СР

СР

46

5.4.6.Сводная таблица по уравнениям первого порядка

Тип урав-

Вид уравнения

Метод решения

нения

Уравнения с

dy

f (x) dx C

разделяю-

g( y)

щимися пе-

ременными

Однородные

dy

f (x, y) ,

где

y x z(x)

д.у. первого

dz

dx

dx

C

порядка

f (x, y) f (x, y)

f (1, z) z

x

Обратная замена:

z y / x

Линейные

y a(x) y b(x)

д.у. первого

,

где

порядка

(константу

можно не писать)

Уравнение

y a(x) y b(x) yn ,

Бернулли

n 0, 1

,

где

(константу

в функ-

ции

можно не писать)

Уравнение в

M (x, y) dx N(x, y) dy 0,

x

y

полных

где

M (t, y) dt N (x0 , z) dz C

дифферен-

x0

y0

циалах

Точка

-

любая

точка, в

которой

функции

,

,

и

непрерывны

5.5.	Дифференциальные уравнения высших порядков
Рассмотрим дифференциальные уравнения высших порядков:
	F(x, y, y ,..., y(n) ) 0 или
	y(n) f (x, y, y ,..., y(n 1) ).	(5.44)

Определение. Задачей Коши для уравнения (5.44) называется задача нахождения решения y(x) этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям

где y , y		,...,	y(n 1)
0	0		0

y(x0 ) y0 ,
y (x )		y ,
	0	0
y (x )		y ,	(5.45)
	0	0
y(n 1) (x ) y(n 1)			,
	0	0

- заданные константы1.

1 Это не производные!

47

Теорема Коши. Пусть в уравнении (5.44) функция f и ее частные производные

,

, …,

непрерывны в области . Тогда для любой точки

(x , y

y ,..., y(n 1) )

в

0

0,

0

0

некотором

интервале (x0 h,

x0 h)

существует

единственное

решение задачи Коши

(5.44), (5.45).

Пример. Определить, существует ли единственное решение задачи:

,

,

.

►Функция

непрерывна в любой точке

, где

.

Частная производная

непрерывна при

, ч.п.

непрерывна везде.

По теореме Коши данная задача имеет единственное решение◄

5.6.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка

СР

Вид уравнения

Метод решения

y(n) f (x)

–кратное интегрирование:

,

,…,

,

.

Уравнения, не содержащие функцию

y и ее про-

Замена p(x) y(k ) .

изводные до порядка (k 1) включительно:

Тогда y(k 1) p (x) ,

y(k 2)

p (x) ,…

F(x, y(k ) ,..., y(n) ) 0

Уравнения, не содержащие независимую перемен-

Замена

p( y) y .

Тогда

ную : F( y, y ,..., y(n) ) 0

y p ( y) y p ( y) p( y) ,…

Примеры

1)y x3 1.

►

Ответ:						◄

2)y x y(4) 0.

p(x) y ,

p xp 0,

dp

dx

,

p C x,

y C x.

p

x

1

1

Ответ:				◄

СР

СР

48

3)y y 2 .

►

,

,

или

.

или

.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем обратную замену

. Получим

.

Следовательно,

.

Рассмотрим второе уравнение

.

.

- это константа, поэтому напишем вместо нее снова

:

. Модуль не пи-

шем, так как знак учитывается константой (если

,

то

; если

, то

). Сделаем обратную замену:

. Получим:

. Тогда

◄

5.7.Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называет-

ся уравнение вида

	a (x) y(n) a (x) y(n 1)				... a				(x) y a (x) y f (x),
	0		1				n 1		n
						a0 (x) 0.
где функции ai (x)	(i 0, n) непрерывны,
Если правая	часть		f (x) 0 , то		уравнение называется линейным неоднородным
уравнением (ЛНДУ). Если f (x) 0 ,					то уравнение называется линейным однородным
уравнением (ЛОДУ).
Так как a0 (x) 0 ,			то можно разделить обе части уравнения на							a0 (x) . Поэтому в
дальнейшем будем полагать, что a0 (x) 1, то есть уравнение имеет вид
	y(n)		a (x) y(n 1) ... a				(x) y a (x) y f (x) .			(5.46)
			1		n 1				n
Очевидно, что ЛОДУ
	y(n) a (x) y(n 1)				... a			(x) y a (x) y 0		(5.47)
			1			n 1			n

всегда имеет тривиальное (нулевое) решение: y 0 .

5.7.1.Линейные однородные дифференциальные уравнения. Фундамен-

тальная система решений.

Теорема (о линейной комбинации решений ЛОДУ).

