Банк задач

Федеральное агентство по образованию

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В.Ломоносова

Кафедра высшей U nрuкладпой мате;,.,оmики

Джемесюк И.А. CaBQBa ля.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ОСНОВНЫХ

ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ

по КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

(банк задач)

под редакцией l1РОФ. Э.М.Карташова

Москва. 2008

www.mitht.ru/e-library

УДК

ББК

51

22.1

PeHelВCIIT -- )10КТОР фю.-мат.наук, профессор в.в. IlIсве­

лев

И.Л.Джемесюк. Jl.II.Савоиа

(НОД реп. нроф. 'Э.М.Карташова)

OCIIOBHbI\: маlсмаlическис понятия и операции 110 курсу

высшей маl'сматики Задачник. М.: ИПЦ МИТХТ. 26 с.

www.mitht.ru/e-library

При работе с банком студент обязан:

1. Уметь решать любой пример из банка.

2. Уметь четко формулировать теоремы, ука­

занные в банке.

3. Ответить на экзаменах и зачетах на любой

вопрос из банка.

4. Уметь пользоваться банком при изучении

дисциплин на общеобразоватедьных и спе­ циальных кафедрах.

5. Иметь при себе банк на экзаменах и зачетах

по математике.

Кафедра вЫСlИей и nриl\.лад1l0Й математики

МИТХТ uм. Af.B. Ло.ионосова ставит Вас в известность, что по это.и)' банку специаль­ ные кафедры проводят входной КОllmроль по

математике.

www.mitht.ru/e-library

РАЗДЕЛ I

Эле.l.,енmaрные функции

1, Знать основные элементарные функции, их свойства и

графики:

	у =ха; у = аХ;у =log		х;	,у:= ln х ;			у = sin х ;
		а			у =аrсsш .1" ;
	у = cos х ;	у =tg х ;	у = ctg х ;
	у =arccosx; у = arctg х;		у = arcctgx
2, Построить графики следующих функций:
])	у = о	8) У = 5 + 6х - х2			15) У = tg ~
2) 3у =8		9) у = .J2;		16) у = cos( х+ :)
3) У = 4х				],'
		10) У = (х + 1)1з 17) у = Зsiпх
4)	У := 7:>: -- 8	11) У = еО,5Х			18)		1
						У	== ,.---
							х-2
			х				( (\!х!
	2х + Зу - 6 =					Y=l2)
5)		О 12) У =0,5 + 1			19)
6) у=(.х"-1)2		13) у =!ln(x + 1)120) у = ln!xl
	2
	х	= 1+ logo,:;(x -1)		21)у	1	')	I
7)у = "4- 14).11					= I	-	- 5х + 6;
					X

3, Построить на плоскости линии, заданные уравнения-

ми:
1) х = О	3) х2 + у2 =: R k')			5) У2 == х
2)3х+15=0	4)	2 .	)2	?	ух = О
		( х -а) +(у-Ь		= R- 6)

4

www.mitht.ru/e-library

4. Построить графики след)'ЮЩИХ функций:

	{	У = 2х -1, х < -1			{У =2х2 -1, Х < -2
1)		У =О,	-1::; х ::; 2 ; 2)			У = 5,		х = -2
		У = -2х + 4, х > 2				У = -2х + 7, х > -2
5. Знать таблицу			значений тригонометрических функ-
	~		ппп n				и уметь распростра­
ции для углов а = О; -; - ; - ; -
			'6 4	3	2			Sill(5~-) и
нять		их на отрезок [О;2n].			Вычислить
								3 /

t g(7;).

6.В системе координат {x;lny} построить графики

функций:

1) У =ех ; 2) У = А·е-kx А > О, k > О.

РАЗДЕЛ 11

Преобразосание алгебраических выра.жени';.

Уравнения и нераве1lсmва.

1. Вычислить:

					з
					4
			9	3	+ 0.5
3)	(0,6)0 -(0,6)-1		215 --- - 208,
		4)	16	4
	(;~(·ШЗ+1( ,		0.0001 : 0.005
		5

www.mitht.ru/e-library

2, Упростить:

1)'

а2

-

Ь2

а3

-

Ь3

2).Jx + 1,

1

а-

Ь

-

а2 _ ь2

1+ .rx: + :;';\) __ .,j;;

х3

+ У3

(2

у

2)

2у

ху

3) ~

+ У

\

х

-

+

х

+ у -

2

2

(

1

1)

х -у

т

--n

3

4) l

,3

+

г-

,--_._-

,

г-

2

+11m+n

2

,m--vmll

m+.уmn

т

5) (г2--+F1=a}( ~+1)

-У1+а

v1-a-

3. Решить уравнения:

1) Iзх -11 = 2

12) Igx=4Ig2+lg3

2) IЗх-21+х=11

13) log

х + log

4 = 2

4

х

х-1

14)Jog x=-1-10g_З

3) ---=-1

х+5

.

S

J

')

4х + 1 = О

4) Зх"' -

5) -J7 -- х := х-1

16) sin х -

cos:t· == О

6)

Ш=х:= Х

17) sinx+cosx=1

7) JЗх-t~i -.Jx+4 =1

18) tg

З

х + 3 tg х ==

О

8)

9-':::; 27х--1

?

