Sopromat

KI =σ πl;

KII =τ πl;			(17.14)

KIII =τ πl.

Улінійній механіці руйнування виходять з припущення Д. Ірвіна, що тріщина розповсюджуватиметься тоді, коли величина коефіцієнта інтенсивності напружень досягне критичного значення, характерного для даного матеріалу. Критерій розвитку тріщин нормального відриву має вигляд

	KI	= KIc .		(17.15)
Аналогічно	записують	два інші критерії KIIc , KIIIc		для тріщин	поперечного і
поздовжнього зсуву
	KII = KIIc ;	KIII = KIIIc .
Критичні	значення	коефіцієнтів	інтенсивності	напружень	визначають

експериментально. Методика їх визначення регламентується відповідними стандартами. Критерій Ірвіна (17.15) в літературі називають силовим, оскільки він заснований на

аналізі напруженого стану у вершині тріщини.

Для пластин обмежених розмірів при різних видах навантаження і розташування тріщин критичні значення KIc , KIIc , KIIIc визначають такими формулами:

KIc =σ k		fIk	πlk ;
KIIc	=τ k	fIIk	πlk ;
KIIIc	=τ k	fIIIk		πlk ,

де fIk , fIIk , fIIIk — деякі поправочні коефіцієнти. Вирази для fIk наведено в таблиці 17.1. Можна показати, що силовий критерій руйнування еквівалентний енергетичному

критерію Гріффітса. У тілі з симетричною тріщиною завдовжки 2l	при її розвитку в кожен
бік на величину δl звільняється пружна енергія — 2(∂W /∂l)δl .
Позначивши енергію ∂W /∂l , що звільнилася, віднесену до одиниці площі через G ,
отримаємо
δГ = 2Gδl .	(17.17)
З другого боку, на утворення нових поверхонь потрібна енергія
δГ = 2γδl ,	(17.18)
де, як і раніше, через γ позначена поверхнева енергія, віднесена до одиниці площі.
Таким чином, з (17.17) і (17.18) маємо
G = 2γ .	(17.19)
Потік енергії у вершину тріщини при її просуванні можна	обчислити як роботу,
необхідну для «закриття» тріщини, виходячи з таких міркувань.
Уявимо собі, що у продовженні тріщини є розріз, на	поверхні якого діють

напруження, що виникають в зоні концентрації від дії зовнішнього навантаження.

Тоді потік енергії при просуванні тріщини на одиницю довжини уявного розрізу визначимо виразом

1
G1 = ∫σ y 2vdx	,	(17.20)
0
де нормальне напруження σ y і переміщення v		у разі плоскої деформації беремо з формул

(17.10) і (17.11) відповідно при θ = 0 і θ = π . При цьому

231

Поправочні функції

Таблиця 17.1.

Вид навантаження та

Схема розташування

Поправочна функція

розташування тріщин

тріщин та навантажень

σ

Розтяг необмеженої

= sin 2

β

β

пластини з похилою

f1k

тріщиною посередені

2l

σ

σ

Те ж саме для

l

напівнескінченої

= 1,12

пластини з

f1k

односторонньою

тріщиною

σ

σ

2B

Розтяг пластини

f1k

=

2B

tg

πl

шириною 2В з

2l

поперечною тріщиною

πl

2B

посередині

σ

σ

2B

Те ж саме з двома

f1k =

0,2B

sin πl

2B

tg

πl

боковими тріщинами

l

l

πl

B

πl

2B

σ

Mзг

2B

Згин в площині

f

1k

=

8

Hl

(1− µ 2 )

пластини шириною В

2l

2

3

6 B

та товщиною Н з

тріщиною посередині

Mзг

Mзг.розп

Та ж сама пластина

Н

6M

при чистому згині

f

1k

= 1;(σ =

)

2l

розподіленим

H

2

моментом

232

σ

=

K1

;

(17.21)

y

2πx

4(1− µ2 )

v =

K

l − x

.

