оптика

31

определения зависимости между расстоянием от предмета до линзы и от линзы до плоскости изображения необходимо знать основную формулу линзы.

Формула тонкой линзы

Расстояния от точки предмета до центра линзы и от точки изображения до центра линзы называются сопряжёнными фокусными расстояниями (рис.16).

Рис.16. Характеристики тонкой собирающей линзы.

Эти величины находятся в зависимости между собой и определяются формулой, называемой формулой тонкой линзы (открытой Исааком Барроу):

,

где — расстояние от линзы до предмета; — расстояние

от линзы до изображения; - главное фокусное расстояние линзы. В случае толстой линзы формула остаётся без изменения с той лишь разницей, что расстояния отсчитываются не от центра линзы, а от главных плоскостей.

Для нахождения той или иной неизвестной величины при двух известных пользуются следующими уравнениями:

32

Следует отметить, что знаки величин u, v, f выбираются исходя из следующих соображений — для действительного изображения от действительного предмета в собирающей линзе — все эти величины положительны. Если изображение мнимое — расстояние до него принимается

отрицательным, если	линза рассеивающая — фокусное
расстояние	отрицательно.

Масштабом изображения (h) называется отношение линейных размеров изображения к соответствующим линейным размерам предмета. Это отношение может быть косвенно выражено соотношением: v/u = h, где v — расстояние от линзы до изображения; u — расстояние от линзы до предмета.

Здесь h - коэффициент уменьшения, т. е. число, показывающее во сколько раз линейные размеры изображения меньше действительных линейных размеров предмета. В практике вычислений гораздо удобнее это соотношение выражать в значениях u или f, где f — фокусное расстоя-

ние линзы:	h= f/(u-f);	h=(v-f)/f.
Расчёт фокусного расстояния и		оптической
	силы линзы.

Значение фокусного расстояния для линзы может быть рассчитано по следующей формуле:

,

где — коэффициент преломления материала линзы, — расстояние между сферическими поверхностями линзы вдоль оптической оси, также известное как толщина линзы, а знаки при радиусах считаются положительными, если

33

центр сферической поверхности лежит справа от линзы и отрицательными, если слева.

Рис.17. Характеристики тонкой рассеивающей линзы.

Если намного меньше, чем R1 и R2, то такая линза называется тонкой, и её фокусное расстояние можно найти как:

(Эту формулу также называют формулой тонкой линзы.) Величина фокусного расстояния положительна для собирающих линз, и отрицательна для рассеивающих. Величина 1/f называется оптической силой линзы. Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях, единицами измерения которых являются м−1.

Указанные формулы могут быть получены аккуратным рассмотрением процесса построения изображения в линзе с использованием закона Снелла, если перейти от общих тригонометрических формул к параксиальному приближению.

Линзы симметричны, то есть они имеют одинаковое фокусное расстояние независимо от направления света — слева или справа, что, однако, не относится к другим ха-

34

рактеристикам, например, аберрациям, величина которых зависит от того, какой стороной линза повёрнута к свету.

Комбинация нескольких линз (центрированная система).

Линзы могут комбинироваться друг с другом для построения сложных оптических систем. Оптическая сила системы из двух линз может быть найдена как простая сумма оптических сил каждой линзы (при условии, что обе линзы можно считать тонкими и они расположены вплотную друг к другу на одной оси):

.

Если линзы расположены на некотором расстоянии друг от друга и их оси совпадают (система из произвольного числа линз, обладающих таким свойством, называется центрированной системой), то их общую оптическую силу с достаточной степенью точности можно найти из следующего выражения:

,

где — расстояние между главными плоскостями линз.

Центрированные оптические системы (ЦОС).

Оптическая система, образованная сферическими отражающими и преломляющими поверхностями, называется центрированной, если центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой. Эта прямая называется главной оптической осью системы.

Если пучок лучей, исходящих из какой-либо точки S, после прохождения некоторой оптической системы сходится в точке Si , то Si является стигматическим изображе-

нием точки S. S и Si называются сопряженными точками.

35

Под идеальной оптической системой понимают такую систему, которая дает стигматическое изображение, геометрически подобное отображенному предмету. Теория таких систем становится особенно простой, когда все распространяющиеся в них лучи параксиальны, т.е. проходят на небольшом расстоянии от оптической оси системы и образуют с ней малые углы. ЦОС х арактеризуется рядом так называемых кардинальных точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства ЦОС и позволяет пользоваться ими, не рассматривая реального хода лу-

чей	в	системе.
Кардинальные	элементы оптической	системы

1. Передний и задний фокусы системы F1 и F2 (рис. 18).

Если на систему падает пучок лучей, параллельных оптической оси системы (лучи 1), то они соберутся в заднем фокусе системы F2, если параллельный пучок идет в обратном направлении (лучи 2), то лучи соберутся в п е- реднем фокусе системы F1. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно оптической оси системы, назы-

ваются фокальными плоскостями.

Рис. 18. Определение хода лучей в оптической системе

36

2. Главные точки системы H1 и H2 и главные плоскости (т.

е. плоскости, проходящие через главные точки перпендикулярно оптической оси).

Главные плоскости изображают друг друга с линейным увеличением, равным +1. Найти главные плоскости можно следующим образом. Рассмотрим луч 1, падающий на оптическую систему MMNN параллельно оптической оси О1О2. После преломления его направление распространения будет 1'. Точка пересечения лучей 1 и 1' лежит во второй главной плоскости. Рассмотрев луч 2, идущий в обратном направлении, можно получить положение первой главной плоскости. Расстояния F1H1 = f1, и F2H2 = f2 от главных точек до фокусов называются фокусными расстояниями системы. Если данная оптическая система находится в среде с постоянным показателем преломления, то

|f2| == |f1|.

