Задачи:

ЗАДАЧА 1:

1 января имеется возможность разместить на 3 месяца сумму 1 000 $ на рублевом или на валютном депозите. Ставка на валютном – 6 % годовых, на рублевом – 12 %. Курс продажи $ на 1 января – 31руб 25 коп. Ожидаемый на 31 марта – 31 руб 50 коп.

Где выгоднее разместить 1000$?

ДАНО: P = 1000$ i1 = 6 % i2 = 12 % n = 3 мес К0 = 31,25 К1 = 31,50 НАЙТИ: S3,S4

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

S3 = 1000 (1 + 3* 0,06/12) = 1015 $

S4 = 1000 * 31,25 (1 + 3*0,12/12)*1/31,5 = 1021, 83 $

Ответ: S4 – выгодно

ЗАДАЧА 2:

1 января имеется возможность разместить на 3 месяца сумму 10 000 руб на рублевом или на валютном депозите. Ставка на валютном – 6 % годовых, на рублевом – 12 %. Курс продажи $ на 1 января – 31руб 25 коп. Ожидаемый на 31 марта – 31 руб 50 коп.

Где выгоднее разместить 10 000 руб ?

ДАНО: P = 10 000 руб i1 = 6 % i2 = 12 % n = 3 мес К0 = 31,25 К1 = 31,50 НАЙТИ: S3,S4

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

S3 = 10 000 (1 + 3* 0,12/12) = 10 300 руб

S4 = 10 000 * 31,25 = 320 $

S4 = 320* (1 + 3* 0,06/12) = 324,8 $

10 300 / 31,5 = 327 $

Ответ – выгоднее в рублях.

При каком ожидаемом курсе роста обе схемы S1 и S2 будут одинаковыми. В соответствии сделать выбор, где выгоднее держать рубли и валюту.

S1 = S2

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: при курсе меньшем = рубли и при курсе большем = валюта

ЗАДАЧА 3:

Определите проценты из суммы накопительного долга если ссуда в размере 700 000 руб выдана на 4 года под 20 % годовых.

ДАНО: Р = 700 000 руб n – 4 года i – 20 % НАЙТИ: I - ? S - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1 + n*i)

I = P*n*i = 700 000*4*0,2 = 560 000

S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб

ЗАДАЧА 4:

Акция компании А была куплена за 20 000 руб. Через 2 года была продана за 24 000 руб. Определить доходность акции за период владения.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: S = P (1 + n*i)

20 000(1+2*i) = 24 000

Ответ – 10 %

ЗАДАЧА 5:

Вексель выдан на сумму 1 000 000 руб. Выплаты по нему происходят 17 ноября. А приобрел 23 сентября. Учетная ставка по векселю 20 %. Сколько получил владелец?

ДАНО: d = 23 % n – 55/365 S – 1 000 000 НАЙТИ: P - ?

РЕШЕНИЕ: P= S(1 - n*d)

P = 1 000 000(1+0,2*55/365) = 969863,01 руб

ОТВЕТ: 969863,01 руб

ЗАДАЧА 6:

Контрактом предусматривается погашение в размере 210 руб. ссуда была выдана 4 мес назад и составляла 180 руб. Определить доходность ссудной операции, в виде простых доходных ставок.

ДАНО:n – 4/12 S – 210 руб. P – 180 руб. НАЙТИ: d,i - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1+n*i)

210 = 180(1+3*i)

I = 50%

P = S (1 - nd)

d = 43 %

Сложные процессы.

Начисление сложных годовых процентов.

База для начисления сложных процентов не остается постоянной в данном случае, она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная величина начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличение общей суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам пропорционально последовательному увеличению средств, вложенных под простые проценты на единичный период. И присоединение начисляемых процентов к базе называется капитализацией процентов.

Пусть происходит начисление и капитализация процентов 1 раз в год. Обозначим i – годовая ставка сложных процентов. I_t - проценты, начисляемые за год t.

		It	St
1	P	P*i	P(1+i)
2	P(1+i)	P(1+i)*i	P(1+i)^2
…
n	P(1+i)^n-1	P(1+i)^n-1*i	P(1+i)^n

i меняется – переменная ставка сложных процентов.

S = P(1+i₁)ⁿ₁*…*(1+i_m)ⁿ_m

Пример: срок ссуды 5 лет, договорная ставка 12 %, Маржа 0,5 % (1 - 2). 0,75 % (3 - 5)

Множитель наращения = (1+12,5)²*(1+12,75)³=

Начисление процентов при дробном числе лет.

