54
y p y q y				f1 (x) и y p y q y f2 (x)										(5.60)
соответственно.
Доказательство. Так как y1 ,			y2		- частные решения уравнений (5.60), то
y p y q y				f	1	(x) ,	y p y		q y	2	f	2	(x) .	(5.61)
1	1	1					2	2
Подставим y y1 y2	в левую часть уравнения (5.59):

y1 y2 p y1 y2 q y1 y2

						y											y p y q y														(5.61)							(x)
								p y q y																						2						f (x) f	2
					1					1			1						2				2													1
											f1 ( x)											f2 ( x)
Пример. Решить уравнение y 3 y e3 x 18 x .
Решение.					k 2 3k 0 ,							k 0 ,					k		2	3 . Следовательно, y																	C C e3 x . Частное ре-
												1																								оо		1			2
шение будем искать в виде y y1																				y2 , где y1 , y2															- частные решения уравнений
											y 3 y e3 x										и y 3 y 18 x .
Частные решения этих уравнений ищем в виде: y																																				A x e3 x		, y	2	x (B x C) . Следо-
																															1
вательно,	y		чн	A x e3 x				B x2				C x . Подставляя y																чн			в уравнение и сравнивая коэффициен-
ты при	одинаковых									степенях,							получим:									y							1	x e3 x 3 x2				2 x .			Таким образом,
																											чн
																															3
y C C		e3 x				1	x e3 x 3 x2					2 x .
	2
1					3
Это же уравнение можно было решить методом Лагранжа. Решение ищется в виде
y B (x) B (x) e3 x . Функции B (x) находятся из системы
1			2										i
													B (x) B (x) e3 x															0,
													1									2
													3 B					(x) e3 x e3 x 18 x.
																	2
				B (x)						1	e3 x 6 x 0									B (x)											1	e3 x				3 x2 C
					1					3												1									9							1
								1																					1		x 2 e 3 x x 1 C
				B (x)					6 x e 3 x											B (x)
					2			3														2						3												2
													1			3 x					2		1				3 x
								y C2							e					3 x						x e					2 x				C1 2 ◄
													9										3

6.Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1.Основные определения и понятия.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

dy1				f		(x, y , y		,..., y		),
					1		2		n
						1
dx
...										(6.1)
dy		n
				f n (x, y1 , y2 ,..., yn ).
dx

Такая система называется нормальной системой. Правые части не содержат производных неизвестных функций yi . Число уравнений системы называется ее порядком.

55

Определение. Если правые части нормальной системы не зависят от независимой переменной x , то такая система называется автономной (стационарной):

dy1

f

( y , y

,..., y

),

1

2

n

1

dx

...

(6.2)

dy

n

f n ( y1 , y2 ,..., yn ).

dx

Определение. Решением системы (6.1) называется совокупность непрерывно диф-

ференцируемых функций y1 (x), y2 (x),..., yn (x) ,

обращающих все уравнения этой системы

в тождества.

Определение. Кривая

в

(n 1) -мерном

пространстве (x, y1 , y2 ,..., yn ) , соответст-

вующая решению y1 y1 (x),

y2

y2 (x),..., yn

yn (x) , называется интегральной кривой.

x x / t,

Пример.

y x.

►Здесь

,

.

Интегрируя первое уравнение системы, получаем x C1 t .

Подставляя найденное

во второе уравнение системы, получаем:

. Следовательно,

. Таким образом, решение данной системы есть

x C1 t,

(6.3)

y C1 t 2 / 2

C2 .

Интегральная кривая задается в трехмерном пространстве (t, x, y) уравнениями (6.3).

Она получается при

пересечении

плоскости x C1 t и параболического цилиндра

y C t 2 / 2 C

2

. Следовательно, интегральная кривая – парабола◄

1

5.8.Задача Коши

Задачей

Коши для

системы

(6.1) называется задача

отыскания решения

y1 y1 (x), y2

y2 (x),..., yn

yn (x) , удовлетворяющего начальным условиям:

y (x

) y 0 ,

1

0

1

...

