lekciya6_8-1

По-перше, 1 E оскiльки

(m N) (m + 1 N):

Далi, якщо n E (тобто m + n E m), то n + 1 E.

Дiйсно, m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1 N. Згiдно принципа математичної iндукцiї, E = N.

Ми довели, що сума натуральних чисел є натуральним числом. Той факт що добуток натуральних чисел є натуральним числом,

встановлюється аналогiчно. Вам треба довести цей факт самостiйно.

2o. (n N) (n ≠ 1) (n − 1 N).

3o. Для довiльного n N у множинi {x N : n < x} iснує найменший елемент, причому

min{x N : n < x} = n + 1:

З 2o i 3o безпосередньо випливають такi властивостi

4o. (m N) (n N) (n < m) (n + 1 ≤ m):

5o. (n + 1 N) безпосередньо слiдує в N за натуральним числом n, тобто немає натуральних чисел x, таких, що n < x < n + 1.

6o. Якщо n N i n ≠ 1, то число n − 1 N безпосередньо передує в N числу n, тобто немає натуральних чисел x, таких, що n − 1 < x < n.

7o. В довiльнiй непорожнiй пiдмножинi множини N iснує найменший елемент.

Цiлi числа.

Означення 1. Об’єднання множини N, множини чисел, протилежних до натуральних чисел, i множини {0} називається множиною цiлих чисел i позначається через Z.

Задача. Довести, що сума i добуток цiлих чисел – цiлi числа.

Таким чином, Z є абелева група вiдносно додавання. Вiдносно множення Z i, навiть, Z\{0}, не є групою оскiльки числа, оберненi до цiлих, (крiм обернених до 1 i -1), не належать Z.

11

mk nk

У тому випадку, коли для чисел m; n Z число k = mn−1 належить Z, тобто, коли m = kn, де k Z, говорять, що число m дiлиться на n (або є кратним n). У цьому випадку говорять також, що n є дiльником числа m.

Означення 2. Число p N (p ≠ 1) називається простим, якщо в N у нього немає дiльникiв, що вiдрiзняються вiд 1 i p.

Основна теорема арифметики стверджує, що кожне натуральне число n N допускає, причому єдине (з точнiстю до порядку множникiв) зображення у виглядi добутку

n = p1p2 : : : pk;

де p1; p2; : : : ; pk; – простi числа.

Означення 3. Числа m; n Z називаються взаємно простими, якщо вони не мають загальних множникiв, що вiдрiзняються вiд 1 i −1.

З основної теореми арифметики випливає, що коли добуток m · n взаємно простих чисел дiлиться на просте число p, то m дiлиться на p або n дiлиться на p.

Рацiональнi числа.

Означення 1. Числа виду mn−1; m; n Z; називаються рацiональними числами. Множина рацiональних чисел позначається через Q.

Таким чином, упорядкована пара (m; n) цiлих чисел означає рацiональне число q = mn−1, якщо n ≠ 0.

Число q = mn−1 записується також у виглядi mn .

Правила дiй з рацiональними числами, якi вiдносяться до такої форми їх запису у виглядi звичайних дробiв i вивчались у школi, випливають з означення рацiональних чисел i аксiом дiйсних чисел.

Так, наприклад, вiд множення чисельника i знаменника дробу на одне i теж число величина дробу не змiнюється, тобто дроби i mn зображують одне i те ж рацiональне число.

Задача. Довести цей факт.

Звiдси випливає, що (пiсля скорочень) довiльне рацiональне число можна задати упорядкованою парою взаємно простих чисел.

12

Iрацiональнi числа.

Означення 1. Дiйсне число, що не є рацiональним, називається iрацiональним.

√

Класичним прикладом iрацiонального числа є 2, тобто таке дiйсне число s , що s > 0 i s2 = 2.

Перш за все, перевiримо, що s R : (s > 0) (s2 = 2).

Нехай X i Y – множини всiх додатних дiйсних чисел, таких, що

x X (x2 < 2)

i

y Y (2 < y2):

Оскiльки 1 X i 2 Y , маємо, що X ≠ i Y ≠ : Оскiльки для додатних чисел (x < y) (x2 < y2),

x X y Y (x < y):

Тепер в силу аксiоми повноти

s R x X y Y (x ≤ s ≤ y):

Покажемо, що s2 = 2.

Дiйсно, якби було s2 < 2, то ми б мали

s +

2 − s2

> s

3s

i (нижче ∆ = 2 − s2, причому ∆ < 2 − 1 = 1)

3s)

(

3s

)

2

3

(

2 <

s +

2

− s2

= s2 + 2

∆

+

∆

(оскiльки s > 1)

2∆

∆

2∆

∆

∆

< s2 +

+

< s2 +

+

= s2 + 3

< s2 + ∆ = s2 + 2 − s2 = 2:

3

3s

3

3

3

(∆ )

Ми отримали, що s + 3s X, що несумiсно з тим, що x X (x ≤ s).

13

Якби було 2 < s2, то ми б отримали s − s23−2 < s i s − s23−2 > 2 i знову отримали б суперечнiсть.

Таким чином, s2 = 2.

Покажемо тепер, що s = Q.

Припустимо, що s = mn , де mn – нескорочуваний дрiб. Тодi m2 = 2n2. Значить, m2 дiлиться на 2. Але тодi i m дiлиться на 2, i значить, m2 дiлиться на 4. З спiввiдношення m2 = 2n2 отримуємо, що n2 дiлиться на 2, n дiлиться на 2, i ми отримали суперечнiсть з тим, що дрiб mn нескорочуваний.

14