16) Класична лінійна модель множинної регресії.

Является обобщением лин.регрессионной модели для случая более 2-х переменных. Постановка задачи: пусть изучаемый процесс или явление является результатом совместного действия нескольких факторов. Имеется выборка из N-наблюдений за результирующим фактором Y и р-влияющими факторами X. Нужно оценить влияние каждого отдельно фактора на Y и построить обобщающую регрессионную модель предполагая наличие лин.зависимости между Y и совокупностью Х.

Построение модели: С учётом предположения о лин.зависимости модель регрессии запишем т.о.: . Для ошибки u выдвигаются аналогичные гипотезы, как и в случае 2-х переменных: 1) Мат.ожидание ui = 0.= 0. Это требование означает, что не должно быть систематического смещения ошибки ни в сторону положительных, ни в сторону отриц.значений. Среднее значение случ.остатка должно быть=0.

2) . 1-ая строчка предполагает, что остатки, полученные в разл.наблюдениях независимы друг от друга. 2-ая строчка означает постоянство дисперсии остатков, т.е.независимость от того, при каких значениях производятся наблюдения.

3) Переменные Х1, Х2…Хр (наблюдаемые значения) явл. неслучайными вел-и; 4) Х1, Х2…Хр – не имеют строгой лин.зависимости между собой.

Замечания: 1) Усл-ие постоянства дисперсии ошибок наз-тся гомоскедастичностью, если данное усл-ие не выполняется, то говорят о гетероскедастичности остатков; 2) Лиин.зависимость между факторами Х1, Х2…Хр наз-тся мультиколлинеарностью и также нарушает одну из гипотез. В случае нарушения данных гипотез, для оценки регрессии применяются спец.приёмы.

Если все гипотезы выполняются, то оценивание коэффициентов регрессии производится методом наименьших квадратов (МНК). Минимизируем отношение: .

Необходимое усл-ие минимизации функционала: обращение в 0 частных производных по каждому неизвестному параметру (write). Упростив полученные равенства получаем такую стандартную форму норм.уравнений (write). Получаем сист-у из (р+1)-неизвестных из (р+1)-уравнения. В зависимости от кол-ва ур-ий сист-а может быть решена: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера; 3) одним из численных методов решения.

17) Оцінка якості регресійної моделі та статистична значущість коефіцієнтів регресії. Оценка качества регрессионной модели характеризуется рядом показателей:

 проверить статистическую значимость коэффициентов;

 определить интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии;

 определить доверительные интервалы для зависимой переменной;

 проверить общее качество уравнения регрессии (коэффициент детерминации и его статистическую значимость).

Оценка статистической значимости а) по критерию Фишера:

1. Выдвигаем нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров регрессии и показателя корреляции а = b = r_xy

2. Фактическое значение критерия получено из функции ЛИНЕЙН (Excel)

3.Для определения табличного значения критерия рассчитываем коэффициенты k₁ = m = 1 и k₂= n - m - 1

4. Сравниваем фактическое и табличное, значения критерия F_факт > F_табл нулевую гипотезу отклоняем и делаем вывод о статистической значимости и надежности полученной модели.

б) по критерию Стъюдента

Для перевірки нульової гіпотези при альтернативній гіпотезівибирають за статистичний критерій випадкову величину:

()

що має розподіл Стьюдента (t-розподіл) із ступенями свободи. По обраному рівню значущостіта числу ступенів свободи k маємо 2 точки Х1* та Х2*.

Область прийняття гіпотези, що визначається інтервалом:

, де Х2* > X1*

Обчислимо спостережене значення обраного статистичного критерію, як

()

Нагадаємо, що коли , то приймається гіпотеза про те, що , і, навпаки,(), якщо .

Для розрахунку тавикористаємо формули:

,

.

Визначення коефіцієнта еластичності

Для характеристики впливу регресора Х на залежну змінну Y в моделі використовується коефіцієнт еластичності K_E. Припустимо, величина y залежить від х і ця залежність описується функцією . Приріст незалежної змінноїприводить до відповідної зміни залежної –. З точки зору економічних досліджень важливим є питання, як вимірювати вплив зміни одного фактору на інший. Як відомо, одним з показників реагування y на зміну x слугує похідна

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу. Однак в економіці цей показник незручний у використанні, оскільки він залежить від вибору одиниць вимірювання.

Коефіцієнт еластичності – границя відношення зміни у відсотках однієї ознаки при зміні на один відсоток іншої:

В загальному випадку буде неперервною функцією від. Для випадку множинної регресії вводиться поняття часткового коефіцієнту еластичності.

Частковий коефіцієнт еластичності – границя відношення зміни у відсотках Y при зміні на один відсоток одного з регресорів :

В даному випадку визначає еластичність впливу обраного регресора на залежну зміннуY.

Питання-визначення