Часто срок начисления процентов не является целым числом. В правилах некоторых банков в этих случаях проценты начисляется только за целое число периодов. В основной массе учитывается полный срок. В случае учета полного срока применяются 2 метода:

1. общий метод.

2. Смешанный метод.

Общий метод предполагает начисление процентов по объявленной ставке за весь срок.

S = P(1+i)ⁿ

И смешанный метод – S = P(1+i)^a*(1+b+i^,),

где а – целое число периодов n, a b – дробная часть периодов n.

Рост по сложным и простым процентам.

Для того, чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам достаточно сравнить соответствующие множители наращения.

1+ni_s ~ (1+i)ⁿ

N=1 =

n<1 >

n>1 <

Срок ссуды и формулы удвоения.

Продемонстрируем различие в последствиях применения простых и сложных процентов на примере определенного срока, за который первоначальная сумма увеличивается в N раз.

i_s = 1+ni_s = N n = (N-1)/i_s^,

i = (1+iⁿ) = N n = (ln(N))/(ln(1+i))

Пример: определить число лет, за который первоначальный капитал увеличивается в 5 раз, если применяются простые и сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

n = (5-1)/0,15 = 26,7

n =(ln(5))/(ln(1+1,15)) = ln(3,85) = 11,5

Наращение процентов m раз в год. Номинальные и эффективные ставки.

Проценты обычно капитализируются не один раз, а несколько раз в год.

Пусть проценты капитализируются m раз в год, по ставке g годовая, т.е. каждый раз проценты начисляются по ставке g/m.

S = P(1+g/m)^nm ,где g – номинальная ставка.

Эффективной называется ставка, однократное наращение по которой приводит к тому же результату, что и m разовое по номинальному.

i_э= (1+g/m)^m-1

При m>1 -> i_э

Операции по сложной учетной ставке.

Достаточно часто в практике учетных операций применяют сложную учетную ставку. Процесс дисконтирования происходит с замедлением. Т.к. каждый раз учетная ставка применяется к сумме, уже дисконтированной, на предыдущем шаге во времени.

P = S(1 - d)ⁿ

Пусть дисконтирование происходит m раз в год по ставке f (номинальная учетная ставка).

P = S(1- f/m)^mn

(1 – d_э)ⁿ = (1- f/m)^mn

d_{э =} 1 - (1- f/m)^m

m>1: d_э < f

ЗАДАЧА 1:

Кредит, в размере 5 000 000 руб. выдан на 3 года и 1 месяц под 15% годовых сложных процентов. Определить сумму наращения при различных способах начислений процентов.

Решение:

1. Смешанный

S = P(1+i)^a*(1+b+i^,)

S = 5 000 000 (1+0,15)³ *(1 + (1 + 0,15)/12))

S = 7 699 429, 69

2. Общий

S = P(1+i)ⁿ

S = 5 000 000 (1 + 0,15)^3*1/12 = 5 000 000 (1 + 0,15)^3,08 = 7 689 876, 28

ЗАДАЧА 2:

Определить число лет, необходимое для увеличения первоначальной суммы в 10 раз при применении простых и сложных процентов по ставке 15% годовых.

Решение:

Простые: n = (10 – 1)/0,15 = 60 лет

Сложные: n = (ln(10))/(ln(1 + 0,15)) = 2,30/0,14 = 16,4 лет

ЗАДАЧА 3:

Трата на сумму 10 000 000 руб. Срок выплаты по трате наступает через 5 лет. Происходит продажа с дисконтом по сложной учетной ставке 15 % годовых. Определить дисконт.

Решение:

P = S(1 - d)ⁿ = 10 000 000 (1 – 0,15)⁵ = 4 437 053, 13

D = S – P = 10 000 000 - 4 437 053, 13 = 5 562 946, 88 руб.

ЗАДАЧА 4:

Сберегательный сертификат на 100 000 руб. выкупная стоимость – 300 000 руб. срок – 5 лет. Определить доходность в виде сложной ставки процентов.

Решение:

S = P(1+i)ⁿ

300 000 = 100 000 * (1 + i)⁵

3 = * (1 + i)⁵

i = 24, 6 %

ЗАДАЧА 5:

Определить эффективность инверсионной операции, если 1 мая купили 1 000 евро по курсу 31 руб., а 1 июля продали по 34 рубля.

Дано: P = 31000, S = 34000, n = 2 мес НАЙТИ: i_э

Решение:

n = 1/6

S = P(1+i*n)

34 000 = 31000(1+i*1/6)

i = 58%

ЗАДАЧА 6:

В банк положена сумма 10 000 руб. сроком 4 года, под 18% 1) сложные проценты 2) простые проценты. Какую сумму получим через 4 года.

