Как следует из векторной диаграммы напряжений (рис.2) в режиме резонанса напряжений, вектор входного тока ip совпадает по фазес вектором входного напряженияU, т.Е. Фазовый сдвиг между этими векторами:

где: - начальная фаза входного напряжения; - начальная фаза входного тока. (10)

В режиме резонанса эквивалентная реактивная мощность всей цепи равна:

(11)

а эквивалентная полная мощность цепи становится чисто активной мощностью:

. (12)

2.2. Резонансные кривые резонанса напряжений

В данной работе исследуется параметрический резонанс за счет изменения емкости в цепи.

При исследовании параметрического резонанса напряжений строятся резонансные кривые I(C), U_К(C), U_С(C), j_Э(C), cosj_Э(C) - (рис. 3), согласно следующим формулам:

,

,

,

,

.

Рис. 3. Резонансные кривые тока I, напряжения на реальной катушке индуктивности U_К, напряжения на конденсаторе U_С, фазового сдвига j_Э, коэффициента мощности cos j_Э от емкости конденсатора С при исследовании резонанса напряжений.

В электроэнергетических установках (устройствах) в большинстве случаев резонанс напряжений - явление нежелательное, связанное с возможным возникновением перенапряжения, т.е. напряжением, в несколько раз превышающим рабочее (номинальное) напряжение установки (например, на обмотках трансформаторов, двигателей и т.д.). Но в радиотехнике, телефонии, телеметрии, автоматики и т.п. - явление резонанса напряжений широко используется (например, для настройки цепи на определенную частоту, в резонансных фильтрах и т.д.).

2.3. Резонанс токов

Резонанс возникающей в цепи (рис. 4), где катушка индуктивности и конденсатор включены параллельно, называется резонансом токов.

Рис. 4. Электрическая схема для исследования резонанса токов.

Полная комплексная эквивалентная проводимость такой цепи:

где - соответственно активная и реактивные проводимости катушки и конденсатора. (13)

Приравнивая мнимую часть выражения (13) к нулю, определяем условие резонанса токов:

т.е. или(14)

где _Р - резонансная частота.

Сила тока на входе резонансного контура в момент резонанса будет минимальной и равной:

(15)

Токи, протекающие в параллельных ветвях практически равны между собой: I_К  I_С, т.к. Y_КU  B_СU, где (16)

Если считать катушку индуктивности идеальной (R_К = 0), тогда токи в катушке и конденсаторе будут равны между собой:

I_К = I_С , т.к. Y_К U = B_С U и B_К U = B_С U, где

(17)

Идеальный резонанс токов эквивалентен разрыву (холостому ходу) в цепи (т.к. I_P=G^_КU =0U=0).

Запишем первый закон Кирхгофа для исследуемой цепи в комплексной форме: I = I_К +I_C = Y_КU + Y_CU = (G_К –jB_К)U + jB_CU= = G_КU –jB_КU + jB_CU = I_Rк + I_Хк + I_C , (18)

где I_Rк = G_КU - активная составляющая тока катушки;

I_Хк = –jB_КU - реактивная составляющая тока катушки, а I_Rк + I_Хк = I_К

Представим первый закон Кирхгофа (18) на комплексной плоскости для трех случаев: до резонанса (I_К >I_С); в момент резонанса (I_К  I_С); после резонанса (I_К >I_С), т.е. построим векторные диаграммы токов (рис. 5).

Как следует из векторной диаграммы токов (рис. 5), в режиме резонанса токов, вектор входного напряжения U совпадает по фазе с вектором входного тока I_P = I, т.е. фазовый сдвиг между этими векторами:

_Э = _U - _I = 0

В режиме резонанса эквивалентная реактивная мощность всей цепи равна: Q_Э = Q_К – Q_С = B_К U² - B_СU² = 0, (19)

а эквивалентная полная мощность цепи

- чисто активная. (20)

+1

Рис. 5. Векторные диаграммы токов.

2.4. Резонансные кривые резонанса токов

При исследовании параметрического резонанса токов строятся резонансные кривые I_С(С), I_К(С), I(С), _Э(С), cos_Э(С) (рис.6).

Рис. 6. Резонансные кривые тока конденсатора I_С, тока реальной катушки индуктивности I_К, входного тока I, фазового сдвига _Э, коэффициента мощности cos _Э от емкости конденсатора С при исследовании резонанса токов.

Резонансные кривые (рис.6) построены согласно следующим выражениям: I_С(C) = B_С U = CU,

Отметим, что резонанс токов, в отличие от резонанса напряжений (вызывающего перенапряжение в электрических установках) безопасен для электроэнергетических установок и в частности может быть использован для компенсации реактивной мощности в них. Большие токи в цепях при резонансе токов возникают лишь в том случае, если созданы большие реактивные проводимости ветвей, т.е. установлены большие батареи конденсаторов или мощные реактивные катушки.

2.5. ПОВЫШЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА МОЩНОСТИ

Коэффициент мощности (cos ) – один из основных энергетических показателей электротехнических установок.

