Банк задач

4.Данафункция ((х,у)=- ;ху 2 .

х+у

Найти f(З,4); ((1,~).

5. НаЙПI частные производные 1-го и 2-го порядков от

заданных функций:

2

4) z = cosy ~

х

х

5) z=y ;

3)и = ху2z3t4 +Зх-4у-2z-t+ 1.

	дх	дх	дх
	cr	-cq>	де
	ду	ау	ду	')
6, Показать. что:	ar	aq>	де	=-r- sin е,
	а2	oz	дг
	,ar	аф	де

если х = r cos q> sin е, .У =r sin q> sin О, z = ,. cos е (яко­

биан в сферических координатах), 7. Найти полный дифференциал функции:

1)г~Jn(Y+ ~x2+ /) 2)г~1nCOS~

3)г = e2xYtg(x - у).

8. Найти производную сложной функции:

')	.	dz	=?
1) z :::: ln(x- -- у),	где у = е,1 ,	-

dx

11

www.mitht.ru/e-library

2)

z = е

2х-3у

, где х = tg t,

У = t

2

- t,

аг

= ?

. -

dt

3)

и = уг,

где

х = i, у = ln t,

z=t

2

-1

dи

- =?

х

'dt .

4)г = ln(x2 + у2),где

х = ИV,

u

дг =?

дг =?

у = v'

дU

.,

av .

9. Найти экстремумы функции двух переменных:

1) z = х-? +ху+ у2 -Зх-6у

2)z=x2 +y2- 2 Jnx-181ny,

х>О,

у>О

РАЗДЕЛ VI

Комплексные числа

1. Уметь записать комплексное число в алгебраической,

тригонометрической и показательной форме.

2. Записать в тригонометрической и IIоказательной фор­

ме и изобразить на плоскости комплексные числа:

	5i·	-l-i' Jj -!i·		-4· i3 . i ll		. !.
	,	'22' ,			,	'i
	3. Вычислить (преобразовать к виду z = а + iЬ):
	1) ~-~_1.+~		2)(1-i)5	3) (1+i)2i>
	2+ 1	1-l				21
	4. НаЙти все значения корня 1./-1;				1-1 + Jзi; "v 1 .
						зг:
	5.Решить уравнения:					,.,
	1) 22 - 22 + 2 = О;		2) 222 + 2г + 5 = О;
						3)2" + 2 = О;
	4) г'~~ + 8= О ;		5) г-~ + z + 1 = О.

12

www.mitht.ru/e-library

РАЗДЕЛ VII

Элементы векmoрной и линейной алгебры.

1.	Даны	векторы а = {З;-1А},Б ={1;5;2} в						декартовой
	системекоординат.НаЙти:
	а + Ь·а .Ь· ах Ь.cos(a. Ь)·					!зl' lbl' la + Ы .аО •
	,	,	,	','"I			!	'
2.	Даны векторы		mи о:		1тl = 3, 101 = 2,			(m,n) = ; .
	Построить векторы					--
		-	== m+ п:		а			Найти:
	а = 3т - п; Ь					+ Ь; а х Ь.

а .Ь; lal; Ibl; cos(a, т); la х Ь!; ПРj) а.

3. Даны точки А(О;I;I), В(2;2;1).С(I;4;5). Найти пло­ щадь треугольника Аве. Найти длину высоты вн.

4.Даны точки А(О;1; 1), В(2;2;1), С(1 ;3;5), О(О;О;1). Най­

ти объем пирамиды АВСО. Найти длину высоты ОН.

5.Вычислить определите.1И:
:}	51'		!sin а		- cos аl		,
1)1,			2)/1	а	si па!
12	1,		cos
11	1	01	11 -1		2	J I
			24-3011
3) 12	1	3"
			4)
iO	4	11	. 10	7 - 1		21
1			1-2		О	О

6. Являются ли линейно зависимыми наборы векторйв:

1) а == {4;8;-2;}; Ь = {- 2;-4;3}; 2)а = {1;2;-1}; Ь':::: {2;4;3}; ё = {-1;3;3}.

Ответ обоновать.

13

www.mitht.ru/e-library

7. Найти линейную зависимость между вектора.\fИ;

1) а = {1;-4;2;}; Б = {- 2;8;-4};

2)з = {1;-J;l;-l}; Б = {l;O;l;O}; ё = {l;-З;I;-З}.