= О

19) sin - х + 2sin х - 3

'

.')2тх

')2-х - 1~

20) 2sin 2 х+ Зсоsх =О

9)

_

_.~

-

J

10) s1:

_ 24::: s2-x

')

Х - 4 =О

21 )4 соsх ..- Sill -

11) 42/х _5.41:'Х +4=0

22) sin х + SiIl 3х ::;

О

6

www.mitht.ru/e-library

4. Решить неравенства:
1)	-1 < 1	2)]ogo.s(1- 2х)::;;; 1			3) ~x+7 <х
	х
					х-1
	х-l	5) х	2	-7х+6<О	6) 2х+1 > 1
4) --<Х
	х+1
7)	IS-2xl < 1	8) х2 -2х-З > О

5. Пропорции, проценты

1) Найти 3% от числа 18;

2) Сколько процентов составляет число 12 от числа 15? 3)Число 5 составляет 7% некоторого числах .НаЙти х. 4) Найти х из соотношения:

	а)а+Ь =_Ь_		b)~= а2 +a+~_
	х	а-Ь	а-1	а
	5) Разделить 17 на части, пропорциональные 3 и 7.
			РАЗДЕЛ 111
		Вычисление пределов
1.	Знать определение предела последовательности.
2.	Знать определение предела функции в точке и его гео­

метрический смысл.

3. Знать определение бесконечно малой величины и таб­ лицу эквивалентных бесконечно малых величин.

4. Вычислить пределы:

]) lim х2 - 4х+ 3 x~1 х(х-l)

. -Гx--~--1

2) 11т ----

x-~2 :.1:: - 2

·arcsin Sx

5)1lт----

X~O tgЗх

2)ЗХ

6) lim ( 1+-.)

X~OO .t

7

www.mitht.ru/e-library

з

3) Нт З; + 1Sx

X~<X:' Х -2х+3

,~

4) Нт ~} +5х

Х-+:IO 2х2 - 6х + 3

9) Jiш­
x-~O In 2 (I -	fx)
3х3	- ]ох8
] _ е-5х

] 1) liш --------

X~ёC 2х3 -12х +:х7

			х
7) lim е ~-1
X~O			.)х
8)	.	cos х-l
	1т	-----
х->О			4:х	2
'
1О)	Нт		8х5 + 15х
				- 2х6	+ 3:х
	X~X) х3
"	1-		sin2	x-tg	2 x
1.... )	1т		-----"--
X~O				4х4

5. Исследовать на непрерывность функции:

		х + 2	2) У =е			2	Х	-1
				Х
	1)у=._---				3)	у=--
		х-.., + 3х + "				2	1	+ 1
							Х
	4)	_ sinx	~ ()	=	{5Х - а. х :::;; 2
		у-_.-	)) f х		] - 3х, х > 2
		х

РАЗДЕЛIV

Дuффереuцuальное исчисление функции одной nере­

,:кенной

1. Знать определение прои'Зводной и ее геометрический

смысл.

2.Знать определение дифференциала и его геометриче­

ский смысл.

3.Знать таблицу производных основных элементарных функций.

8

www.mitht.ru/e-library

4.Знать правила дифференцирования суммы, произве­

дения, частного двух функций, сложной функции.

5.Знать формулировку теоремы Лагранжа и ее геомет­

рический смысл.

6.Знать определение вьmуклости, вогнутости, экстре­ мума, асимптот графика функции.

7.Найти:

l)~(tln t)

dt

f ( 2х]

4) ~; ~xJ

d (	arctg			2 1 )
8) -				--
dt			.	Jt
(!	(	Jоg	з	1 J	12)(~~x+Гx)	,	(	~x2	J"
dt ~				t"'			13)l1
11 )-1				cos-:;-
					2
14) (ctg x)sin Х)					15) d i(sin ах),а= const
					dx
					If		2
					17)(_~inХ2_]
						18)~2(XShX)
					] + х2		dx
19){Х = sin				2 t, у'{х):о::?
у = cos 2 t
					9

www.mitht.ru/e-library

21)d(3X • Jx)	22) У =( arccos ~)-3			,dу = ?
р		24)у = х+lпу,у'(х)=?
23)у = - ,dy =?
lnx
25)у = Iп.J1-.siпх,dу =?
8. Найти предел по правилу Лопиталя:
1) Нт хl1	2) lim	ln х	3) Нт	х
х--++оо еХ	X~+OO	х12	.1'--+0 еХ -1

9. Найти асимптоты, а также интервалы вьrnyклости, во­

гнутости, экстремумы функций и построить графики:

lп х	(х + 1)3	3) У = х3с--Х
1) .у::;; --.-	2) У 0-';: - (-1)2
.1:	х-

РАЗДЕЛV

Дифференци(lЛl1ное исчисление функции иесколы<Uх

nеременных

1.Дать опре;(сление функции двух переменных.

2.СФОРМУJJировать определение частных ПРОИЗВОДНblХ

функции двух переменных и объяснить их геометри­ ческий смысл

3.Найти области определения функций (R = const):

ГГ-2-- 2			1
1)z=v x +y-R;	2)2= г:г;
		\jX- + у --		R 2
3) z = _2.1':+ Зу_-=-!;	4)и =Jn(l-(x _1)2 -(у+ 2)/ - z2);
.1:--.'1
5) 2 = 11l(-Х -- 2у);	Г)	')	2	2
	6) и =IJ Х	+ у- + z	-- R	;
	10

www.mitht.ru/e-library