Банк задач

РДЗДЕЛХI

Криволинейные, поверхностные интегралы и

элементы теории поля

1.Знать определения скалярного и векторного полей.

2.Знать определения операторов Гамильтона и Лапласа:

Оператор Гамuльmoна в декартовой системе

координат

д-:		д-;	д-
V = -	1	+ -- J + -- k
ах		ду	дг

Оператор Лапласа в декартовой системе координат

2	д2	д2	д2
Ll=V·V=V	= - + - + - .
	дх2	су2	дг2

Оператор Лапласа от скалярной функции И

в декартовой системе координат (x;y;z)

2	02(]	д2и	д2u
ди =v	и:::: ---+ _.+--
	дх2	QyL	дг2

в ЦИJшндрической системе координат (р:<р;г) в предположении, что И =и(р)

дИ=V2u(p) = !~(paC:!..J' ;

рдр др

в сферической системе координат (У; <р; е) в

предположении, что и = U(r)

ди=VU{1') = ~'~l(r	2	дИ) .
2
r 2 or		or

3.Знать определение nроuзводной ФУllКЦUU

И= и(Х,у,г) по направлению [О = {cos а; cos р; cos у}

21

www.mitht.ru/e-library

дU = Нт		U(М) -:- U(1Vl	) = Нт АU
			o
дl	M~Mo	/МоМI	M~O 6.1
и формулу для ее вычисления:
дU	8U	дU	дU	VU·l	о
-	= -cosa + -cosp		+--cosy =
дl	дх	ду	дг

4.Знать определение градиента скалярного поля

и=u(х,у,г) и его физический смысл

дU - дU - ди-

gradlf =V'U=--i +-j+---k

дх ду дг

5. Знать определение дивергенции векторного поля

а = { Р,Q, R} и ее физический смысл

div а =V'a= дР + BQ + oR

дх ду дг

6. Знать определение ротора векторного поля

а == {P,Q,R}			k-I
	II --i j
t -	Iд	д	д		=
ro а = ах		ду	дг
	Ip	Q	R

'oR	Q	)' -:
	G
( - _ --- 1+
(IY	OZ

1/ дР	CR)-:	(iJQ	oP\k"-
--- J+ ---- 1
\ (JZ	дх	дх	ду)

7. Уметь формулировать основные теоремы теории

поля.

1) ФормулаГрина: fPdx+Q(fy = fJ(OQ _.~p)ldXdY

1_	• дх ду
	D

22

www.mitht.ru/e-library

2)Формула Остроградского-Гаусса:

ввекторной форме:

#а.поds = fffdi\'idV

s v

в координатной форме:

#Pdydz + Qdxdz + Rdxdy =

s

= fIJ(aP + aQ + ~R)dXdYdZ

	V	дх	СУ дг
			.
3) Формула Стокса:			fа .dr = ff(rota) . ii оdS
в векторной форме:
			L	S
в координатной форме:
1Pdx + Qdy + Rdz '"fJ(aR - ~Q')(jlfdz +
'j			\ ду	ог)
L			S
(дР	aR)		taQ	дР\
+ 1-- - -		Idxd2	+ + -	- --)dхd
\ д2	дх )		~ дх	д.у	.lJ
8. Уметь доказывать следующие соотношения:
(HvgradU = V . (VU) = -у2u				,
rotgradU=Vx(VU)=O,
divrota=v.(vxa)=o.
9. Вычислить криволинейные интегралы
2				rx =acost
1) fУ dx + 2xydу		по окружности 1)			.	,
•				1I	=аsшt
L				.!
2) fyd:r - xdy			rx =acost		,
	по эллипсу ~l!l =bsin t

L

23

www.mitht.ru/e-library

3) J	ydx + xdy			у
	2	2 -,	где L -- отрезок прямои
L	х	+У
точки		А(1;1) дО точки В(2;2)		,

(2;3)

4)Jxdy+ ydx .

