Часть II Виды средних величин и порядок их вычисления

Средние величины являются наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально – экономических исследованиях. Средняя дают обобщенную характеристику, и ее можно во многих случаях определить через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС=

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака - веса:

а) невзвешенная средняя величина;

б) взвешенная средняя величина.

2. По форме расчета:

а) средняя арифметическая величина;

б) средняя гармоническая величина;

в) средняя геометрическая величина;

г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

3. По охвату совокупности:

а) групповая средняя величина;

б) общая средняя величина.

Средние величины различаются в зависимости от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

Если средняя величина рассчитывается для признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая средняя величина называется средней невзвешенной или простой средней.

Если имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

Средние, которые применяются в статистике, относятся к классу степенных, общая форма которых имеет вид²:

В зависимости от значения m определяется вид средней:

m=1 - средняя арифметическая

m=2 - средняя квадратическая

m=3 - средняя кубическая

m=-1 -средняя гармоническая

m=0 - средняя геометрическая

Следует отметить, что вид средней зависит от цели исследования и исходной информации.

- правило мажорантности. Это соотношение будет сохраняться при любых значениях признаков.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая является самым распространенным видом средней. Поэтому, когда речь идет о средней величине и не указывается ее вид, то чаще всего подразумевается именно средняя арифметическая. Она применяется, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Она может быть простой и взвешенной.

Простая средняя арифметическая. Простой средней арифметической называется сумма данных величин, деленная на их число.

Если даны величины то их средняя арифметическая есть³:

.Простая средняя арифметическая применяется тогда, когда каждое явление, характеризующее индивидуальное значение варьирующего признака, встречается в совокупности один раз, т.е. не повторяется или повторяется одинаковое число раз. Простая средняя применяется для сгруппированных данных.

Приведем пример. В зависимости от условий и качества работы месячная заработная плата аппаратчиков колеблется от 12 до 16 тысяч рублей и принимает следующие размеры: 12000, 13000, 14000, 15000 и 16000 рублей.

В этом примере данные о значении признака встречаются один раз , и поэтому средний размер заработной платы следует рассчитывать по формуле средней арифметической простой.

=

Средняя арифметическая взвешенная применяется тогда, когда каждое значение варьирующего признака встречается в совокупности по несколько раз. При этом используются веса или частота признака f:

В целом, использование частот в работе с большими числами позволяет упрощать расчеты, когда частота выражена большими, многозначными числами.

Далее перечислим свойства средней арифметической⁴:

1. Средняя постоянной величины равна ей самой

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты:

3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину:

4. Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в столько же раз:

5. Изменение каждого из весов в одно и то же число раз не изменяет величины средней:

6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна нулю:

7. Средняя суммы равна сумме средних:

8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любых других величин:

Существует также упрощенный способ расчета арифметической (способ моментов). Среднюю арифметическую можно рассчитать следующим образом, используя ее свойства:

1. Вычесть из всех вариант постоянное число (середина ряда, любое значение варианты)

2. Разделить полученные разности на постоянное число (величину интервала)

3. Частоты выразить в долях

4. Применить способ отсчета от условного начала (момента)

m – момент первого порядка

- начало отсчета

d – величина интервала

k – величина интервала всего ряда