44

5.4.5.Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Область называется односвязной, если любая непрерывная замкнутая кривая, принадлежащая , будет ограничивать область, также целиком принадлежащую .

Другими словами, односвязная область не содержит «дырок». Например, круг является односвязной областью, а кольцо не является односвязным.

Определение. Уравнение вида

M (x, y) dx N(x, y) dy 0

(5.37)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции.

Пусть левая часть уравнения (5.37)						является полным дифференциалом функции
:
						.		(5.38)
Тогда выполняются равенства:
M (x, y)		U (x, y) ,				N (x, y) U (x, y) .		(5.39)
			x			y
Теорема. Пусть функции M (x, y) , N (x, y) и их частные производные							M	, N
							y	x

непрерывны в односвязной области R2 . Для того чтобы уравнение (5.37) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в области выполнялось условие

				M	= N .	(5.40)
				y	x
Доказательство
1. Необходимость .	Пусть уравнение (5.37) - уравнение в полных дифференциа-
лах, то есть существует функция				, для которой выполняются равенства (5.39). Про-
дифференцируем обе части первого равенства по y и обе части второго - по x :
	M			2U	, N	2U	.
	y			x y
					x	y x
Так как производные	M	и	N непрерывны по условию теоремы, то непрерывны
	y		x

и смешанные производные второго порядка функции U (x, y) . По теореме о смешанных

	производных (см. 4.10)	2U	=	2U		. Следовательно,	M	=	N	.
		x y		y	x		y		x

2. Дост аточность . Пусть выполнено условие (5.40). Докажем, что можно найти функцию U (x, y) , удовлетворяющую равенствам (5.39). Пусть (x0 , y0 ) - произвольная точка. Проинтегрируем первое из равенств (5.39) по первой переменной в пределах от x0 до x :

45

x

x U (t, y)

x

M (t, y) dt

dt U (t, y)

U (x, y) U (x , y) .

0

t

x0

x0

x0

( y)

Следовательно,

x

U (x, y) M (t, y) dt ( y) .

(5.41)

x0

Чтобы определить функцию ( y) , подставим (5.41) во второе равенство в (5.39):

x

x

M (t, y) dt ( y) .

N (x, y)

M (t, y) dt ( y)

y

x0

y

x0

Учитывая условие (5.40), получаем:

x N (t, y)

x

( y) N (x, y)

t

dt N (x, y) N (t, y)

x0 N (x0 , y) .

x0

Следовательно,

y

y

(z) dz N (x0 , z) dz ,

y0

y0

y

( y) ( y0 ) N (x0 , z) dz ,

y0

y

( y) N (x0 , z) dz C1 .

y0

Подставляя ( y) в (5.41), получаем искомую функцию U (x, y) :

x

y

U (x, y) M (t, y) dt N (x0 , z) dz C1

(5.42)

x0

y0

Метод решения. Сначала находим функцию U (x, y) по формуле (5.42). Из (5.38) и

(5.37) dU 0 . Следовательно,

U (x, y) C или

x

y

M (t, y) dt N (x0 , z) dz C .

(5.43)

x0

y0

Пример. Решить уравнение (2 x y 3y2 ) dx (x2 6 x y 3 y2 ) dy 0 .

►Функции M 2 x y 3 y2 ,

N x2 6 x y 3 y2

непрерывны при любых

и .

,

непрерывны при любых

и . Условие (5.40) выполняется.

Возьмем любую точку

,

в которой выполняются все условия теоремы.

Пусть

	x	y
,	. По формуле (5.43): 2t y 3 y 2 dt 3 z 2 dz C , t 2		y 3 y 2	t	x	z3		y
					0			0
	0	0

C ,

x2 y 3 y2 x y3 C ◄