7) Перша теорема двоїстості. Її економічний зміст.
1-ая
часть: если
одна из пары двойственных задач имеет
оптимальное решение, то 2-ая задача также
имеет оптимальное решение, при чём
оптимальные значения целевых ф-ий
двойственных задач совпадают, т.е. Zmax =
Fmin. 2-ая часть:
если ЦФ одной из задач неограничена или
ОДР одной из задач пустое множество, то
двойственная задача также не имеет
решения. Эк.интерпретация:
Используя равенство 1-ой теоремы
двойственности можно выяснить точный
эк.смысл переменных Yi. Для этого
проанализируем равенство Zmax = Fmin с точки
зрения размерностей, входящих в него
величин:
,
,
.
Т.о. переменные двойственной задачи Yi
нельзя отождествлять с рыночными ценами
ресурсов. Речь идёт о некоторой
эк.категории, количественно характеризующей
важность данного ресурса только
относительно полученного оптимального
решения. Переменные Yi называют ценностями,
или теневыми ценами ресурсов. Эти оценки
могут меняться для одних и тех же ресурсов
при изменении их запасов, технологий
производства и других параметров задачи.
С эк.точки зрения Теорема1 показывает, что max прибыль (Zmax) предприятие получает при плане Хопт, который соответствует соответствующему плану Yопт, определяющий оптимальную суммарную оценку запасов ресурсов, т.е. при оптимальном производстве и оптимально определённых ценностях ресурсов предприятию безразлично производить ли продукцию и получать прибыль от её реализации, либо продавать ресурсы по оптимальному плану Yопт.
8) Друга теорема двоїстості. Її економічний зміст.
1-ая часть: если для оптимального решения одной из задач некоторое ограничение выполняется как строгое неравенство, то соответствующая ему переменная двойственной задачи в оптимальной точке будет равна нулю.
(1),
(2).
2-ая часть: Если какая-либо переменная в оптимальном решении строго положительна, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи в оптимальной точке будет строгим равенством, т.е
(3),
(4).
Эк.интерпретация условий 2-ой теоремы двойственности: 1) Т.к. используемый ресурс меньше его запаса, то статус ресурса недефицитный, и следовательно его ценность равна нулю. 2) Т.к. суммарная оценка затрат сырья на производство единицы продукции больше цены реализации этой продукции, то производство изделия данного вида невыгодно. 3) Т.к. ценность ресурса >0, то используется дефицитный ресурс (используется полностью). 4) Т.к. производство продукции выгодно, то суммарная оценка затрат равна цене реализации.
Условия 2-ой теоремы двойственности называют ещё условиями дополняющей нежёсткости:
,
.
9) Економічний зміст змінних та обмежень двоїстих задач. Зв’язок між змінними двоїстих моделей.
Каждому ограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной, и наоборот. С экономической точки зрения переменные исходной задачи являются оптимальным объемом производства, т.е. наилучшим планом выпуска товаров, при котором достигается либо максимизация прибыли, либо минимизация убытков. Ограничения исходной задачи являются запасами ресурса, который можно использовать для производства продукции. Ограничениями могут быть специфические ресурсы, например определенный объем выпуска, зависящий от спроса.
В двойственных задачах переменные экономически можно интерпретировать как ценность ресурса, по ним можно определить либо ресурс дефицитный(если переменная > 0), либо недефицитный(если переменная = 0). Ограничения двойственной задачи экономически можно интерпретировать как суммарную оценку затрат на производство единицы продукции.
Систему переменных исходной задачи можно записать так:
Систему переменных двойственной задачи можно записать так:
Между переменными двойственных задач есть система следующих взаимосвязей:
Исходные переменные 1 задачи соответствуют добавочным переменным второй и наоборот.
2)
Первоначальные переменные исходной
задачи Х1, Х2…Хn являются объемами
производства продукции. Добавочные
переменные 1-ой задачи Xn+1, Xn+2….Xn+n – это
остатки ресурсов.
3) Выразим добавочные переменные исходной задачи:
Следовательно, добавочные переменные исходной задачи являются остатками ресурсов.
4) Исходные переменные двойственной задачи y1, y2..Ym являются ценностями ресурсов.
5) Добавочные переменные двойственной задачи являются превышением оценки затрат над ценой продукции:
