оптика

11

Расстояние от этого источника до одного зеркала 3 см, до другого 4 см. Расстояние между первыми изображениями 10 см. Найдите угол между зеркалами.

Решение.

Расстояние от источника до первого изображения 2а = 6 см, расстояние от источника до второго изображения 2b = 8 см. Т.к. задано расстояние с = 10 см между изображениями, то в треугольнике, вершинами которого являются источник и два изображения, известны все три стороны. По

теореме косинусов угол А равен: cosA = (4b2 + 4a2 –c2)/8ab = 0, т.о. угол А = 900 и угол между зеркалами равен:

1800 – 900 =900.

ЗАДАЧА 2.

На плоскопараллельную стеклянную пластину (n = 1,5) толщиной d = 5 см падает под углом α пучок света. Определите боковое смещение луча, прошедшего сквозь эту пластинку.

Решение.

Из рисунка искомая вели-

чина х = ЕD = CD sin(90-α)

СD = BD – BC, BD =d tgα BC = d tg r.

Из закона преломления находим: sinr = sinα/n.

12

Следовательно, х = (d tgα - d tgr) cos α = d sinα(1 – cosα/ n2 – sin2α ).

х = 9,69 мм.

ЗАДАЧА 3.

Человек с лодки рассматривает предмет, лежащий на дне водоёма (n =1,33). Определите его глубину, если при определении на «глаз» по вертикальному направлению глубина водоёма кажется равной 1,5 м.

	Решение.
h = 1,5 м	Для определения кажущегося местопол о-
жения
n = 1,33	точки построим два луча, исходящих из
точки

H = ? и попадающих в глаз наблюдателя. Пусть один из лучей перпендикулярен поверхности воды, второй

падает на поверхность воды под малым углом α, преломляется под углом r и попадает в глаз наблюдателя.

13

Которому кажется, что точка находится на пересечении продолжений лучей на расстоянии h от поверхности воды.

Из рисунка видно, tgα/tgr, где α и tgr, следовательно, tgα/tgr = n, тогда

H = h n. H = 2 м.

что h tgα = H tgr, откуда	H = h
r – малые углы, для которых Sinr		=
закон преломления даёт: sinα/sinr		=

ЗАДАЧА 4.

На дне сосуда с жидкостью с показателем преломления 5/3 помещён точечный источник света. Какого минимального радиуса должен быть непрозрачный диск, плавающий на поверхности жидкости, чтобы, глядя сверху, нельзя было увидеть этот источник? Высота слоя жидкости

12 см.

	Решение.
Лу-	чи от и	с-
точника,	падающие
на границу воды с воздухом	вне диска, не должны вых	о-

дить из воды, значит, они должны

падать под углом, большим предельного угла полного внутреннего отражения. При минимальном радиусе диска выполняется соотношение R = h tgrпр.

14

Угол полного внутреннего отражения определяется соотношением sinrпр =1/n = 3/5. Отсюда находим cosrпр =

4/5, tgrпр = 3/4, и радиус диска R= h tgrпр = 12 ¾ = 9 см.

Сферические зеркала

Сферические зеркала представляет собой хорошо отполированную поверхность тела, имеющую форму сферического сегмента, с нанесенным на одну из его сторон, (выпуклую или вогнутую), специального отражающего покрытия, чаще всего, металлизированного.

Такое покрытие зеркально отражает свет. Центр С сферической поверхности, из которой вырезан сегмент, называется оптическим центром зеркала; вершина О сферического сегмента – полюсом зеркала. Любая прямая, проходящая через оптический центр зеркала С, называется оптической осью зеркала. Оптическая ось СО, проходящая через оптический центр зеркала и его полюс, называется главной оптической осью.

Главной оптической осью сферической поверхности называется прямая, проходящая через точечный источник света S и центр кривизны С сферической поверхности. Приведенные выше условия справедливы лишь для узкого конуса световых лучей, имеющих ось, перпендикулярную к сферической границе раздела. Только такие пучки световых лучей, называемые параксиальными (приосевыми) пучками, после преломления или отражения остаются гомоцентрическими и дают изображение светящейся точки S в виде точки S ’. Расстояния отсчитываются от точки О пересечения сферической поверхности с оптической осью и считаются положительными в направлении распространения света и отрицательными в противоположном направлении.

Лучи параксиального пучка , параллельные главной оптической оси, после отражения от зеркала пересекаются в

15

одной точке F, называемой фокусом (главным фокусом) зеркала. Расстояние OF = f от полюса О до фокуса зеркала F называется фокусным расстоянием: f = R/2, где R – радиус кривизны зеркала. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью.

4о. Формула сферического зеркала для параксиальных световых пучков лучей:

,

где R – радиус кривизны линзы, a - расстояние от зеркала до светящейся точки, расположенной на главной оптической оси, a’ – расстояние от зеркала до изображения. Правило знаков для R, a и a’ указано выше.

