39

Следовательно, tg 1, / 4 . Это означает, что в каждой точке изоклины

касательные к интегральной кривой

образуют угол

с осью

. Обозна-

чим направление поля, построив на изоклине

несколько отрезков, расположенных

под углом

к оси Ox .

Теперь возьмем другую изоклину при

:

. Возьмем любую точку, при-

надлежащую этой изоклине, например,

. Найдем в этой точке

,

. Следовательно, в каждой точке изоклины

касательные к ин-

тегральной кривой находятся под углом

к оси

. Построим на изоклине

несколь-

ко отрезков, расположенных под углом

к оси Ox .

Продолжая таким образом, найдем поле направлений. По полю направлений можно приблизительно построить семейство интегральных кривых. Построенные отрезки будут касательными к интегральным кривым. В данном примере интегральными кривыми будут окружности x2 y 2 C 2 ◄

5.3.Задача Коши для уравнения первого порядка

Определение. Задача нахождения решения уравнения y f (x, y) , удовлетворяю-

щего начальному условию y(x0 ) y0 , называется задачей Коши.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши).

(5.10)

Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой окрестности

точки M 0 (x0 , y0 ) . Тогда в некотором интервале (x0 h, x0 h) существует единственное решение задачи Коши (5.10).

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что через каждую точку, удовлетворяющую условиям теоремы Коши, проходит только одна интегральная кривая.

Пример.		Рассмотрим задачу Коши							.
Функция					непрерывна при любых					,	. Частная производная
	непрерывна при любых					,	. Следовательно, по теореме Коши данная

задача имеет единственное решение◄

5.4.Основные виды и способы решений дифференциальных уравнений первого порядка

5.4.1.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

называется уравнение вида

	dy	f (x) g( y) .	(5.11)
	dx

							40
	Способ решения.	Считая, что			g( y) 0 , разделим обе части уравнения (5.11) на
	g( y) и умножим на dx :	dy	f (x) dx . Проинтегрировав обе части, получим:
		g( y)
				dy		f (x) dx C .
				g( y)
	Пример. y x 2 . ► dy x2 dx ; dy x2 dx C ;						y	x3	C ◄
							3

Замечание. Уравнения с разделяющимися переменными может иметь и другой вид.

Например, A1 (x) B1 ( y) dx A2 (x) B2 ( y) dy 0.

5.4.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция F(x, y)

называется однородной степени k функцией, если

для всех 0 выполняется равенство

F( x, y) k F(x, y) .

Определение. Дифференциальное уравнение

dy

f (x, y)

(5.12)

dx

называется однородным, если f (x, y)

однородная функция степени 0, то есть если

f (x, y) f (x, y) .

Способ решения. Сделаем в уравнении (5.12) замену y x z(x) :

dz

x z f (x, zx) .

(5.13)

dx

Так как f (x, y) - однородная функция степени 0, то

f (x, zx)

f (1, z) . Тогда из уравнения

(5.13) получаем уравнение x

dz

z

f (1, z) , которое является уравнением с разделяющи-

dx

мися переменными. Разделим переменные:

dz

dx

. Проинтегрировав обе части,

f (1, z) z x

сделаем обратную замену z y / x .

Рассмотрим уравнение вида

A(x, y) dx B(x, y) dy 0.

(5.14)

Запишем уравнение (5.14) иначе:

dy

A(x, y)

.

dx

B(x, y)

Если A(x, y) - однородная функция степени k ,

а B(x, y)

- однородная функция сте-

пени l , то

A( x, y)

k A(x, y)

k l

A(x, y)

l

.

B( x, y)

B(x, y)

B(x, y)

Следовательно, уравнение (5.14)

является однородным,

если k l , то есть если

A(x, y) и B(x, y) являются однородными функциями одной и той же степени.

41

5.4.3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида

y a(x) y b(x)	(5.15)
называется линейным.
Если b(x) 0 , то уравнение называется линейным однородным. Если	b(x) 0 , то
уравнение называют линейным неоднородным.

Линейные дифференциальные уравнения можно решать с помощью метода Лагранжа или метода Бернулли. Рассмотрим только метод Бернулли.

1)Решение уравнения (5.15) будем искать в виде произведения двух функций и :

.

(5.16)

Подставим (5.16) в уравнение (5.15):

.

Сгруппируем, например, слагаемые с :

.

(5.17)

2)Подберем такую функцию , чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Тогда уравнение (5.17) равносильно двум уравнениям:

(5.18)

3) Первое уравнение в (5.18) является уравнением с разделяющимися переменны-

ми. Решим его.

			.
	,		(5.19)
где		. При вычислении интеграла	константу можно

	не писать, так как нас устроит любая функция, удовлетворяющая первому урав-
	нению в (5.18).
4)	Подставим (5.19) во второе уравнение в (5.18):
			.
	Отсюда		. Решим это уравнение:
						.		(5.20)
5)	Подставим (5.20) и (5.19) в (5.16):
							.	(5.21)
Замечание. В интеграле в (5.21) константу писать обязательно.

							42
Пример. Решить уравнение y 2 x y 3 x .
►Решение уравнения будем искать в виде
	.						(5.22)
1)	Подставим (5.22) в уравнение:
	,
	.
							(5.23)
2)	Решим первое уравнение в (5.23).
							.
	.						(5.24)
3)	Подставим (5.24) во второе уравнение в (5.23):
					.		(5.25)
4)	Подставим (5.25) и (5.24) в (5.22):
						◄

5.4.4.Уравнение Бернулли

Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y a(x) y b(x) yn ,

n 0, 1.

Решение уравнения (5.26) будем искать методом Бернулли, то есть в виде y u(x)v(x) .

Подставим (5.27) в уравнение (5.26):

u v u v a(x)u v b(x)un vn , u (v a(x) v) u v b(x)un vn

Функцию v v(x) выбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: v a(x)v 0 .

Тогда уравнение (5.28) примет вид:

u v b(x)u n vn .

Следовательно, функции и являются решениями системы:v a(x) v 0

u b(x) u n vn 1

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)

(5.30)

Первое уравнение системы (5.30) является уравнением с разделяющимися переменными. Его решение имеет вид:

,

(5.31)

																																																									43
где	.
Подставляя (5.31) во второе уравнение системы (5.30), получаем
																																				.
Разделяем переменные:																																. Следовательно,
или
																																																	.
Подставляя последнее выражение и (5.31) в (5.27), получаем решение:
Пример. Решить уравнение x y y y2 ln x .																																							, где																	.	(5.32)
►Приведем уравнение к виду (5.26):
													y					1				y						y2 ln x							.																						(5.33)
																			x												x
1)	Сделаем замену
																				y u v .																																					(5.34)
Подставим (5.34) в (5.33):
													1																			u2 v2 ln x
							u								u v u v																										.
													x																						x
	0
Отсюда получаем систему (5.30):
																																																									(5.35)
2)	Из первого уравнения в (5.35) найдем функцию u :
																				u							1		.																												(5.36)
																											x
3)	Подставим (5.36) во второе уравнение системы (5.35):																																																						. Разделяем пе-
	ременные и интегрируем:
																															.
	Вычислим интеграл в правой части.
																																																					.
	Следовательно,																										или																											.
																																																					1
Подставляя последнее выражение и (5.36) в (5.34), получаем: y																																																								◄
																																																		ln x 1 C x