Дано: Р = 10 000, n = 4 года, i = 18 % Найти: S - ?

Решение:

1. Сложные проценты:

S = P(1+ i)ⁿ

S = 10 000 (1+0,18)⁴= 19 387, 78 руб

2. Простые проценты:

S = P (1+i*n)

S = 10 000 (1+0,18*4) = 17 200 руб

ЗАДАЧА 7:

Номинал векселей 5 000 000 руб. срок погашения – 5 лет. Ставка сложная по векселю. Определить дисконт. Ставка 15 %.

Дано: S = 5 000 000, n = 5, d = 15% Найти: D- ?

Решение:

Р = S (1-d)ⁿ

Р = 5 000 000 (1 – 0,15)⁵ = 2 220 061, 88 руб

D = S – P = 5 000 000 - 2 220 061, 88 =

Непрерывные проценты.

Непрерывные проценты большое значение имеют при анализе сложных финансовых проблем, так как:

1. Обоснование и выбор инвестиционных решений.

2. Финансовое проектирование.

3. Оценка доходности портфеля ценных бумаг.

С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности наращения процентов, например использования изменения по определенному закону процентной ставки. При непрерывном наращении проценты имеют особый вид процентной ставки, которую называют силой роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени t. Сила роста может быть как постоянной, так и изменяться во времени.

Постоянная сила роста:

S = P (1+j/m)^m*n, т.к. lim (1+j/m)^m = e^j, т.к. S = P*e^Q*n

Меняющаяся сила роста:

Q = f(t)

F(t) = Q₀+at

S = P*e^{интеграл от f(t)dt}

P = S* e ^{-интеграл от f(t)dt}

Наращение процентов и инфляция.

Пусть обозначим J_nc – индекс покупательной способности денег за период охватывающий финансовую операцию.

S*I_nc = C – реальная сумма, наращенная сумма с учетом пониженной покупательной способности.

I_nc = 1/I_p

H = I_p - 1 – темп инфляции

Начисление простых процентов:

C = S/ⁿ I_p = P (1+ni)/ ⁿ I_p = P (1+ni)/ (h(с чертой)+1)ⁿ

Начисление сложных процентов:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

^{I > h(c чертой) – реальный рост}

^{I < h(c чертой) – эрозия капитала}

^{I = h(c чертой) – сохраняем} деньги

Измерим реальную доходность финансовых операций.

r-объявленная ставка доходности

i-реальная ставка доходности

I_p-индекс цен за весь период

1) i = ((1+nr)/ I_p )- 1

2) I = ((1+r) / (1+h(c чертой)) - 1

Конверсия платежей. Эквивалентность процентной ставки. Финансовая эквивалентность обязательств.

Эквивалентными платежами считаются такими, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказались равными.

Консолидирование задолженности.

Рассмотрим общий метод решения задач. Изменение условия выплат заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором суммы заменяемых платежей приравниваются к суммам замещающих приведенных к одному и тому же моменту времени.

Пусть есть какие то платежи S1,S2..Sm в какие то моменты времени они выплачены n1,n2…Nm

1.Осуществить один платеж в момент n0 – консолидировать.

2.Второй случай – консолидируется S0

Эквивалентность процентных ставок.

Если замена F-вида ставки на другую не изменяет финансовые отношения сторон, то такие ставки называются эквивалентными.

Формулу эквивалентных ставок во всех случаях получим из равенства, взятых попарно множителей наращения.

Эквивалент простых и сложных ставок наращения:

i_s – простая, i-сложная

i_s= ((1+i)ⁿ – 1) / n

i = (ⁿ корень из 1+n i_{s )} - 1

Эквивалент простых ставок наращения и учетной ставки:

1+n i_s = 1/ (1-nd_s)

i_s = d_s / (1-nd_s)

ЗАДАЧА 1:

До какой величины вырастит сумма долга в размере 250 000, взятого на 18 месяцев под 20 % годовых сложных с ежеквартальным начислением.

ДАНО: Р = 250 000, n – 1,5 года, i – 0,2, m – 4 НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1+i/m)^m*n

S = 335 024 руб.

ЗАДАЧА 2:

31 декабря 2002 года получили 30 000 руб. Какая сумма была положена на ваш счет, если счет был открыт за 1 год до этого, при объявленной ставке 15 % годовых сложных при помесячном начислении процентов.