(17.22)

2π

E

1

Підставляючи (17.21) н (17.22) в (17.20) і проводячи інтеграцію, отримаємо

G =	1− µ2	2	–	(17.23)
	K
1	E	1

для плоскої деформації і

G1 = K12 – (17.24)

E

для плоского напруженого стану.

Отже, маємо два еквівалентні формулювання критерію руйнування:

1) енергетичне, згідно з яким передбачається, що тріщина може розповсюджуватися тоді, коли інтенсивність енергії, що звільняється, G досягає критичного значення

G

= ∂Г = 2γ = const ;

(17.25)

Ic

δl

2) силовe, згідно з яким тріщина може розвиватися при досягненні коефіцієнтом

інтенсивності K своєї критичної величини

Kc = const .

(17.26)

Ця еквівалентність випливає з формул (17.23) і (17.24) для плоскої деформації і

плоского напруженого стану відповідно:

=

K

2

(1− µ2 )

=

K

2

G

1

;

G

1

(17.27)

1c

E

1c

E

Формули (17.27)

справедливі

для

ідеально

крихкого руйнування. Насправді, як

відзначалося, для більшості металів у малій області біля вершини тріщини через пластичні деформації виявляються нелінійні властивості матеріалу. Проте внаслідок обмеженості зони пластичної деформації (де виявляються нелінійні ефекти) в порівнянні з довжиною тріщини, вважають, що розміри цієї зони і ступінь пластичної деформації, що відбувається в ній, контролюються коефіцієнтом інтенсивності K і межею текучості σ T . Тому для

квазікрихкого руйнування залишають у силі обидва критерії руйнування Kc і Gc , вважаючи,

що вони залежать від характеру опору матеріалу пластичній деформації.

Отже, співвідношення (17.25) і (17.26) у лінійній механіці руйнування є основними. З їх допомогою можна розраховувати граничні стани елементів конструкцій з тріщиною, а також оцінювати механічні властивості матеріалу і його здатності гальмувати розвиток тріщин.

У загальному випадку навантаження, коли можливі зсуви берегів тріщин один відносно другого одночасно за трьома схемами, що розглядаються (рис. 17.1), отримаємо

G =

1− µ

2

K 2 +

1− µ2

K

2

+

1− µ2

2

= G + G + G

– (17.28)

K

III

E

1

E

II

E

III

I II

для плоскої деформації і

G =

1

(K

2

+ K 2

+ K

2

)= G

+ G

+ G

–

(17.29)

1

E

II

III

I

II

III

для плоского напруженого стану.

17.4. Оцінювання величини пластичної зони на продовженні тріщини

Енергетичний критерій для нестабільного розвитку тріщини, виражений умовою (17.25), з урахуванням (17.14) можна записати у вигляді

233

		=	K	2	= 2γ		=	σ 2πl
G				1				k	,	(17.30)
	Ic					c
			E					E

де γ c — критична енергія деформації, необхідна для утворення вільної поверхні тріщини за

наявності пластичних деформацій.

Наведений раніше вираз (17.12) для коефіцієнта інтенсивності напружень з урахуванням виразу (17.13) дозволяє наближено визначити протяжність пластичної зони rт

на продовженні тріщини. При σ y = σт для напруженого стану, що характеризується

коефіцієнтом інтенсивності K1 у пластині необмежених розмірів

K2

r = 1 2 ;

т 2πσт

або з урахуванням виразу K1 = σ πl

		1		σ	2
r	=		l		.
т		2		σт

Для пластини кінцевої ширини

		1		σ	2
r	=		l			lf	2 .
т		2		σт			Ik

Тоді половина довжини тріщини з урахуванням пластичної зони

				1		σ	2
	lт	= l + rт	= l1+					.
				2		σт

(17.31)

(17.32)

(17.33)

(17.34)

Користуючись величиною lт , за наведеними раніше формулами, можна визначити K1с , а потім і переміщення v біля вершини тріщини. Для плоского напруженого стану при r = rт , Θ = π отримаємо

K (1+ µ)

3 − µ

r

v =

1

−1 .

