ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Тогда равенство (3.28) будет иметь вид

Т - Т0 = ∑ Aie + ∑ Aii. (3.29)

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

Если ∑ Ai = 0 , то такая система называется неизменяемой. Тогда уравнение (3.25) примет вид

T2 − T1 = ∑ Aie.

Работа сил

1) Работа постоянной силы

A =

= FS cosα ,

(3.30)

F

S

где

– постоянная сила;

F

– вектор перемещения точки приложения силы;

S

α = const – угол между векторами

и

.

F

S

Работа силы есть алгебраическая вели-

чина, равная произведению модуля силы на

перемещение точки приложения силы и на ко-

синус угла между векторами

и

(рис. 3.3).

F

S

2) Если сила переменная, то сначала оп-

Рис. 3.3

ределяется элементарная работа

dA =

(3.31)

FdS = FdS cosα,

а затем работа силы на конечном перемещении определяется по формуле

A = ∫ dA = ∫

FdS = ∫ FdS cosα .

(3.32)

S

S

S

3) Элементарная работа силы через проекции векторов

F

и dS

на

координатные оси может быть записана в виде

dA = Fxdx + Fydy + Fz dz,

(3.33)

где Fx ,

Fy ,

Fz – проекции вектора силы

на координатные оси;

F

dx,

dy,

на те же оси.

dz – проекции вектора dS

101

При определении работы силы на конечном перемещении с помощью формулы (3.33) получим

A = М∫2	(Fxdx + Fydy + Fzdz) .			(3.34)
М1
4) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу:
	φ
	A = ∫M z (F		)dφ.	(3.35)
	0

Если M z (F ) = const , то A = M z (F)φ, где M z – момент силы относительно оси; ϕ – угол поворота тела. Работа положительная, если направление момента совпадает с направлением углового перемещения тела, и от-

z

рицательная в противном случае.

5) Работа силы

тяжести

M1

(рис. 3.4)

h

При перемещении точки М на

неё действует сила тяжести

. Вы-

M2

P

Р

числим работу этой силы на пере-

z1

мещении М1М2 по формуле (3.3)

Р

0

z2

y

М 2

A = ∫ Pxdx + Pydy + Pz dz .

(3.36)

x1

y1

x2

М1

Проекции силы

на оси ко-

x

y2

P

ординат будут Px = 0, Py = 0, Py = – P,

Рис. 3.4

тогда уравнение (3.3) примет вид

z2

A = − ∫

Pdz = P(z1

− z2 ); z1 − z2 = h; A1,2 = Ph,

(3.37)

z1

где h – вертикальное перемещение точки приложения силы.

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка, а зависит лишь от высоты, на которую опускается или поднимается точка приложения силы тяжести. Работа положительная, если конечное положение точки ниже начального, и работа отрицательная, если конечное положение точки выше начального.

102

Fупр

6) Работа силы упругости

Рис. 3.5

На рис. 3.5 показан в промежуточном положении груз, прикрепленный к пружине. Начало оси x совмещено с положением статического равновесия, поэтому в промежуточном положении пружина растянута на величину λ = x. Тогда

= cx, где c – жесткость пружины, x –

ее деформация.

Проекции Fупрна оси равны: Fупр.x = – cx; Fупр.y = Fупр.z = 0

Подставив эти значения в формулу (3.34), получим:

x		(x22 − x12 ) или A = −	c	(λ22 − λ21 ) ,
A = −c ∫2xdx = −	c				(3.38)
	2		2
x1

где λ1 = x1, λ 2 = x2 – деформация пружины в начальном и конечном по-

ложениях тела (системы).

Если в начальном положении деформация пружины равна нулю, т. е. λ1 = 0, то формула (3.36) принимает вид

	A = −	c	2		c 2
			λ 2	= −		λ .	(3.39)
		2			2

В общем случае работа упругой силы может быть положительной и отрицательной. Работа положительная, если деформация пружины уменьшается при перемещении тела, и отрицательная, если деформация пружины увеличивается.

7) Для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении ∑ Aii = 0.

103

Для решения определенного рода задач надо знать моменты инерции твердого тела. Моменты инерции некоторых однородных твердых тел приведены в табл. 3.1.

						Таблица 3.1
	№	Тела	Схема тела	Момент инерции
	п/п
		Тонкий прямо-		J z	=	Ml2
						12
	1	линейный стер-
					= Ml2
		жень		J z
				1		3
	2	Кольцо, полый		Jz	= Mr 2
		цилиндр

		J x = J y =		Mr2
	3 Тонкий диск			4
			Mr2
		J z =
			2

		r 2		+	l 2
	J x = J y = M		4		3
4 Цилиндр
	J z =	Mr2
		2

5 Шар			J x = J y = Jz =	2 Mr 2
				5

104

Если задан радиус инерции твердого тела, то момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, определяется по формуле

Jc = Mρ2 , где М – масса тела, ρ – радиус инерции.

