
mW

где F – равнодействующая активных сил; R – равнодействующая реакций связей;

W – ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета.

Представим (3.40) в виде

F

+

R

− mW

= 0,

введем обозначение

ин = −mW

– сила инерции материальной точки, тогда получим

F

+

+

ин = 0.

(3.41)

F

R

F

Таким образом, при движении материальной точки активные силы, реакции связей вместе с силой инерции точки образуют уравновешенную систему сил.

Уравнение (3.41) выражает принцип Даламбера для точки. Рассмотрим систему n материальных точек. К каждой точке системы

приложены равнодействующая активных сил и равнодействующая реакций связей. Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получим:

	i +		ii +		iин = 0 ,	(3.42)
F		R		F

где нижний индекс i = 1,2,..., n;

F iин = −miW i – сила инерции i -й точки.

119

Условие (3.42) можно представить в эквивалентной форме

{F	i ,		i ,		iин} 0; i = 1,2,..., n.	(3.43)
		R		F

n векторных условий (3.42) или (3.43) выражают принцип Даламбера для системы: при движении механической системы активные силы и реакция связей вместе с силами инерции составляют уравновешенную систему сил.

На основании принципа Даламбера для системы в форме (3.43) можно получить шесть уравнений равновесия для сил, действующих на точки системы, включая силы инерции, имеющие пространственное расположение.

Если просуммировать левые части уравнений (3.42) по всем точкам системы, то

∑		i + ∑		i + ∑		iин = 0,	(3.44)
	F		R		F

где ∑ F i – главный вектор активных сил;

∑Ri – главный вектор реакций связей;

∑F iин – главный вектор сил инерции.

Умножая векторно каждое из соотношений (3.42) слева на радиусвектор точки ri и суммируя по точкам системы, получаем:

∑

0 (

ie )+ ∑

0 (

i )+ ∑

0 (

iин)= 0.

(3.45)

M

F

M

R

M

F

Условия (3.44) и (3.45), если выразить их через проекции на координатные оси, дадут шесть условий равновесия, аналогичных условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, в статике.

Здесь ∑M0 (Fi ) – сумма моментов активных сил относительно точ-

ки О. (главный момент активных сил);

∑M0 (Ri ) – сумма моментов реакций связей относительно точки О

(главный момент реакций связей);

120