ДАНО: S = 30 000, n – 1 год, i – 0,15, m – 12 НАЙТИ: Р - ?

РЕШЕНИЕ: S = P (1+i/m)^m*n

P = 25 845 руб

ЗАДАЧА 3:

Какова эффективная ставка, если номинальная ставка 25% при помесячном начислении процентов.

ДАНО: j = 0,25 m = 12 НАЙТИ: i_эф = ?

РЕШЕНИЕ:

i_эф = (1+j/m)^m

i_эф = 28 %

ЗАДАЧА 4:

Какова эффективная ставка проведенной сделки в виде годовых простых процентов, если 1 апреля была конвертирована сумма 310 000 руб. в евро по курсу 31 рубль. Полученная сумма положена на трехмесячный депозит под 3 % годовых простых. 1 июля деньги не были получены по договору и произошла пролонгация до 1 октября. 1 октября была снята окончательная сумма и она была переведена в рубли по курсу 33 руб. 50 коп.

ДАНО: Р = 310 000 руб. n = ¼ i= 0,03 k1 = 31 k2 = 33,5 НАЙТИ: i_эф - ?

РЕШЕНИЕ: S = P^,(1+in)( 1+in)

S = 310 000 / 31* (1+0,03*¼)(1+0,03*¼)*33,5 = 340 000 руб

S = P(1+in)

i= 19 %

Если i_эф > 0, то операция убыточная.

ЗАДАЧА 5:

Начальная сумма 10 000 000 руб. Начальный уровень силы роста 8 %. Ставка непрерывна и линейно изменяемая. Относительный годовой прирост 2 %. Найти соответствующий множитель наращения, при условии начисления процентов в течение 5 лет.

ДАНО: Р = 10 000 000 a= 0,08 n = 5 Q₀ = 0,08 НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

Q = Q₀ + at

S = P*e^{интеграл от (Q0 + at)dt}

S = 19 150 000 руб

ЗАДАЧА 6:

Начальная сумма 200 000. Ставка непрерывно растет. Сила роста – 10 %. Проценты начисляются в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

ДАНО: Р = 200 000 Q = 0,1 n = 5 лет НАЙТИ: S - ?

РЕШЕНИЕ:

S = P*e^Q*n

S = 328 633, 53 руб

ЗАДАЧА 7:

2 года назад положили сумму на депозит в размере 10 000 руб. Определить наращенную сумму, с учетом пониженной покупательной способности, если уровень инфляции первые полгода – 5 %, вторые полгода – 4 %, третьи полгода – 1 %, четвертые полгода – 2 %. Ставка 12 % годовых сложных.

ДАНО: Р = 10 000 H1 = 0,05 H2 = 0,04 H3 = 0,01 H4 = 0,02 n = 2 i=0,12 НАЙТИ: C-?

РЕШЕНИЕ:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

С = (10 000 (1+ 0,12)²) / ((0,04 +1)^1/6(0,05 +1)^1/6(0,01 +1)^1/6(0,02 +1)^1/6) = 11 150 руб

ЗАДАЧА 8:

Поставщик оборудования получает на счет за редкую модель 20 000 000 руб. с задержкой в 3 месяца. Себестоимость данной модели 16 000 000 руб. Определить доходность в виде процентных ставок простой и сложной коммерческих операций, если уровень инфляции за 1 месяц – 1 %, 2 – 1%, 3 – 2 %.

ДАНО: n = 3 h1 = 0.01 h2 = 0.01 h3 = 0.02 P = 16 000 000 S = 20 000 000 НАЙТИ: i - ?

РЕШЕНИЕ:

J = (1+h1) (1+h2) (1+h3) = 1,04

С = S / J_p = 20 000 000 / 1.04 = 19232769.23

Простые:

i= (C – P) / P*n = 19232769.23 – 16 000 000 / 16 000 000*1/4 = 0.81 = 81 %

Сложные:

(1+i)ⁿ = C/P

i= – 1 = 1.08 =108 %

ЗАДАЧА 9:

Вексель простой выдается на сумму 500 000 руб. с уплатой в конце года. Какую сумму получит владелец, если он учтет вексель за 5 мес до срока погашения по простой учетной ставке 12 % годовых.

ДАНО: d = 0,12 S = 500 000 n = 5/12 НАЙТИ: Р ?

РЕШЕНИЕ: D = S*n*d

D = S – P

P = S – S*n*d

P = S (1 – n*d)

P = 475 000 руб

Постоянные финансовые ренты.

Виды потоков платежей.

Современные банковские операции часто предполагают не отдельные разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, выплата стипендии, продажа в кредит. Такие последовательные платежи или ряды платежей называются потоком платежей.