(17.35)

E

2π

1+ µ

Подвоєна величина v дорівнює розкриттю тріщини δ

= 2(1− µ)

σ 2

1

σ 2

δ = 2v

r=rт

l

1+

.

(17.36)

σтE

2

σт

У разі крихкого руйнування при

σ < σт

розкриття

тріщини приблизно можна

визначити за формулою

δ

=

σ

2

πl .

(17.37)

σ

т

E

Розрахункові значення δ , отримані за формулою (17.37) при σ ≤ 0,8σт , підтверджені

експериментально.

У разі плоского деформованого стану внаслідок того, що v І δ зменшуються, протяжність пластичної зони знижується у кілька разів у порівнянні з такою ж при плоскому напруженому стані.

Слід мати на увазі, що розміри пластичної зони біля вершини тріщини для одного і того ж матеріалу залежать від ступеня деформації вздовж переднього краю тріщини. Водночас ступінь деформації залежить від товщини зразка, зі збільшенням якої напружений стан змінюється від плоского, при якому σ z = 0 , до об'ємного при плоскій деформації, коли

σ z = µ(σ x +σ y ). При цьому на бічній поверхні плоского

234

Кс

t

K1C
O	t

Рис. 17.6. Залежність коефіцієнта інтенсивності напружень Кс від товщини зразку

зразка у відсутності зовнішнього тиску завжди має місце плоский напружений стан, а тому розміри пластичної області біля вільної поверхні зразка завжди більші, ніж у середній частині.

Оскільки у середній частині зразка напружений стан об'ємний, а, отже, більш жорсткий, ніж в зоні тріщин, що примикають до бічних поверхонь, то й опір руйнуванню в цій зоні буде меншим, а тому і фронт просування тріщин видаватиметься вперед. Для зразків різної товщини співвідношення пластичних зон попереду тріщини є різним. У зв'язку з цим змінюється величина енергії, що витрачається на руйнування, і, отже, існує залежність від товщини зразка t характеристик тріщиностійкості — коефіцієнта інтенсивності напружень Kc (рис.17.6) й інтенсивності енергії, що звільняється Gc .

Як бачимо, зі збільшенням товщини зразка значення Kc (а, отже, Gc ) зменшується і прагне свого граничного, асимптотичного значення Kc при об'ємному напруженому стані в умовах плоскої деформації.

17.5. Методика експериментального визначення тріщиностійкості конструкційних матеріалів

Гранична рівновага тріщиноподібних дефектів у конструкції за заданих умов експлуатації визначається опором руйнуванню (тріщиностійкістю) матеріалу, з якого вона виготовлена. Як міру тріщиностійкості, стосовно найнебезпечніших і найпоширеніших тріщин нормального відриву, найчастіше використовують критичне значення коефіцієнта інтенсивності напружень K1с , що відповідає моменту старту тріщини при дотриманні в її

вершині умов плоскої деформації.

Для визначення характеристики K1с даного матеріалу використовують спеціальні

компактні зразки СТ з тріщиною.

Тріщину в зразку вирощують з вершини вузької щілини при циклічному навантаженні зразка. Режим вирощування і довжина тріщини повинні відповідати певним вимогам, що забезпечують отримання достовірних значень характеристик.

Навантажуючи зразок зростаючим зусиллям, реєструють діаграму «навантаження P

— зсув берегів тріщини v ». Критичний коефіцієнт інтенсивності напружень K1с матеріалу,

що досліджується, розраховують за навантаженням P , що відповідає на діаграмі P —v старту тріщини, з використанням деякої, залежної від конфігурації зразка функції його розмірів і довжини тріщини:

		=	P				l		,	(17.38)
	KIc					Y
			B w
						w

235

де

l

l 0,5

l 1,5

l 2,5

l 3,5

l

4,5

Y

= 29,6

−185,5

+ 665,7

−1017

+ 638,9

.

w

w

w

w

w

w

Якщо отримана таким чином величина

K1с

задовольняє розмірній вимозі (17.37), то

вона вважається реальною характеристикою матеріалу. В іншому випадку необхідно повторити випробування на зразках збільшених розмірів.

