37

5.Дифференциальные уравнения

5.1.Основные понятия и определения

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравне-

ние, связывающее независимую переменную x , искомую функцию	и ее производные
y , y , y ,..., y(n) :
F(x, y, y , y ,..., y(n) ) 0 .	(5.1)
Если из уравнения (5.1) можно выразить y (n) , то уравнение можно записать в явном
виде:
y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ) .	(5.2)

Про уравнение (5.2) говорят, что оно разрешено относительно n -й производной. Определение. Порядком уравнения называется порядок старшей производной, вхо-

дящей в это уравнение.

Определение. Решением уравнения (5.1) называется такая функция (x) , которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в тождество.

Определение. Если (x) - решение дифференциального уравнения, то кривая y (x) называется интегральной кривой этого уравнения.

Пример. y 2x 3 . Это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешен-

ное относительно производной. Его решение есть функция y x2 3x C . Это легко проверяется подстановкой функции в уравнение. Интегральной кривой является кривая y x2 3x C . При разных значениях C получаем разные интегральные кривые.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называет-

ся уравнение, связывающее искомую функцию нескольких переменных									, ее
частные производные и независимые переменные								.
Порядком уравнения называется порядок старшей частной производной, входящей в
это уравнение.
Примеры
1.							- уравнение в частных производных первого порядка.
2.							- уравнение в ч.п. второго порядка◄

5.2.Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины

Рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:

F(x, y, y ) 0 .	(5.3)
Общее решение дифференциального уравнения (5.3) имеет вид
y (x,C) ,	(5.4)

где C - произвольная постоянная.

Если в (5.4) вместо произвольной константы C подставить определенное значение

C0 , то получим частное решение уравнения:
y (x,C0 ) .	(5.5)

38

Не всегда решение можно записать в явном виде (5.4). Часто получаем решение, записанное следующим образом:

(x, y,C) 0 ,

(5.6)

которое не разрешено относительно y . Разрешив его относительно y , если это возможно,

получим общее решение (5.4).

Равенство (5.6), задающее общее решение неявно, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Если придать C определенное значение C0 , то получим равенство
(x, y,C0 ) 0 ,	(5.7)

которое называют частным интегралом.

С геометрической точки зрения общий интеграл (5.6) или общее решение (5.4) представляют собой семейство кривых, зависящих от параметра C . Частному интегралу (5.7) или частному решению (5.5) соответствует одна кривая семейства при C C0 .

Пример. Уравнение			имеет общее решение		. Частным решением
является, например,		(при	)◄
Изоклины. Рассмотрим уравнение
				(5.8)

Пусть M0 (x0 , y0 ) - произвольная точка. Пусть y y(x) - решение этого уравнения. Тогда из уравнения (5.8) получаем, что y (x0 ) f (x0 , y0 ) . Из геометрического смысла производной известно, что y (x0 ) tg , где - угол наклона касательной к кривой y y(x) (интегральной кривой) в точке x0 к оси Ox . Следовательно, tg f (x0 , y0 ) . То есть с

помощью правой части уравнения (5.4) можно найти угол наклона касательной к интегральной кривой в любой точке, где существует касательная. Чтобы обозначить направления касательных, построим в каждой точке отрезок, расположенный под соответствующим углом к оси Ox . Получим так называемое поле направлений. Таким образом, уравнение (5.4) задает поле направлений на плоскости xOy .

Определение. Кривая, в каждой точке которой направление поля одно и то же, называется изоклиной уравнения.

Изоклина определяется уравнением

f (x, y) k,

(5.9)

где k const .

Геометрически задача нахождения решения дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направле-

нием поля в соответствующих точках.
Пример.	y x / y .
►Из уравнения находим		. Изоклины задаются уравне-	y	y x
нием (5.9):	или	, где y 0 (рис. 1).
Рассмотрим изоклину при		: y x . В каждой точке этой изо-		x
				1

клины направление поля одинаковое. Найдем его. Возьмем любую точку,
принадлежащую данной изоклине, например,	. В этой точке с по-
мощью дифференциального уравнения находим	.	Рис. 1