Лекция №4.

Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

Синусоидальный ток– ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону, имеющего следующий вид:, где- амплитудное (максимальное) значение тока за период,;- угловая частота,;- частота (число колебаний в секунду),;- период (время, за которое происходит одно полное колебание),;- фаза, которая характеризует состояние колебания синусоиды в момент времени;- начальная фаза (фаза в момент времени).

Любая синусоидальная функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Действующее значение синусоидально изменяющейся величины обозначается за и находится по следующей формуле:. На это значение реагируют приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости.

Осьназывается осью действительных чисел, а осьназывается осью комплексных чисел.

Нарисуем единичный вектор на комплексной плоскости . Комплексное числобудет изображаться вектором, который численной равен единице и составляет с осью действительных чисел угол, который отчитывается от оси действительных чисел против часовой стрелки в положительном направлении.

По формуле Эйлера: . Умноживнаполучим вектор, который будет враз больше единичного вектора:.

Пусть , тогда, где ток- коэффициент при мнимой части комплексного числа, который также является проекцией вращающегося с частотойвектора на ось комплексных чисел.

На комплексной плоскости принято векторы синусоидально изменяющихся во времени величин изображать для момента времени . Подставив, получим, где- комплексная амплитуда тока, которая изображает токна комплексной плоскости в момент времени.

Комплекс действующего значения: .

Пример:

Даны мгновенные значения токов:

;

;

;

Требуется:

1. Построить графики мгновенных значений.

2. Записать комплексные амплитуды и комплексные значения этих токов.

3. Построить вектора токов на комплексной плоскости.

Ток опережает токпо фазе на, поэтому началосдвинуто влево на величину. Токотстаёт от токана, поэтому его начало сдвинуто вправо на величину.

Комплексные амплитуды токов: находятся следующим образом:

;

;

.

Комплексы действующих значений токов, находятся следующим образом:

;

;

.

Дан комплекс действующего значения тока .

Требуется записать мгновенное значение тока.

Мгновенное значение тока будет иметь следующий вид: .

Элементы цепи синусоидального тока.

Элементами цепи синусоидального тока являются: резистор (сопротивление ), катушка индуктивности (индуктивность) и конденсатор (ёмкость). Сопротивление переменному току оказывают не только те элементы, в которых выделяется энергия в виде тепла, но и те элементы, в которых энергия не выделяется, а периодически запасается в электрических или магнитных полях. Такие элементы называются реактивными. Реактивными сопротивлениями являются индуктивность и ёмкость.

Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Мгновенное значение тока имеет следующий вид: . По закону Ома можно найти напряжение на активном сопротивлении:, где- амплитудное напряжение. Комплекс действующего значения тока:. Комплекс действующего значения напряжения:.

На активном сопротивлении, то есть на резисторе, ток и напряжение совпадают по фазе, или, другими словами, разность фаз между током и напряжением равна нулю.

Мгновенная мощность определяется по формуле: . Так как ток и напряжение совпадают по фазе, то, очевидно, что мгновенная мощность всегда будет иметь положительное значение.

Схема замещения катушки индуктивности.

Допустим, что потери аналогичны.

Если через катушку индуктивности течёт синусоидальный ток , то в катушке возникает ЭДС самоиндукции:.

Положительное направление ЭДС самоиндукции совпадает с положительным направлением тока.

Найдём разность потенциалов между точкамии:

;

;

, где- индуктивное сопротивление, которое прямо пропорционально частоте.

Положительное направление напряжения совпадает с положительным направлением тока. Комплекс действующего значения тока: . Комплекс действующего значения напряжения:. Комплекс действующего значения ЭДС самоиндукции:. Построим эти три вектора на комплексной плоскости:

Вывод: Напряжение на катушке наопережает по фазе ток, а ЭДС самоиндукции напо фазе отстаёт от тока.

Мгновенная мощность определяется по формуле: . Энергия от источника в интервалепоступает на создание магнитного поля в катушке индуктивности, а на интервалеэнергия возвращается в источник.

Учтём активные потери:

Построим векторную диаграмму для этого участка. Так как ток будет одним и тем же, то построение диаграммы можно начать с построения вектора тока. Вектор напряжений строится по второму закону Кирхгофа:. Видно, что угол- положительный, что характерно для индуктивного типа цепи.