Оскільки значення навантаження на діаграмі P —v не залежить від місця вимірювання зсувів, то останні доцільно вимірювати поблизу точок додатка навантаження або поблизу середньої точки лінії фронту тріщини. За синхронно реєстрованими діаграмами P —vp можна додатково до силової характеристики K1с визначати і деформаційну δIc

характеристику тріщиностійкості матеріалу. Такий підхід дозволяє комплексно, з єдиних методичних позицій, оцінювати тріщиностійкість матеріалу як в крихкому, так і пластичному станах. Треба відзначити, що описана методика визначення характеристики K1с

строго обгрунтована тільки при випробуванні крихких матеріалів, що руйнуються в лінійнопружній області.

236

Лекція 33. Тема 18. Контактні напруження

Основні поняття. Визначення контактних напружень. Стиск куль. Стиск циліндрів. Загальний випадок контакту двох тіл. Перевірка міцності при контактних напруженнях.

18.1. Основні поняття

Деформації та напруження, які виникають при взаємному натисканні двох тіл, що дотикаються, носять назву контактних. Внаслідок деформації в зоні контакту елементів конструкції передача тиску проходить через малі площадки. Матеріал поблизу такої площадки, не маючи можливості вільно деформуватися, знаходиться у складному напруженому стані (рис. 18.1).

F	σ3
	σ2
σ1	σ1
	σ2
F	σ3

Рис.18.1. Складний напружений стан у зоні контакту тіл

Контактні напруження мають явно місцевий характер і швидко зменшуються при віддаленні від місця контакту. Питання про контактні напруження є дуже актуальним при вивченні напруженого стану у таких деталях і вузлах, як кулькові та роликові підшипники, зубчасті колеса, колеса та рейки у залізничному транспорті та ін.

Вперше цими проблемами зацікавився німецький вчений Г. Герц, а подальший розвиток їх практично повністю є заслугою наших вітчизняних вчених, зокрема М.М. Бєляєва.

Герц Генріх Рудольф (22.ІІ.1857–1.І.1894) – видатний фізик і механік. Основні роботи присвячені електродинаміці. Написав монографію “Принципи механіки”. Він показав, що незалежними основними поняттями, через які можна виразити всі решта (включаючи силу та енергію), є поняття часу, простору і маси. В галузі механіки деформованого тіла був засновником досліджень про контактні напруження.

Бєляєв Микола Михайлович (5.ІІ.1890 – 25.ІV.1944) – видатний механік, чл.-кор.АН СРСР. Дослідження відносяться до теорії міцності. Вивчав теорію контактних напружень. Вперше сформулював та розв'язав задачу про стійкість призматичних стержнів під дією поздовжніх змінних сил. Досліджував явища повзучості та релаксації при високих температурах. Розв'язав ряд важливих задач,

237

пов'язаних з питаннями міцності залізничних рейок, деталей рухомого складу залізниць, бетону. Розробив основи методики динамічного

випробовування	мостів.		Автор
фундаментального	підручника	з	опору
матеріалів.

Найважливіші результати, отримані за допомогою математичної теорії пружності, та наведені нижче, зроблені на основі наступних гіпотез:

-навантаження створюють у зоні контакту тільки пружні деформації, що відповідають закону Гука;

-площадки контакту малі в порівнянні з поверхнею тіл, що взаємодіють;

-сили тиску, розподілені по поверхні контакту, нормальні до цієї поверхні.

18.2.Визначення контактних напружень

18.2.1. Стиск куль.

У випадку взаємного стиску силами F двох куль з радіусами R1 та R2 (рис. 18.2) утворюється кругла площадка контакту, радіус якої визначають за формулою

		1		+	1
a = 0,88 F		E1			E2	,		(18.1)
3		1			1
				+
			R1		R2

де Е1 та Е2 – модулі пружності матеріалів куль.

