- •Скворцова м.И., Мудракова о.А., Кротов г.С.
- •Оглавление
- •Занятие 1. Понятие функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.
- •Обзор основных элементарных функций.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Занятие 2. Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей координат.
- •Геометрические преобразования графиков функций.
- •I. Случай 1), 2).
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 5. Точки непрерывности и точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Исследование функции на непрерывность.
- •Классификация точек разрыва
- •Геометрическая иллюстрация этих определений:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Занятие 6. Контрольная работа №1 по теме "Вычисление пределов функций. Исследование функции на непрерывность". (Вариант – образец.)
- •Скворцова Мария Ивановна
Обзор основных элементарных функций.
1. Линейная функция
,
где – константы.– угловой коэффициент наклона прямой,, где– угол между прямой и положительным направлением оси(см. рис.1).
П
2)
2. Квадратичная функция
,
где – константы. График - парабола. Если, то ветви параболы направлены вверх, если– то вниз.
Корни функции:
Координаты вершины параболы:
;
Заметим, что если , то(два совпадающих корня!).
Пример.
. Находим корни функции из уравнения:. Координаты вершины этой параболы:
;. (см. рис.2).
3. Дробно-линейная функция
.
График – гипербола. Частный случай: – "обратная пропорциональность" (см. рис. 3).
4. Показательная функция
(см. рис.4).
5. Логарифмическая функция
(см. рис.5).
6. Степенная функция
(– любое действительное число)
1)(– натуральное число) (см. рис.6):
2)(– натуральное число) (см. рис.7):
3)– несократимая дробь (см. рис.8):
При построении таких графиков надо учитывать четность и, а также соотношение междуи:или. Например, есличётно, то(см. рис.(1)); еслинечётно, то(см. рис. (2) – (4)). Есличётно, то– чётная функция; еслинечётно, то– нечётная функция. Если, то приграфик функции ведет себя, как график функции, а если, то – как график функции.
7. Функция
(см. рис.9)
Нечетная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:
;;;;
;.
8. Функция
(см. рис.10)
Четная периодическая функция с периодом . Полезно помнить, что:
;;;;
;.
9. Функция
(см. рис.11):
Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функциив точках;;;и т.д. вычисляются по значениям функцийи.
10. Функция
(см. рис.12):
Рис.12
Нечетная периодическая функция с периодом . Значения функциив точках;;;и т.д. вычисляются по значениям функцийи.
11. Функция
(арксинус числа– это такое число, что) (см. рис.13):
12. Функция
(арккосинус числа– это такое число, что) (см. рис.14):
Рис.14
13. Функция
(арктангенс числа– это такое число, что) (см. рис.15):
14. Функция
(арккотангенс числа– это такое число, что) (см. рис.16):
Примеры:
Найти для следующих функций:
а).
▲ Т.к. знаменатель дроби, задающей функцию, не должен равняться нулю, то
.
б).
▲ Т.к. функция задается при помощи корня чётной степени из выражения , то, и
.
Выяснить чётность следующих функций:
а).
▲ Функция – чётная, т.к.симметрична относительно точкиидля.
б).
▲ Функция – нечётная, т.к.симметрична относительно точкиидля.
в).
▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.:и. В качествеможно взять, например. (Заметим, чтосимметрична относительно точки).
г).
▲ Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.не симметрична относительно точки.
Найти значение функции в заданной точке :
а),,;.
▲ ,.
б),.
▲ .
Задачи для самостоятельного решения.
I.Найти:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;
13);
|
7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11); 12); 14). |
II.Выяснить четность следующих функций:
|
|
Ответы:
I.1);2);
3);4);
5);6);
7);8);
9);10);
11);
12);
13);14).
II. 1),2),5)– функция ни четная, ни нечетная;
3),6),7),10),11)– функция нечетная;
4),8),9)– функция четная.