оптика

51

Призмы

В задачах с призмами поворот светового луча призмой можно рассматривать как два последовательных преломления света на плоских гранях призмы при входе света в призму и при его выходе. Особый интерес представляет

частный случай призмы с малым углом при вершине ( на рис. 22). Такую призму называют тонкой призмой. Обычно рассматриваются задачи, в которых свет падает на тон-.

кую призму почти перпендикулярно ее поверхности. При этом за два преломления лучи света поворачивают на ма-

лый угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы в сторону утолщения призмы (рис. 23). Угол поворота не зависит от угла падения света в приближении малых углов падения. Это означает, что призма поворачивает "кажущееся" положение источника света на угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы.

Рис.22.Ход луча в призме.

Из двух таких тонких призм состоит, в частности, бипризма Френеля (рис. 23), проходя через которую свет от точечного источника распространяется далее так, как если бы свет излучался двумя точечными когерентными источниками.

52

Рис.23. Бипризма Френеля.

Рассмотрим стеклянную призму, треугольную в основании, на которую падает монохроматический световой

луч под углом i1 (см. рис.).

Абсолютный показатель преломления материала призмы n, окружающая среда - воздух. Световой луч преломляется в призме и выходит из нее под углом i2. Угол θ образован преломляющими гранями призмы и носит название преломля-ющего угла призмы.

Чтобы выразить связь между углами, рассмотрим четырехугольник KBNF и треугольники KNF и KEN.

Сумма углов в четырехугольнике равна 2π. Следовательно, для КBNF запишем

θ + π	+ π	+ KFN = 2π . Тогда	KFN =π −θ .
2	2		r1 + r2 +π −θ =π .
Для треугольника KNF сумма углов
Следовательно,

53
θ = r1 + r2 .	(1)

Для треугольника KЕN сумма углов

i1 −r1 +i2 −r2 +π −ϕ =π , где φ - угол отклонения луча. Тогда

ϕ = i1 +i2 −(r1 + r2 )= i1 +i2 −θ .

(2)

Согласно закону преломления углы падения и преломления связаны между собой

sin i1 = nsin r1 ,

sin i2 = nsin r2 .

Угол падения луча на призму i1 может меняться от

0° до 90°, при его изменении меняются значения углов r1, r2, i2, а также меняется направление выходящего из призмы светового луча.

Если преломленный луч идет в призме симметрично относительно граней, угол отклонения φ принимает мини-

мальное значение. То есть, при i1 = i2 , r1 = r2 имеем согласно формулам (1) и (2)

ϕmin +θ = 2i1 ,

θ = 2r1 .

Отсюда получаем выражение для показателя преломления материала призмы

n = sin i1 =	sin	ϕmin		+θ
						.	(3)
			2
			θ
sin r1		sin
			2

Примеры решения задач.

Задача 1.

Монохроматический световой луч падает нормально на боковую поверхность стеклянной призмы и выходит из нее отклоненным на угол 25° от первоначального направления. Найти абсолютный показатель преломления стекла, из которого изготовлена призма, если ее преломляющий угол

35°.

54

Дано: θ = 35°, φ = 25°. Найти n. Решение.

При нормальном падении световой луч не преломляется на первой грани призмы, а на вторую - падает под углом i и преломляется под углом r. Согласно закону преломления

sinsinri = 1n .

Как видно из рисунка, угол i = 90°− β = 90°−(90°−θ)=θ ,

r = i +ϕ =θ +ϕ .

Тогда n = sinsinri = sinsin(θ θ+ϕ)= sinsin 3560°° = 00,5736,866 =1,51

Ответ: показатель преломления материала призмы n =1,51.

Задача 2.

Монохроматический световой луч падает нормально на боковую грань стеклянной призмы (n = 1,5), находящейся в сероуглероде (nс = 1,67), и выходит из нее отклоненным на угол 10° от первоначального направления. Определить преломляющий угол призмы.

Дано: n = 1,5, nс = 1,67, φ = 10°. Найти θ .

Решение.

При нормальном падении световой луч не преломляется на первой грани призмы, а на вторую - падает под углом i и преломляется под углом r, меньшим, чем угол i. Согласно закону преломления

55

sinsinri = nnc .

Как видно из рисунка, угол i = 90°− β = 90°−(90°−θ)=θ ,

						r = i −ϕ =θ −ϕ .
Тогда		sinθ			nc
				=	n .
	sin(θ −ϕ)
Преобразуем формулу.
sinθ =		nc	sin(θ −ϕ)=			nc	(sinθ cosϕ −cosθ sinϕ)
		n				n

Разделив левую и правую часть равенства на cosθ , получим

tgθ =

nc

(tgθ cosϕ

−sinϕ)

n

n

n

c

c

sinϕ

tgθ

cosϕ −1 =

nc sinϕ

n

n

tgθ =

nc cosϕ −n

tgθ =

1,67sin10°

=

1,67 0,1736

=

0,2899

= 2,0048

1,67 cos10°−1,5

1,67 0,9848 −1,5

0,1446

Следовательно, θ = 63°29′.

Ответ: преломляющий угол призмы θ = 63°29′.

Задача 3.

На боковую грань стеклянной призмы с преломляющим углом 50° падает световой луч под углом 45°. Найти угол преломления луча на выходе из призмы и угол его отклонения от первоначального направления, если показатель

преломления стекла, из которого изготовлена призма, n =

1,6.

56

Дано: θ = 50°, i1 = 45°, n = 1,6. Найти i2 и φ.

Решение.

Монохроматический световой луч, падающий на стеклянную

призму под углом i1 , преломляет-

ся в призме и выходит из нее под углом i2, претерпевая отклонение от первоначального направления на угол φ (см. рис.).