3. Узловые точки системы. N1 и N2.

Если какой-либо луч (или его продолжение) (рис. 18) проходит через первый узел N1 (луч 3), то после преломления в оптической системе этот луч (или его продолжение)

будет выходить из второго узла N2 в направлении, параллельном направлению падающего луча (луч 3'). Положение узлов относительно фокусов определяется соотношениями F1N1 = f2; F2N2 = f1. Если система расположена в среде с постоянным показателем преломления, то узловые точки совпадают с главными. В тонких линзах положение обеих главных точек и обеих узловых точек совпадает с центром линзы.

Построение изображения в толстой линзе.

Тонкая линза - линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния. Если линзу нельзя считать тонкой, то каждую из двух сферических поверхностей линзы можно рассматривать как отдельную тонкую линзу. Тогда

37

изображение в толстой линзе можно найти как изображение изображения. Первая сферическая поверхность толстой линзы дает изображение источника как изображение в тонкой линзе. Вторая сферическая поверхность дает изображение этого изображения.

Рис.19. Ход лучей в то

лстой

линзе.

Другой подход при построении изображений состоит в том, что вводится понятие главных плоскостей центрированной оптической системы, частным случаем которой может быть толстая линза. Центрированная оптическая система, которая может состоять и из большого числа линз, полностью характеризуется двумя фокальными и двумя главными плоскостями. Полностью характеризуется в том смысле, что знание положения этих четырех плоскостей достаточно для построения изображений. Все четыре плоскости перпендикулярны оптической оси, следовательно, свойства оптической системы полностью определяются четырьмя точками пересечения четырех плоскостей с оптической осью. Эти точки называются кардинальными точками системы. Для тонкой линзы обе главные плоскости совпадают с положением самой линзы. Для более сложных оптических систем существуют формулы расчета положения кардинальных точек через радиусы кривизны поверхностей линз и показатели их преломления. Для построения изображения точечного источника достаточно рассмотреть прохождение через оптическую систему двух

38

удобных нам лучей и найти точку их пересечения после линзы, либо точку пересечения продолжений лучей назад (для мнимого изображения). Построение хода лучей проводится так, как будто между главными плоскостями системы находится тонкая линза, а пространство между главными плоскостями отсутствует. Пример построения приве-

ден на рис. 18. и - главные плоскости системы. Задача прохождения света через центрированную оптическую систему может быть решена не только геометрическим построением хода лучей, но и аналитически. Для аналитического решения задач удобен матричный метод . Пусть линза с радиусами кривизны R1 и R2 (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

	,		,
Матрица	всей	оптической		системы:
Отсюда	оптическая	сила	толстой	линзы:

Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь: Φ = − C = Φ1 + Φ2

С учетом того, что				, получаем извест-
ную	формулу	для	оптической	силы	линзы:

.

39

Примеры решения задач.

ЗАДАЧА 1.

Точечный источник света находится на расстоянии 9 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 6 см. позади этой линзы на расстоянии 6 см от неё находится другая точно такая же линза. На каком расстоянии от второй линзы находится изображение источника, сформированное системой линз?

Решение.

Первая линза формирует действительное изображение, положение которого найдём из формулы линзы: 1/a1 + 1/b1 = 1/F. Получаем b1 =18 см. Поскольку b1> l = 6cм – расстояние между линзами, то вторую линзу падает сход я- щийся пучок лучей. Это соответствует мнимому источнику, для которого по формуле линзы найдём: a2 = b1 – l = 12 cм, -1/a2 + 1/b2 = 1/F, получаем b2 = 4 см.

40

ЗАДАЧА 2.

Тонкая стеклянная линза имеет оптическую силу D = 5 дпрт.. Когда эту линзу погружают в жидкость с показателем преломления n2, она действует как рассеивающая с фокусным расстоянием F = 100 . Определить показатель преломления жидкости n2, Если показатель преломления стекла линзы n1 = 1,5.

Решение.

Для оптической силы линзы в воздухе имеем: D = 1/F =(n1 – 1)(1/R1 + 1/R2).

Для линзы в жидкости: -1/F2 = (n1/n2 – 1)(1/R1 + 1/R2) = (n1/n2 – 1) D/(n1 – 1) ( получено с учётом первого уравне-

ния). Для n2 получаем: n2 = n1D F2/(1 + DF2 – n2) = 1,67.

ЗАДАЧА 3.

Студент привык читать книгу, держа её на расстоянии не ближе а = 20 см от глаз. Какова должна быть оптическая сила D очков, которые должен носить студент, чтобы он читал книгу, держа её на расстоянии наилучшего зрения d

=25 cм.

Решение.

1.Если студент читает без очков, то по формуле линзы

имеем: 1/a + 1/b = Dгл – оптическая сила глаза, b – диметр глазного яблока. Надев очки, студент будет читать

книгу на расстоянии наилучшего зрения: 1/d + 1/b = Dгл + Dоч – оптическая сила двух близко расположенных линз ( очков и глаза) равна их сумме. Вычитая из вт о-

рого уравнения первое, находим : Dоч = 1/d – 1/a = - 1 дптр.

Найти фокусное расстояние F линзы, погруженной в