Изображение в сферическом зеркале действительное, когда источник и его изображение находятся по одну сторону от зеркала. Если источник и его изображение находятся по разные стороны о зеркала, то изображение в зеркале – мнимое.

Зеркало является выпуклым, если с учетом правила знаков, R > 0. В таком зеркале изображение мнимое – всегда.

Рис.1 На рисунке 1 (Рис.1) показаны вогнутое (а) и выпуклое (б) сферические зеркала.

Линейное увеличение k предмета, определяемое отношением размера изображения к размеру предмета (в направлении, перпендикулярном главной оптической оси зеркала) определено формулой

16

.

где a – расстояние от предмета до зеркала, a’ – расстояние от зеркала до изображения предмета.

В задачах настоящего раздела рассматриваются только лучи, составляющие с главной оптической осью зеркала малые углы (предполагается, что зеркало представляет собой малый сегмент сферы).

Примеры решения задач.

Задача 1. На рисунке 2 показан ход луча, отразившегося

от сферического зеркала. Построением определите положение фокуса зеркала. Рассмотрите отражение луча от вогнутого и выпуклого сферических зеркал. На рисунке показана главная оптическая ось зеркала.

Рис. 2

Решение:

Определение положения фокуса зеркала в задаче показано на рис.3.

17

Рис.3 Построением (из элементарного курса планиметрии средней школы) строится биссектриса угла, образованного падающим и отраженным лучами от поверхности зеркала. Пересечение биссектрисы с главной оптической осью определяет центр сферического зеркала. Фокус зеркала определяется половиной расстояния OC: f = CF .

Задача 2 На рисунке 4 а, б показаны положения оптической оси

сферического зеркала ММ’, светящейся точки S и ее изображения S’. Найдите построением положения вершины зеркала и его центра для обоих случаев.

а)	б)
	Рис.4

Решение:

Пусть задача решена. Тогда источник и его изображение будут располагаться, как показано на рис.5

18

а) б) Рис.5

Для вогнутого зеркала положения источника и его изображения показаны на рис.5а, а выпуклого – рис.5б (изображение источника – мнимое).

Рассмотрим вначале рис.5а. Найдем сперва точку С - полюс зеркала. Если обозначить SA =h, S’A’ = h’, CA = a, C

A’= a’, то, в силу подобия			ASC и	A’S’C можно записать
.	Тогда	справедливо	соотношение
или	. В данном случае Δh = SA-S’A’, a = CA-CA’
= AA’. Тогда		. Тогда надо		построить разность от-

резков Δh = SA-S’A’, и соединить полученную точку с точкой A’ (рис.6а). После этого из точки S необходимо провести прямую, параллельную S”A до пересечения с главной оптической осью в точке С. Это и будет полюсом вогнутого зеркала.

а) б) Рис.6

19

Для построения полюса выпуклого зеркала (рис.6б) необходимо вначале к отрезку SA добавить отрезок S’A’: S’A’ + SA = S”A. После этого точку S” надо соединить с точкой S’. Далее из точки S нужно провести прямую, параллельную S”S’. Данное построение следует из формул:

AC + A’C = AA’; ; ; ;

.

Для определения положения фокуса и центра зеркала можно воспользоваться обстоятельством, что для параксиальных лучей f и кривизной сферы для них можно пренебречь. Тогда, исходя из рис.5 а,б, положение фокуса и центра зеркала определяется по рис.7 а,б.

а)

б)

Рис.7

Луч CS’, рис.7а (или его продолжение, рис.7б) пересекает главную оптическую ось АО в точке F. Это и есть положение фокуса. Положение центра зеркала определяется из условия R = 2f и определяется построением отрезка СO = 2CF.

Задача 3 Луч света падает на вогнутое сферическое зеркало ра-

диусом R параллельно оптической оси СО на расстоянии “а” от нее (рис.8) и после отражения пересекает оптическую ось СО в точке B. Найдите отношение меж-

20

ду a и R, при котором относительная ошибка, которую мы делаем, принимая OB = 0,5R, равна 1%.

Решение:

		Рис. 8
На рис.8	рассмотрим	АСВ. Точка С	- центр сфериче-
ского зеркала. Треугольник – равнобедренный, т.к. ∟ACB
= ∟BAC. Сторона ВС = R/2cosα. Из			АСК видно, что
sinα=a/R. Тогда cosα =		. Величина отрезка ВС рав-
няется	BС =

По условию задачи относительная ошибка, которую мы делаем, принимая OB = 0,5R, равна 1%, или

Т.е. ВО = R •0,495. Из рисунка следует ВС = СО – ВО = R

– 0,495•R = 0,505•R. Подставляя это значение в формулу для ВС, получим

0,505•R = или

После элементарных расчетов получается a/R =0,14.