Согласно закону преломления, записанного для первой грани,

sin i1 = n . sin r1

Следовательно, sin r1 = sinni1 = sin1,456 ° = 0,17071,6 = 0,4419 .

Тогда r1 = 26°14′.

Из формулы (1) рассчитаем угол r2 .

θ = r1 + r2

r2 =θ −r1 = 50°−26°14′ = 23°46′.

Величину угла i2	найдем из закона преломления, записанного
для второй грани призмы.
	sin r2	=	1
Следовательно,	sin i2		n

sin i2 = n sin r2 =1,6 sin 23°46′ =1,6 0,403 = 0,6448.

Тогда i2 = 40°09′.

Угол отклонения луча от первоначального направления найдем из формулы (2), согласно которой

ϕ = i1 +i2 −θ = 45°+ 40°09′−50° = 35°09′.

57

Ответ: угол преломления луча на выходе из призмы i2 = 40°09′, угол отклонения луча ϕ = 35°09′.

Задача 4.

Монохроматический световой луч выходит из стеклянной призмы с показателем преломления 1,55 под углом, совпадающим по значению с углом падения луча на призму. Определить угол отклонения луча призмой, если ее преломляющий угол 50°.

Дано: θ = 50°, n = 1,55, i1 = i2 . Найти φ.

Решение.

По условию задачи i1 = i2 . Так как среды однородны, r1 = r2 , то есть наблюдается симметричный ход луча в

призме относительно биссектрисы угла θ и угол отклонения φ принимает минимальное значение.

Согласно формуле (1)				θ = r1 + r2		= 2r1 .
Следовательно, r	= r		= θ .
1		2	2
Согласно формуле (2)				ϕ = i1 +i2		−θ = 2i1 −θ .
Следовательно, i	= i		=	ϕ +θ	.
		2
1			2

Запишем закон преломления для первой грани sin i1 = n

sin r1

Подставляя в эту формулу значения углов, получим

	sin	ϕ +θ
			2	= n
	sin		θ
			2

58

sin ϕ +2 θ = n sin θ2 =1,55 sin 25° =1,55 0,4226 = 0,655

Следовательно, ϕ2 + θ2 = ϕ2 + 25° = 40°56′.

Тогда ϕ2 =15°56′. Следовательно, φ = 31°52′.

Ответ: угол отклонения луча призмой φ = 31°52′.

Задача 5.

Световой луч падает нормально на боковую грань призмы, находящейся в воде (nв = 1,33). Найти угол отклонения этого луча на выходе из призмы, если ее преломляющий угол 50°, а угол наименьшего отклонения луча в данной призме, находящейся в воздухе, 31°12′.

Дано: nв = 1,33, ϕmin1 =ϕ1 = 31°12′, θ = 50°. Найти ϕ .

Решение.

При нормальном падении световой луч не преломляется на первой грани призмы, а на вторую - падает под углом i и прелом-ляется под углом r. Согласно закону преломления

sinsinri = nnв .

Как видно из рисунка, угол i =θ , а угол r = i +ϕ =θ +ϕ .

Тогда	sinθ		n	, где	n и	nв - показатели преломле-
		=	nв
	sin(θ +ϕ)

ния материала призмы и воды соответственно.

59

Так как известен угол минимального отклонения луча для данной призмы в воздухе, найдем показатель преломления материала призмы. Согласно формуле (3) запишем

sin

ϕmin1 +θ

sin

ϕ1 +θ

n =

2

=

2

sin θ

sin θ

2

2

sin

31°12

′

+50

′

sin 40°36′

0,6508

n =

2

=

sin 25°

=

0,4226 =1,54

sin 25°

Тогда преобразуя формулу

n

= sin(ϕ +θ)

,

nв

получим

sinθ

sin(ϕ +θ)=

n

sinθ =

1,54 sin 50° = 1,54 0,766

= 0,8869 .

nв

1,33

1,33

Тогда

ϕ +θ =ϕ +50° = 62°29′.

Следовательно, угол отклонения луча от первоначального направления ϕ =12°29′.

Ответ: угол отклонения луча ϕ =12°29′.

Задача 6.

На боковую грань равнобедренной стеклянной призмы с преломляющим углом 55° падает световой луч под углом 15°. Найти угол, под которым луч выйдет из призмы, если показатель преломления стекла, из которого изготовлена призма, n = 1,55.

Дано: θ = 55°, i1 = 15°, n = 1,55. Найти γ.

Решение.

60

Световой луч, падающий на стеклянную призму под углом i1 ,

преломляется на первой грани призмы и падает на вторую грань под углом r2 (см. рис.). Определим величину этого угла.

Согласно закону преломления, записанного для первой грани,

sin i1 = n . sin r1

Следовательно, sin r1 = sinni1 = sin1,5515° = 0,12588,55 = 0,167 .

Тогда r1 = 9°37′.

Из формулы (1) рассчитаем угол r2 :

θ = r1 + r2

r2 =θ −r1 = 55°−9°37′ = 45°23′.

Значение этого угла превышает величину предельного угла падения на границу стекловоздух. Чтобы убедиться в этом, рассчитаем величину предельного угла r2пр.

Согласно закону преломления, записанного для случая падения светового луча на границу раздела стекло-воздух

sin r2пр

= sin r

пр

=

1

=

1

= 0,6451

. Тогда

r2пр = 40°10′.

sin 90°

2

n

1,55

Следовательно,

так как

r2 > r2пр, на второй грани призмы

наблюдается явление полного отражения света, преломленного луча не будет, а отраженный луч будет преломляться уже на третьей грани призмы.

Угол падения луча i3 на третью грань призмы найдем из

треугольника АВС.

Так как призма равнобедренная, угол