Задача Д2

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система состоит из катков (или катка и подвижного блока) 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами R3 = 0,3 м, r3 = 0,1 м и радиусом инерции относительно оси вращения ρ3= 0,2 м, блока 4 радиусом R4 = 0,2 м и грузов 5 и 6; тела 1 и 2 считать сплошными однородными цилиндрами, а массу блока 4 – равномерно распределенной по ободу. Коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1. Тела системы соединены друг с другом нерастяжимой нитью. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям (рис. Д2.0…Д2.9).

Под действием силы F = f (S ), зависящей от перемещения S точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкив 3 действует постоянный момент M сил сопротивления (от трения в подшипниках).

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение S станет равным S1 = 0,2 м. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д2, где обозначено: ω3 – угловая скорость тела 3; ε 4 – угловое ускорение тела 4; v5 – скорость центра масс тела 5; W2 – ускорение центра масс тела 2 и т. п.

Все катки, включая и катки, обмотанные нитями, катятся по плоскостям без скольжения. На всех рисунках можно не изображать груз, если по условию его масса равна нулю.

Вариант задания (номер схемы, исходные данные из табл. Д2) выдается преподавателем.

									Таблица Д2
								F = f	(S ),
№	m1,	m2 ,	m3,	m4 ,	m5 ,	m6 ,	M ,			Найти
п/п	кг	кг	кг	кг	кг	кг	Н·м	Н

105

														80(3 + 4S )
0	2		0			4	0			6	0	1,2				v1
1	0		2			0	6			0	4	0,6		20(6 + 5S )		W6
2	6		0			0	2			4	0	0,8		60(4 + S )		ω1
														Окончание		табл. Д2
														F = f (S ),
№	m	,	m	2	,	m ,	m	4	,	m ,	m ,	M ,				Найти
п/п	1					3				5	6	Н·м		Н
	кг		кг			кг	кг			кг	кг
														40(3 + 8S )
3	0		4			6	0			0	2	0,3				ε3
4	4		0			0	2			0	6	1,5		50(5 + 2S )		v6
														30(4	+ 2S )
5	2		0			4	0			0	6	0,9				W1
6	0		4			0	6			2	0	0,4		60(2 + 5S )		v5
7	6		0			0	4			0	2	0,3		80(1	+ 4S )	ε4
8	0		6			2	0			4	0	1,0		20(8	+ 2S )	ω3
9	0		2			0	4			6	0	0,6		40(3	+ 2S )	W2

Рис. Д2.0

106

Рис. Д2.1

Рис. Д2.2

Рис. Д2.3

107

Рис. Д2.4

Рис. Д2.5

Рис. Д2.6

Рис. Д2.7

Рис. Д2.8

108

Рис. Д2.9

		Пример выполнения задачи Д2
Дано: m1 = 3 кг; m2 = 1 кг;				m3 =	2 кг; F = 10(2 + S ) Н; S 1= 0,1 м;
f = 0,1; ρ	3	= 0,1 м; M = 1,2 Нм; R	2	= R	= 0,4 м; r =	1 R .
				3	3	2	3

Каток 2 сплошной однородный цилиндр. Определить v1 – скорость тела 1 (рис. Д2).

Р е ш е н и е Воспользуемсятеоремойобизменениикинетическойэнергиисистемы

T − T0 = ∑ Aie + ∑ Aii ,

(1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

∑Aie – сумма работ внешних сил, приложенных к системе;

∑Aii – сумма работ внутренних сил, приложенных к системе.

109

Рис. Д2

Данная система неизменяемая, поэтому ∑ Aii = 0. Так как в началь-

ный момент система находилась в состоянии покоя, то T0 = 0, и уравнение

(1) примет вид

T = ∑ Aie.

(2)

Найдемкинетическуюэнергиюсистемы T вконечномееположении. Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна сумме кине-

тических энергий тел 1, 2, 3

T = T1 + T2 + T3.

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

			m v2
		T = 1 1 .
		1	2
	Кинетическая энергия ступенчатого блока 3, вращающегося вокруг
неподвижной оси:
		T =	J zω32	,
		3	2
							= m ρ2
где J	z	– момент инерции блока относительно оси вращения;			J	z		;
							3 3

ω3 – угловая скорость ступенчатого блока.

Кинетическая энергия катка 2, совершающего плоское движение:

110