Нормальні (стискаючі) напруження по площадці контакту розподілені у вигляді напівсфери, причому найбільшого значення вони досягають в центрі площадки контакту:

σ3 = − |σ max |= −1,5	F	= −0,3883 4F	E2 E	2			(R + R )2
			1	2		1		2	.	(18.2)
	πa2		(E + E		)2		R2 R	2
			1	2		1		2

Два інші головні напруження в центрі площадки σ1 = σ 2 ≈ −0,8 |σ max |.

Таким чином, у найбільш напруженій точці площадки контакту матеріал знаходиться у стані, близькому до всебічного стиску. Внаслідок цього в зоні контакту матеріал може витримати досить великі тиски без проявів помітних залишкових деформацій. Наприклад, якщо, скориставшись ІV теорією міцності, обчислити максимальне напруження в центрі площадки контакту, при якому вперше з'являються залишкові деформації, то, враховуючи

12 [(σ1 −σ 2 )2 + (σ 2 −σ 3 )2 + (σ 3 −σ1 )2 ] = σ m та, підставивши значення головних напружень, отримаємо

0,2σ max = σ m

або

σ max = 5σ m .

Для закаленої хромистої сталі, що використовується при виготовленні кулькових підшипників, замість границі текучості приймемо границю пропорційності σ пц ≈ 1000МПа,

тоді σ max ≈ 5000МПа.

238

Z

F

σmax

R1

2a

a

a

2a

R2

F

Рис. 18.2. Стиск куль

Найбільш небезпечна точка знаходиться на осі Z на глибині, що приблизно дорівнює половині радіуса площадки контакту. Головні напруження в цій точці

	σ1	= σ 2	= −0,18σ max ;	(18.3)
	σ 3	= −0,8σ max ,

де σmax – найбільше напруження в центрі площадки контакту, яке визначають за формулою (18.2).

Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці становить

τ		=	σ1 −σ 3	= 0,31 σ		.	(18.4)
	max				max
		2

Змінюючи у формулі (18.2) знак при R2 на протилежний, отримаємо значення σmax у випадку тиску кулі на увігнуту сферичну поверхню (рис.18.3)

					E	2 E 2 (R − R							2	)	2
		σ max = 0,3883	4F			1		2				1				.			(18.5)
					(E		1	+ E		2		)2 R2 R			2
												1			2
	При взаємному стиску сфери та площини (рис.18.4), прийнявши R2 = ∞,
	знайдемо
								E 2 E				2
		σ max = 0,3883	4F					1				2					.		(18.6)
				(E				+ E	2		)2 R2
						1

18.2.2. Стиск циліндрів.

При взаємному стиску двох циліндрів з паралельними утворюючими рівномірно розподіленим навантаженням q (рис.18.5) площадка контакту має вигляд вузького прямокутника, ширину якого визначимо за формулою

239

	1 + 1
b = 2,15 q	E1	E2	.	(18.7)
	1 + 1
	R1	R2
F				F
				R
R1			R2
Рис.18.3. Тиск кулі на увігнуту				Рис.18.4. Контакт сфери та
сферичну поверхню				площини
F				q
R1
R2
b
Рис. 18.5. Стиск двох циліндрів з паралельними утворюючими

Найбільше напруження стиску, що діє в точках осі площадки контакту, виразиться як

σ		= 1,27	q	= 0,418 2q		E1 E2		R1 + R2	.		(18.8)
	max					E1 + E2
			b					R1 R2

Аналіз напруженого стану доводить, що небезпечна точка розташовується на осі Z на глибині, що дорівнює 0,4 ширини площадки контакту. Головні напруження в цій точці мають значення

σ1 = −0,180 σ max ;σ 2 = −0,288 σ max ;σ 3 = −0,780 σ max ;	(18.9)
Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці
τ max = 0,3σ max .	(18.10)

240