8. Найти матрицу А-1 . если

l)A= (1О --1)1

9. Решить системы уравнений:

х\-2х: + ХЗ +Х4 =0

1) -2~! +4~2 -			2хз +Х4 :О
{ - 3Х1 + 6Х2 -			ЗХз	- О
r x +2x+x+x				=2
2) J') 1	5 2	3	,. 4	6
.'I-X 1 + с х2 + Х3 + ·)1:4				::::
Эх + 8х + х + 9х == 1О
L 1	:2	.1	4

10.	Решить систе~f.Ы уравнений матричным способом
	f	Х] -	2Х2 = О			r15x + 23!/ = 1
	1) ;	Х] + 4х} = 2				2) ~	"
	L					l 2х +	JY = 17
11.	Решить матричные уравнения:
	1)(1	21х ==lЗ		5	2)	2)X[58J'=(-4
	~3	4)	5	9	6	\2	3

14

www.mitht.ru/e-library

12. Найти ранги матриц:								(2				11
			(2 3 S -3
(1 2		о'					-2]		]	1 4		1 I
l)lо	4	+)	3	4	3	-1	-2 3)		1	1	I	)! II
									1	3
3	4	1	ls	6	-1	3	-s		1	2	3	:J
									" 1		1

13. Написать уравнение плоскости:

1) проходящей через точку МоО J ;1) перпендикуляр­

по вектору ii = {2;2;3}.

2)параллельной оси OZ и проходящей через точки

М)(2;2;О) и М2(4;О;О).

3)проходящей через точки M,O;-1;2). M2(2;1~2) и

Мз(l;1;4).

]4. Найти угол между плоскостями х + z :.:: 6 и

:r - 2у + 22 =8 .

15.Написать уравнение прямой, проходящей через

1)точку A(4;3~O) парa.rшельно вектору р::: {-1;1;1};

2)точки A(-I;2;3) и В(2;6;-2) и найти ее направляю­

пще косинусы.

16. Нависать канонические и параметрические уравне-

ния прямой
1) f	х + 2у + 31 = О	2)	f3X+2Y+4Z-11 =0
			t2х + у - 3г -·1 =О .
lSy+2z-12=O		.

15

www.mitht.ru/e-library

17. Найm собственные значения и собственные векторы

линейных операторов, заданных матрицами:

1) А:: (~ ~)	2) А=(o~ ~	-~)
	-2	5

РАЗДЕЛ VIII

Интегральное исчисление функции одной переменной

1. Знать определение первообра'Зной и неопредел:енного

интеграла.

2.Знать определение определенного интеграла и его

геометрический смысл.

3.Знать таблицу основных интегралов.

4.Для неопределенного и определенного интегралов

знать правило замены персменных и формулы интег­

рирования 110 частям.

5.Знать формулу НI,ютона-ЛеЙбниuа.

6.Найти интегралы:

1)f ([~	2)ftJ1-t'2dt
1-Зх
	5) Jsin5zdz
7) f~rсsiп:х!!с!:	8) J-t!.!l2
~a2	1+ ,411

10)fе1'-ЗХdx 11) f(x -l)е-хах

13)Jqcos2qdr! 14) Jarctg~d;

3) f_!l~

хln х

6)J---dx -=

J1-a../

21'2

9) Jе' xdx

12) fxlnxdx

15) JIЛ(х2 + l)d'x

16

www.mitht.ru/e-library

х-з	17) J2X+1 dx 18)f		х-2		dx
-- dx
fx-s	4x-S	х2 +Sx +6
J ;x~dx	20)J- udu_	21) J-	dx
х -х+1	(и+1)(и-2)	(Х-1)(х		2
					+1)
dz	23) J dx	24) f (t + 3}dt
J(z + 1)(2г + 1)	(Х-1)2(Х+2)	t	2+ 4t + 13
Jsinxcos4xdx	26) JSin3 tcos2 tdt	27) JCOS2 xdx
Jtg2 zdz	29) fsin 2 3xdx	зо)J_d~
			1+cost
	1		3
	32) J"xdx	"1) Jх dx_
	х+7	-'-	;;:~{

1 з

35)J-J1 + tdt 36) J~x-1dx

о		2	_. -
			4
	1t
2 dx	1,	eJCOS(ln x)dx
39)	JSin 2 <р(/<р	40)	---о
J2х-l		1	х
1	о

