2. Основы теории

Режим работы электрической цепи, включающей в себя катушки индуктивности и конденсаторы, для которой эквивалентное (входное) реактивное сопротивление или эквивалентная (входная) реактивная проводимость равна нулю, называется резонансным режимом.

X_Э=0, B_Э=0.

Электрическая цепь в резонансном режиме ведет себя как чисто активное сопротивление по отношению к внешней цепи, то есть напряжение и ток на входе цепи находятся в фазе (совпадает по фазе).

Различают два вида резонанса - резонанс напряжений и резонанс токов.

2.1. Резонанс напряжений

Резонанс, возникающий в цепи (рис. 1), где катушка индуктивности и конденсатор включены последовательно, называется резонансом напряжений.

Полное комплексное эквивалентное сопротивление такой цепи:

Z_Э = R_Э + jX_Э = R_К + jX_К - jX_С = R_К + j(X_К - X_С) = R_К+ j(w×L - 1/w×C).

(1)

Рис. 1. Электрическая схема для исследования резонанса напряжений

Приравнивая нулю мнимую часть (Z_Э = 0), определим условие резонанса напряжений:

X_Э = X_К – X_С = w_Р×L - 1/w_Р×С = 0, т.е. X_К = X_С или w_Р×L = 1/w_Р×С, (2)

где w_Р - резонансная частота.

Из выражения (2) следует, что резонанса напряжений можно добиться меняя частоту напряжения источника питания, либо величину индуктивности или емкости.

Первый случай называется частотным резонансом, два других - параметрическими.

Проведя анализ выражения (2), запишем значения параметров, при которых наступит резонанс напряжений:- резонансная частота,- резонансная индуктивность,- резонансная емкость, гдеw - частота источника питания.(3)

Индуктивное (или емкостное) сопротивление в момент частотного резонанса называется характеристическим сопротивлением, обозначается буквой r и определяется из выражений (2) и (3).

(4)

Сила тока, протекающего в цепи в момент резонанса, будет максимальной,

и равной: (5)

Падения напряжений на катушке и конденсаторе практически будут равны между собой: Z_К×I_Р @ X_С×I_Р, U_К @ U_С. (6)

Напряжения на конденсаторе и катушке при определенных значениях емкости достигают своих максимальных значений U_{C MAX} и U_{К MAX}, которые определяются по формулам:

Теоретические исследования данных формул показывают,что напряжение на конденсаторе достигает U_{С MAX} при С¢< С_Р и U_{С MAX} > U_{К MAX}.

Если считать катушку индуктивности идеальной (т.е. R_К=0), то напряжения на катушке и конденсаторе будут равны между собой:

X_К×I_Р =X_С ×I_Р, U_К = U_С , где U_К = U_Хк = X_К× I_Р. (7)

Идеальный резонанс напряжений эквивалентен короткому замыканию входных зажимов цепи (т.к. I_P=U/R_К=U/0=¥).

Отношения напряжения на катушке индуктивности (или конденсаторе) к входному напряжению в режиме резонанса называют добротностью контура:

либо

(8)

Добротность (q) показывает во сколько раз напряжение на катушке индуктивности (или конденсаторе) выше входного напряжения и зависит от параметров катушки и конденсатора.

Запишем второй закон Кирхгофа для данной цепи (рис. 1) в комплексной форме: (9)

Представим выражение (9) на комплексной плоскости для трех случаев:

до резонанса (U_К<U_С);в момент резонанса (U_К @U_С); после резонанса (U_К>U_С), то есть построим векторные диаграммы напряжений (рис. 2).

+1

Рис.2. Векторные диаграммы напряжений.