Классификация потоков:

1. Регулярные.

2. Нерегулярные.

Нерегулярные – выплаты могут быть как положительные, так и отрицательные. Периоды между ними не одинаковые и распространены в пространстве.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называются финансовой рентой.

Рента характеризуется:

1. Членом ренты, т.е. размером отдельного платежа.

2. Периодом ренты, интервалом между выплатами.

3. Сроком ренты.

4. Процентной ставкой.

5. Числом платежей в году, частотой и способом начисления процентов.

Регулярные ренты. Они отличаются:

1. По количеству выплат в течение года. Существует годовая рента и R-срочная, т.е. R выплат в течение года.

2. По количеству процентов в году. Различают с ежегодным начислением и с начислением N раз в год.

3. По размеру отдельного платежа. Различают постоянные и переменные.

4. По вероятности выплат. Различают верные и условные (страховки). Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее нам не известно.

5. По количеству членов. Различают ограниченные по срокам и вечные.

6. По началу срока. Различают немедленные и отложенные (выплата кредитов).

7. По методу выплат платежей в пределах периода. Различают нормальные (постнумерандо), по которым предусматриваются выплаты в конце периода, пренумерандо – когда выплата в начале периода и промежуточный.

Чаще всего в ходе анализа потоков платежей предполагается расчет либо наращенной суммы потока, либо современной стоимости потока.

Наращенная сумма потока – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока (капитализируемая) – сумма всех членов потока платежей, дисконтированных на начало срока потока либо на некоторый учреждающий момент времени.

Пусть существует поток платежей R_t выплачиваемый в момент времени h_t, общий срок потока n, проценты начисляются один раз в год, потоки не равны, i-учетная ставка.

S = _t (1 + i)^n-nt

А = _t

Годовая рента.

R = R_t

1	R(1 + i)^n-1
2	R(1 + i)^n-2
…	…
n-1	R(1 + i)
n	R

S = R (((1+i)ⁿ – 1)/i)

Эта формула верна и для r срочных рент. При этом r – число периодов, а i-ставка за период.

1	R * 1/(1 + i)
2	R* 1(1 + i)^2
…	…
n-1	R* 1(1 + i)^n-1
n	R* 1(1 + i)^n

A = R * (1-(1+i)^-n)) / i

a=(1-(1+i)^-n)) / i - коэффициент приведения годовой ренты.

a=1/i

A – начальная сумма

S – конечная сумма

ЗАДАЧА 1:

Какую сумму должно перечислить министерство на счет будущего студента, чтобы обеспечить плату за его обучение в течение 5 лет по 25 000 рублей ежегодно, если ставка по которой начисляются проценты 10 % сложных.

ДАНО: n = 5 i= 0.1 R = 25 000 НАЙТИ: S ?

РЕШЕНИЕ:

A = R * (1-(1+i)^-n)) / i

A = 25 000 (1 – (1+0.1)^-5)) / 0.1 = 95 000 руб

ЗАДАЧА 2:

Какая сумма окажется на накопительном счету, если в течение 5 лет мы ежегодно отчисляем 2 000 рублей, а в депозитном договоре зафиксирована ставка 10 % годовых сложных.

ДАНО: n = 5 i= 0.1 R =2 000 НАЙТИ: S ?

РЕШЕНИЕ: S = R (((1+i)ⁿ – 1)/i)

S = 12 210, 2 руб

ЗАДАЧА 3:

Контрактом предусмотрено следующее порядок использования денежных средств:

1.07.99 – 5 000 000 руб.

1.01.00 – 15 000 000 руб.

1.01.02 – 18 000 000 руб.

Необходимо определить сумму задолженности на начало 2003 год и современную стоимость потока на начало срока при условии, что сложная годовая ставка 20 %.

ДАНО: R1 = 5 000 000 R2 = 15 000 000 R3 = 18 000 0000 i=0.2

НАЙТИ: S, A ?

РЕШЕНИЕ:

S = _t (1 + i)^n-nt

А = _t * (1/(1+i))^nt

S = 5 000 000 * 1.2^3.5 + 15 000 00*1.2^3.5-0.5 [phone]*1.2^3.5-2.5 =

5 000 000 * 1,89 + 15 000 000 * 1, 728 + 18 000 000 * 1.2 =

25 920 000 + 9450000 + 21600000 = 56970000 руб

А = 5 000 000 + 15 000 000 (1/1.2)^0.5 + 18 000 000 (1/1.2)^2.5 = 29850000 руб