7. ВЫЧИСЛИТЬ площади фигур, ограниченных линиями:

ЗГ		х = 2;
l) У = 'v Х, у = О, х == 1,
2)у=6-х--2х2, у=х+2;
3	х+у=4;
3).11=--,
х
4) У == е-х ,	у == О, х == 1,	х = 2 .
	17

www.mitht.ru/e-library

РАЗДЕЛIХ

Обыкновенные дифференциальныеуравнения

	1. Решить уравнения:
	1) dy =у tgx			2)sin е cos ЧJdе - cos е sin <pd<p == О
	dx
	f	2\
	3) l1+S	}	Idt-.Jids=О
	,
	r(IT == -k /Т -			Т )	6) у':::: у +cos у ,
	5) jdt		~	с'
		Т(О) = то			х	х
					')	(2	2)
	7) (t - s)dt + tds = О							dx
					8)2x-dy=	х +у
	9) ху' = У lп У,			у(1) = 1		2
					10) у' +2ху = хс .
						-х

х

,	J
У	+ У tg х == -- ,
11)	cosx

{ .11(0) = О

13)1I,+.1I=х2

... х

15) у" tgy :: 2(у'?

(125			k ds
1		=9 -	dt
17) dt	2

ls (О):::: s' (О) == О

14)ху" + у' =О

16)ху" - у' = х3

18)j~:;-~J-2< ~О

lx(o) = 0.5, х'(о) = -5

'")	dx
d"x		у" - 2.11' + 10.11 == О
19) -	- 6 -- + 9х = О 20)
(!t2	dt

18

www.mitht.ru/e-library

21) {~:~-4 ~:+4х= О	22)	у" - 5у' + 4у == хе		Х
			2'1		3
х(о) = 3, х'(о) = -}		{У х=О -- , у Ix=o -- -
		I
23) у" - 4у' + Зу =3е2х	24) у" -		2у' + у =1+ х
25)у" -4у' +1Зу =х2 -1
26) у" - 5у' + 6у == 3е2х + хеХ
27)у" + 4у' + Ву = 5sin 2х	28) у" -		4у' = х2 + 5.1'-}
2. I10казать, что общее решение уравнения
гармонических колебаний	х + а2х =О		может быть

представлено в виде х == Аsin(аt + <р), где А,<р -

l1роизвольные постоянные.

3. Найти общее решение уравнения упругих колебаний

без сопротивления при наличии периодической внешней

силы, используя запись общего решения из задачи 2

i +а2х == аsill ti7f

РАЗДЕЛХ

Двойные интегралы

1.Изменить порядок интегрирования:

2	8-х
1) fd.1'	Jf(x,y)d,lj,

оЗх

1	2х	3	3-Х
2) fdx	Jf(x,y}dy + Jdx		f (x,y)dy
о	о	1	О

19

www.mitht.ru/e-library

2. Перейти к полярной системе координат в интегра­

лах:

2	х	1	~1-x2
1) fdX ff(x,Y)dY		2) Jdx	J f(x,y)dy
о	о	-1	О
3. Вычислить двойной интеграл			Jf<x + y)dxdy, где

область D

1)

ограничена линиями

х = О, ,Ц == 1, х = у2 .

4.Используя двойные интегралы, вычислить:

1)площадь фигуры, ограниченной линиями

у== 2.[;, у = ./Х, х = 4

2)объем тела, ограниченного поверхностями

.2	2	z =	О	,	у =	О	,	"	2·
2 =.х	+ У,							у = ,jx,	х = ,

3)массу ПРЯМОУГО.:IьноЙ пластины со сторонами

АО=4, ОВ=3. поверхностная плотность которой меня­

ется пропорционально расстоянию до стороны ОА (; коэффициентом пропорционапьности k=2;

4)координаты центра масс однородной пластинки,

область	[)	которой	ограничена	линиями
у:.:: Б,	у == О,	х = 1.

Указание. Координаты центра масс находят по фор-

Sy	Sr
мулам: хс :::: S'	ус = s-, где S -	площадь пла-
стинки,
Sx = ffydxdy,	S.lJ = ffxdxdy	статические
D	D

моменты площади относительно осей координат.

20

www.mitht.ru/e-library