Пусть y1 (x),..., yn (x) - решения ЛОДУ (5.47); , , …, – произвольные постоянные. Тогда линейная комбинация

также является решением этого уравнения.

Доказательство. Доказательство проведем для уравнения третьего порядка (в остальных случаях доказательство аналогично):

				.	(5.48)
Пусть	,	и	– решения уравнения (5.48). Тогда выполняются равенст-
ва:
			,	.	(5.49)
Подставим			в уравнение (5.48):

49

.

Отсюда с учетом (5.49) получаем:

	.
Следовательно,	является решением уравнения (5.48)

Определение. Система функций 1 (x),..., n (x) называется линейно зависимой, если существуют такие константы C1,...,Cn (не обращающиеся в нуль одновременно), что

n

верно тождество Ci i (x) 0 . Если же тождество выполняется только когда все кон-

i 1

станты Ci 0 , то функции называются линейно независимыми.

Определение. Фундаментальной системой решений (ф.с.р.) ЛОДУ (5.47) называ-

ется любая система n линейно независимых решений y1(x),..., yn (x) этого уравнения.

Определение.		Определителем Вронского (вронскианом) системы								функций
1,..., n	называется определитель
					1	2	...	n
	W( x) W( 1 ,..., n )				1	2	...	n	.	(5.50)
					.	.	.	.
					(n 1)	(n 1)	... (n 1)
					1	2		n
Теорема (о вронскиане)
1.	Если y1,..., yn	- фундаментальная система решений уравнения (5.47), то
		W(x) W( y1, ..., yn ) 0					x.
2.	Если y1,..., yn	- решения ЛОДУ (5.47) и W(x) W( y1 , ..., yn ) 0 хотя бы в одной
	точке x0 , то y1,..., yn		- фундаментальная система решений уравнения (5.47).
Пример. Пусть функции			и	являются решениями линейного однородного урав-

нения второго порядка. Определить, образуют ли эти функции фундаментальную систему решений этого уравнения.

► W(x) W(x, ln x)	x	ln x	1 ln x 0	,	.
	1	1/ x
Следовательно, функции образуют фундаментальную систему решений◄
Теорема (об общем решении ЛОДУ). Если				y1,..., yn	- фундаментальная система

n

решений уравнения (5.47), а C1,...,Cn - некоторые постоянные, то y Ci yi (x) есть об-

i 1

щее решение уравнения (5.47).

	5.7.2.	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
СР	Обозначим		– частное решение неоднородного уравнения

				50
y(n) a (x) y(n 1)	... a	(x) y a (x) y f (x) ,		(5.46)
1	n 1		n
– общее решение однородного уравнения
y(n) a (x) y(n 1) ... a			(x) y a (x) y 0 ,	(5.47)
1	n 1		n

– частное решение неоднородного уравнения (5.46).

Теорема (об общем решении ЛНДУ). Общее решение ЛНДУ представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

	yо н yо о	yч н .	(5.51)
Доказательство. Докажем только то, что (5.51) - решение уравнения (5.46). По-
скольку	– решение уравнения (5.46), а	– решение уравнения (5.47), то выполняются

равенства:

y(n) a (x) y(n 1)

... a

(x) y

a (x) y

чн

f (x) ,

чн

1

чн

n 1

чн

n

y(n) a (x) y(n 1)

... a

(x) y

a (x) y

оо

0 .

оо

1

о о

n 1

оо

n

Подставим (5.51) в уравнение (5.46):

(n)

a1 (x) yо о yч н

(n 1)

... an 1 (x)

yо о

an

(x) yо о yч н

yо о yч н

yч н

y(n)

a (x) y(n 1) ... a

n 1

(x) y

a

(x) y

оо

о о

1

о о

оо

n

y(n)

0

f (x) .

a (x) y(n 1) ... a

n 1

(x) y

a

(x) y

ч н

ч н

1

ч н

ч н

n

f ( x)

Следовательно, (5.51) есть решение уравнения (5.46)

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

С помощью метода Лагранжа находят общее решение yo н линейного неоднородного

уравнения (5.46). Метод заключается в следующем. Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения (5.47) найдено и имеет вид:

n

yо о Ci yi ,

i 1

где {yi }1n фундаментальная система решений уравнения (5.47). Решение неоднородного уравнения (5.46) ищем в виде

n
yo н Bi (x) yi ,	(5.52)

i 1

где функции Bi (x) определяются с помощью системы

(5.53)

Сначала, решая систему, находим производные , , …, . Затем находим функции Bi (x) Bi (x) dx Ci . Подставляя найденные функции в (5.52), находим об-

щее решение неоднородного уравнения. Если положить Ci 0 , то получим частное решение неоднородного уравнения.