Повышение cos  приводит к снижению потерь при транспортировке электрической энергии от источника к приемникам, а также к увеличению коэффициента полезного действия (КПД) установок.

Как известно, коэффициент мощности можно определить из треугольника мощностей по формуле:

(21)

где  - сдвиг фаз между векторами напряжения U и тока I; S - полная мощность цепи; Р – активная мощность цепи; Q_L – индуктивная мощность, Q_С – емкостная мощность; Q=Q_L-Q_C=UIsin=UI_X - реактивная мощность цепи, а I_X=Isin - реактивная составляющая реального тока I (этот ток просто называют реактивным током).

Как следует из формулы (21) для повышения cos  необходимо снижать реактивную мощность Q, однако в двигателях переменного тока (асинхронных двигателях) для получения вращающего момента используется взаимодействие вращающего поля статора и проводников с током ротора; следовательно, таким машинам необходим переменный намагничивающий реактивный ток I_X (т.е. реактивная мощность Q=UI_X) для создания вращающегося магнитного поля, а это ухудшает коэффициент мощности cos  промышленных установок предприятий. Низкое значение коэффициента мощности вызывает неполное использование мощности генераторов, линий электропередач и трансформаторов. Они бесполезно загружаются реактивным током I_X. Наличие реактивного тока I_X обуславливает увеличение потерь Р_ЛИН в проводах при передаче электрической энергии. Эти потери:

, (22)

складываются из потерь при передаче активного тока I_R и бесполезных потерь при передаче реактивного тока I_X. Последние вызываются перемещениями энергии из магнитных полей двигателей на электрические станции и генераторы и обратными перемещениями.

Использования резонанса токов дает возможность разгрузить источник энергии и передающие устройства от этих бесполезных колебаний электрической энергии, а следовательно, и от реактивного тока I_X, замкнув колебания электрической энергии в резонансном контуре, образуемом конденсаторами с емкостью С и катушкой с индуктивностью L. Практически эта разгрузка осуществляется включением параллельно двигателям с эквивалентными параметрами (R_ПР, Х_ПР) батареи конденсаторов с емкостью С (см. рис. 7).

Рис.7. Схема и векторная диаграмма компенсации сдвига фаз.

Реактивная (емкостная) мощность Q_C последних для полной компенсации сдвига фаз  должна быть равна реактивной (индуктивной) мощности двигателей Q_L = UI_прsin  .

В большинстве случаев осуществляется неполная компенсация сдвига фаз, так как наличие небольшого реактивного тока I_X при cos  0,95 значений не имеют потому что , аполная компенсация требует дополнительной установки значительной емкости (дополнительной батареи конденсаторов), что часто экономически не оправдывается.

Обычно задано то значение cos , которое должна иметь электротехническая установка после компенсации; если исходные значения тока приемника I_ПР и его cos _ПР известны (как правило эти значения указываются в паспортных данных электротехнических установок), то необходимое значение емкости С батареи конденсаторов определяется на основании следующего.

Для того чтобы уменьшить сдвиг фаз _ПР до значения  необходимо как показывает векторная диаграмма (см. рис. 7), уменьшить результирующий реактивный ток установки на величину I_Xпр-I_X; здесь I_Xпр – реактивный ток установки до компенсации, а I_X – реактивный ток после компенсации.

Активный ток I_R связан с реактивным I_X простым соотношением I_X = I_Rtg, кроме того активный ток можно выразить через активную мощность Р и напряжение U установки (приемника):

(23)

Активный ток при компенсации остается без изменения I_Rпр= I_R=const (см. рис.7) Выполняя соответствующие подстановки, можно выразить искомую разность реактивных токов следующим образом:

(24)

Этой разности должен быть численно равен емкостной ток I_С необходимый для компенсации:

(25)

Так как согласно закону Ома емкостной ток связан с емкостью соотношением: (26)

следовательно, необходимая для компенсации емкость:

(27)

Улучшение коэффициента мощности (cos ) посредством включения конденсаторов (батареи конденсаторов) именуется искусственным улучшением коэффициента мощности в отличие от естественного улучшения, получаемом при полном использовании мощности двигателей и установки двигателей не потребляющих реактивный ток (синхронных двигателей).

Пример. Согласно паспортным данным Р_ПР = 500 кВт, U_ПР = 10 кВ, cos _ПР = 0,8.

При данных параметрах электротехнической установки ток, потребляемый из сети

Для получения той же активной мощности приемника Р_ПР (для совершения той же полезной работы) при повышении коэффициента мощности до cos  = 1, ток потребляемый из сети будет равен

Следовательно, при повышении коэффициента мощности электротехнической установки до cos  = 1, ток, потребляемый из сети, уменьшается в 1,25 раза, что естественно приводит к уменьшению потерь в линиях электропередач, (см. формулу 22) и повышению КПД электротехнических установок, а также существенно разгружает работу источников и линий электропередач.