(1;2)

у=х от

10. Найти функцию И по ее полному дифференциалу

232
1) dU == 2xydx+x dy	2) dU == у		dx +Зху	dy
v		2	- Зуz + 5	в
11. Наити производную ф}lIКЦИИ И == х

точке М(1;2;-1) в направлении, составляющем равные

углы с осями координат.

12. Задано векторное поле радиус-вектора

r =x1 + у]+ zk. Найти

div т, rot т,		gradr,					1
							grad-,
	,--;::---------						r
_1
	I	2	+ у	2	+ z	2	.
где r = r	== Vх
1

13. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобра­

зовать интегралы:

1)#xdydZ + ydxdz + zdxdy

5

2) #yzdydz +xzc1xdz + xydxdy

s

14. Применяя формулу Стокса, показать, что

1(у+ z)dx+(z + x)dy + (.1" + y)dz =О,

L

где L - любой замкнутый контур.

24

www.mitht.ru/e-library

РАЗДЕЛ XII

Ряды

ф

ф

1. Найти сумму ряда:

1) I

1

2) Iqn, Iql < 1

n=1 n(n+1)

n=1

2. Исследовать на сходимость следующие ряды:

ф

2

ф

•

2

00

1)"

12

2)" S12n~

3)" ~_

L.J

n2 + 1

L.J

n

+ 1

L.J

n + 1

п=}

11=1

11=1

ф

1

00

1

4)I ---

5) I

nln 2 n

11=2

n ln n

п=2

ф

2

п

7)I~

п=]

CI)

'У:С

II

10) I(-1( l:n

11) I(~n+ 3)

п-=2

n=]

3n + 2

CI)

CI)

41

1j) L..J vll .аrСSШ-

1

14)L.J ----

-

'"

31

.

- "'"

2

v 11

п=}

2

п=\

n

+ n -1- 1

11

3.НаЙти область сходимости Функционалыюго ряда

ф

n

00 (Х_1)П

L~

1)

2)

I----

n=1 п!

r1/

n=1

~

·п

00

х

n

00

("

__ З)1l

00

( 4)

11 (

х

')2п

л

+ 2 -

4)

I--

5)

I-----

6)

I-------

п=1

12

n=1

nJ;;.

n=1

n

3, Записать в общем виде ряд Тейлора и ряд Маклорсна

для ((х).

25

www.mitht.ru/e-library

4. Записать разложение в ряд Маклорена следующих

функций и указать области сходимости:

l)у= е	х	3)у =sinx	5)y=ln(1+x)
2)y=cosx		4)у=(1+х)1Il	6)у = (1 + х)--I

5. Используя разложение функций, указанных в п.4, написать раз,ложение по степеням х и указать области сходимости для функций:

1) У = е-х	2) у = s.ш2 х
		3)у =~27-x
4) У = In(10+ х)	1	6)у =.J1 +х
	5) у = ----
	х-3

6.Вычислить приближенно е помощью рядов е точно­

стью до 0,001:

	J	2
1) -ге		_11_	1	. ): 2
	2)sin 12 3) fe	"2 dll	4)1~d~
	о
	о		о	~

7.Решить дифференциальные уравнения (е помощью

рядов):

l)y"=x 2у,у(О)=О, у'(О) = 1,

2) у' == 2cosx -- ху2,у(О) == 1

26

www.mitht.ru/e-library

Издание учебное

Джемесюк Ирина Андреевна Савова Людмила Николаевна

ТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ОСНОВНЫХ

ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ

МАТЕМАТИКИ

под ред. нроф. Карташова Эдуарда Михайловича

учебное пособие

Подписано в печатьD3 О9 2008г. Формат 60x84/16. Бумага

писчая. Orпечатено на ризографе. Уч. Изд. листов 1.

Тираж 500. Заказ.N'2 19r':f

Московская государственная академия тонкой химической

технологии им. М. .IЗ.JIомоносова ИщатеЛЬСКО-ПОЛИl-рафический центр

117571, Москва, пр-r Вернадского. 86.

www.mitht.ru/e-library