Math / Матан

18.Что такое числовая последовательность? Приведите примеры.

Последовательностью называется какое-либо множество действительных чисел занумерованных натуральными. Всякую последовательность можно записать в виде

1, 2 …

Примеры:

1)1) = 12 : 1; 14 ; 19 ….

2)= (−1) : -1, 1, -1, 1…

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой

отличны от нуля, называется числовая последовательность			. Если в
последовательности	на позиции	всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на

такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность

↑ назад в содержание ↑

19.Что такое неперово число е? Каково его приближенное значение?

lim →∞ 1 + 1

Неперово число е иррационально.

НЕПЕРОВО ЧИСЛО - предел, к которому стремится выражение (1+1/n)n при неограниченном возрастании n: е = 2,718281828459045...; является основанием натуральных логарифмов; Название числа е по имени Дж. Непера мало обосновано.

↑ назад в содержание ↑

20.Что такое предел последовательности? Приведите примеры.

Число B называется пределом последовательности , если : → lim→∞

>		>		; |	−	|<

Здесь сказано что каким бы малым ни было положительное число эпсилон все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера попадают в полосу между прямыми = − и = +

1	3
	4	y = +
B		y = b

2

y = −

	1	2		3	4	5	6
Пример:
lim→∞	4 3+1			lim →∞(−1)
		3

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

↑ назад в содержание ↑

21.Что такое график функции? Нарисуйте графики основных элементарных функций.

График функции – множество точек у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты – соответствующими значениями функции y.

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у =

х(а > 0) или у - - х(а < 0).

Логарифмическая функция y = logax (a > 0)

у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π

Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )

Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.

↑ назад в содержание ↑

22.Что такое предел функции? Приведите примеры.

Определение:

Говорят, что предел функции = , если :

1)( )определена по крайней мере на некоторой правой полупрямой ( ≥ )

2)> > > − <

Иными словами, B равняется пределу ; → +∞, в точности тогда, когда график этой функции при достаточно больших значениях аргумента x попадает в полосу b-E<y<b+E.

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует

δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует

δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞),

если Функция x = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие,
что f (x) = g (x) h (x),		, то функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a:
				f (x) ~ g (x).
Так, функции	и	эквивалентны при x → 0, так как					а второй множитель
стремится к 1 при x → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:
				sin x ~ x
				tg x ~ x
				arcsin x ~ x
				arctg x ~ x

ex – 1 ~ x ln (1 + x) ~ x

(1 + x)α – 1 ~ α x.

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.

↑ назад в содержание ↑

23.Что такое 1-й замечательный предел?

Что такое 1-й замечательный предел?

Доказательство:

Sтр.ОАС<ScектOAC<Sтр.OAB

12*1*sinx<12*x*1<12*1*tgx

Sinx>0

Делим на

2

1< < 1 (cosx→1, когдаx→0)

x→0:

→1

↑ назад в содержание ↑

24.Что такое 2-й замечательный предел?

Число е является иррациональным е=2.718281828.
Число b называется пределом функции	при	,

lim f(n)=b

x→0

cуществует lim f(x)

x→0

f(x)=sinПx

Из этого соответствия вытекают еще 2 важных равенства:

lim (e-1)/x=1

x→0

(e в степени х)
lim (ln(1+x))/x =1	или	lim (ln(1+x))=0
x→0		x→0
Небольшой пример:

lim (e-1)/x=4 lim (e-1)/4x=4

x→0 x→0

(е в степени 4х)

-5 lim (ln(1-5x))/(-5x)=-5

x→0

↑ назад в содержание ↑

25.Расскажите о методах вычисления пределов основных типов. Приведите примеры.

↑ назад в содержание ↑

26.Дайте определение непрерывной функции. Приведите примеры.

Непрерывность функции
Определение	1. Функция f(x)	называется непрерывной в	точке x0,
если	.

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим (приращение аргумента) и (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Примеры:

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция задаваемая формулой

непрерывна в любой точке Точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

Функция знака

Функция

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке .

Точка x = 0 является точкой разрыва первого рода, причём

,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

является всюду непрерывной, кроме точки x = 0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x = 0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел, поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

↑ назад в содержание ↑

27.Что такое односторонние пределы и точки разрыва? Приведите примеры.

Случается так, что функция при приближении к некоторой точке a с различных сторон (слева, справа)

Неограниченно приближается к различным значениям b1 и b2. Для формулировки этой и подобных ситуаций и вводится понятие односторонних пределов.

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел слева b1, если

> 0 > 0 − , −			<
		1

Говорят что функция f(x), имеет в точке a предел справа b2, если

> 0 > 0 , +		−	<
		2

Примеры:

1)= sin , = 0

a) lim→+0 ( ) =

lim

sin

=

lim

sin

= 1 (предел справа, +0)

→+0

→+0

б) lim→−0 ( ) =

lim

sin

=

lim

sin

= −1 (предел слева,-0)

−

→−0

→−0

2)

=

1

, = 0

а)

lim

1

=

2

→+0

б)

lim

1

= −

→−0

2

3) =

2−3 +2

|−1|

a)

lim

2−3 +2

=

lim

−1

(−2)

=

lim − 2 = −1

|−1|

−1

→1+0

→1+0

→1+0

б)

lim

2−3 +2

= lim

−1

(−2)

=

lim − 2 = 1

|−1|

−1

→1−0

→1−0

→1−0

Определение: a – точка разрыва для функции f(x), если:

1)F(x) определена хотя бы на (a – ,a+ ) за вычетом возможных самой точки a

2)lim→ = ( ) НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