(6.4)

0

yn

(x0 ) yn .

Теорема Коши (для системы). Пусть правые части системы (6.1) определены в об-

ласти и удовлетворяют в ней условиям:

1) fi (x, y1 , y2 ,..., yn ), i 1, n , непрерывны;

fi

fi

fi

2) частные производные

,

,...,

, i 1, n , непрерывны.

y

y

2

y

n

1

Тогда система (6.1) имеет в некотором интервале (x0 h, x0

h) единственное ре-

шение, удовлетворяющее начальным условиям (6.4).

x z y,

y z,

Пример.

z z x / y.

►Функции f1 (t, x, y) z y ,

Частные производные	f1	0 ,
	x

56

f2 (t, x, y) z ,		f3 (t, x, y) z x / y				непрерывны y 0 .
f1	1,	f1	1,	f2	0 ,	f2	0 ,	f2	1 ,
y		z		x		y		z

f3	1/ y ,	f3	x / y2 ,	f3	1	непрерывны y 0 . Следовательно, по теореме Ко-
x		y		z

ши система имеет единственное решение задачи Коши в любой точке t0 такой, что y(t0 ) 0 ◄

5.9.Метод решения нормальных систем

Одним из способов интегрирования системы (6.1) является метод исключения. Он состоит в том, что система n -го порядка сводится к уравнению n -го порядка.

Рассмотрим метод исключения для системы третьего порядка:

	f1 (x, y1 , y2 , y3 ),
y1
y	f	2	(x, y , y	2	, y	3	),	(6.5)
2			1
y	f	3	(x, y , y	2	, y	3	).
3			1

В остальных случаях метод аналогичен.
1)	Продифференцируем, например, первое уравнение системы (6.1) по																																	:
																													.
Заменим	, и соответственно на ,																, и из (6.5), получим:
																												.
Обозначив всю правую часть через																						, получим:
																	.																		(6.6)
2)	Продифференцируем обе части уравнения (6.6) по x :
																																	.		(6.7)
3)	Составим систему из первого уравнения в (6.5) и уравнений (6.6), (6.7):
																																			(6.8)
4)	Из первых двух уравнений системы (6.8) выразим и через																																,	,	, :
																																			(6.9)
5)	Подставим (6.9) в последнее уравнение системы (6.8):
																	.
	Получили уравнение третьего порядка относительно функции																																	.	Решая это
	уравнение, находим .
6)	Подставляя найденную функцию																в (6.9), находим функции																и .

57

	y1 y2	,
y1
Пример. Решить систему	y y
y			.
2	1	2
►1) Продифференцируем обе части первого уравнения по							:
							.	(6.10)
2) Составим систему из первого уравнения системы и уравнений (6.10):
								(6.11)
3) Из первого уравнения системы (6.2) выразим					через ,		, :
			.					(6.12)
4) Подставим (6.12) в последнее уравнение системы (6.11):
			.
Получили однородное уравнение второго порядка относительно функции								. Ре-
шим его. Характеристическое уравнение имеет вид:							. Корни ха-
рактеристического уравнения равны							. Следовательно,
					.
5) Подставляем найденную функцию			в (6.12):
								.
Итак, решение системы имеет вид:

◄

x

y 2

sin t,

Пример.

x

y

.

2 y

x y 2

sin t

y 2

x sin t

►

x x cos t

x x cos t

Решим второе

уравнение:

. Корни характеристического

уравнения равны

k

1. Следовательно,

решение однородного уравнения: x

oo

C et C

2

e t . Решение

1, 2

1

неоднородного уравнения ищем в виде: xчн Acos t B sin t .

			2 Acos t 2 B sin t cos t ,									A 1/ 2,			B 0 .
Следовательно, x					1	cos t		и x C	et C		e t		1	cos t . Из уравнения		по-
	чн									2
				2				1				2
лучаем: y 2 C et C				e t			1	sin t ◄
			2
1				2