lek5

ЧАСТЬ 5. ФИЗИКА МАКРОСИСТЕМ

МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ МАКРОСИСТЕМ Объектом изучения являются системы, состоящие из очень большого

числа частиц: молекул, атомов, электронов, фотонов и других частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме (порядка 1022 ÷ 1023) приводит, несмотря на очевидный хаос, к появлению новых статистических закономерностей. Эти закономерности делают возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц системы.

Необходимость исследования совместного поведения огромного числа частиц привела к разработке двух радикально отличающихся друг от друга методов изучения макросистем: статистического и термодинамического.

Статистический метод устанавливает связь между поведением макросистемы в целом с поведением и свойствами отдельных частиц, оперирует средними значениями механических параметров и опирается на законы теории вероятностей.

Термодинамический метод описывает только поведение макросистемы в целом, использует так называемые термодинамические параметры: температуру T, давление p, объем V и другие. При этом термодинамический метод базируется на общих принципах или началах, которые представляют собой обобщение многочисленных экспериментальных данных, в частности, на законе сохранения энергии.

Статистический и термодинамический методы взаимно дополняют друг друга.

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ Каждая из частиц макросистемы в данный момент времени находится в

определенной точке и обладает определенным импульсом. Это конкретное состояние каждой из всех частиц макросистемы является одним из возможных состояний макросистемы в целом и называется микросостоянием. Со-

стояние всей макросистемы в целом называется макросостоянием. Каждое макросостояние реализуется большим числом микросостояний. Все допустимые микросостояния считаются равновероятными. Из всех возможных макросостояний системы наиболее вероятным является то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.

В классической статистике даже тождественные (абсолютно одинаковые) частицы считаются принципиально различимыми, поскольку классические частицы движутся по определенным траекториям, и за каждой из них в принципе можно проследить. Два состояния, в которых две тождествен-

ные частицы поменялись местами друг с другом, считаются различны-

ми.

Квантовые объекты подчиняются квантовым статистикам: частицы с полуцелым спином – фермионы – подчиняются статистике Ферми – Дирака, частицы с целым спином – бозоны – подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна. В квантовых статистиках тождественные частицы считаются прин- ципиально неразличимыми, ведь для них не существует понятие траектории, и за ними в принципе нельзя проследить. Два состояния, в которых две тождественные частицы поменялись местами друг с другом, счита-

ются одним состоянием.

В квантовой статистике Ферми – Дирака в каждом квантовом со- стоянии может находиться не более одной частицы, поскольку фермионы подчиняются принципу запрета (принципу Паули). В квантовой статистике Бозе – Эйнштейна в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц.

Классической статистике подчиняются молекулы газов. С помощью классической статистики построена молекулярно – кинетическая теория газов. Квантовой статистике Бозе – Эйнштейна подчиняются фотоны. С помощью этой статистики построена теория теплового излучения. Квантовой статистике Ферми – Дирака подчиняются электроны. С помощью этой статистики построена теория теплопроводности и электропроводности металлов.

ПРИМЕРЫ МИКРОСОСТОЯНИЙ В РАЗНЫХ СТАТИСТИКАХ Пусть некоторое макросостояние представляет собой возможные раз-

мещения двух тождественных частиц a и b в трех квантовых состояниях (ячейках). Покажем, какими микросостояниями может быть реализовано это макросостояние в трех статистиках. Поскольку в квантовых статистиках две частицы принципиально неразличимы, они обозначены кружочками.

			Классическая статистика
a	b			b	a			a b
a		b		b		a			a b
	a	b			b	a				a b

Статистика

Бозе – Эйнштейна

Статистика

Ферми – Дирака

Как видно из рисунков, в классической статистике заданное макросостояние может быть реализовано девятью микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/9. В квантовой статистике Бозе – Эйнштейна – шестью микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/6, и в квантовой статистике Ферми – Дирака – тремя микросостояниями с вероятностью каждого, равной 1/3.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ И ПРОЦЕССЫ Рассмотрим макросистему, представляющую собой газ, находящийся в

некотором сосуде объема V. Состояние этой макросистемы характеризуется величинами, которые называются термодинамическими параметрами. Это давление р, температура Т и объем V.

Если во всех точках объема газа его давление и температура одинаковы, то состояние макросистемы называется равновесным. Из неравновесного состояния изолированная система сама приходит в равновесное состояние спустя время, которое называется временем релаксации. На рисунке ниже изображен для примера процесс 1 – 2. Если процесс изменения состояния системы происходит в течение времени, много большего, чем время релаксации, то такой процесс является равновесным процессом.

p Равновесный процесс может быть проведен в обратном направлении (2 – 1),

2	причем через те же промежуточные
	состояния (по той же кривой). В таком
	случае процесс является обратимым.
1	Равновесные процессы всегда явля-
	ются обратимыми
0	V

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодейст-

вуют друг с другом. Количество вещества (газа) измеряется в молях. Количеством вещества называется отношение числа молекул вещества N к числу

Авогадро NA = 6,0·1023 1 :

моль

ν = N .

N A

Уравнение, связывающее между собой параметры состояния данного количества газа, называется уравнением состояния. Уравнение состояния идеального газа запишем без вывода:

					pV = νRT	.
	Здесь R = 8,3	Дж	–	универсальная газовая постоянная. Это уравнение
		моль К

получено с помощью статистического метода. Согласно уравнению состоя-

ния произведение давления газа на его объем прямо пропорционально температуре газа.

ВНУТРЕНЯЯ ЭНЕРГИЯ

Внутренней энергией U макросистемы называется величина, состоящая

из

1)суммарной кинетической энергии всех частиц системы в системе отсчета, связанной с самой макросистемой;

2)потенциальной энергии взаимодействия частиц макросистемы друг с

другом;

3)внутренней энергии самих частиц системы.

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ Первое начало термодинамики есть не что иное, как закон сохранения

и превращения энергии применительно к механическим и тепловым процессам. Внутреннюю энергию макросистемы можно изменить, совершив над

ней работу А′ внешними силами или подведя к ней некоторое количество теплоты Q путем теплопередачи:

U 2 − U1 = A′ + Q .

Работа А, совершенная при этом самой системой, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил: А = – А′. Подставив в уравнение работу самой системы и изменив порядок членов, получим уравнение первого начала термодинамики:

Q = U + A

в интегральной форме. В дифференциальной форме для бесконечно малых величин это уравнение будет выглядеть так:

δQ = dU + δQ .

Перед количеством теплоты в этой формуле стоит знак δ, поскольку теплота, как и работа, зависит от пути перехода из одного состояния в другое и не является дифференциалом.

Процесс изменения состояния макросистемы, происходящий без подвода и отвода теплоты, называется адиабатическим. Уравнение адиабатического процесса: δQ = 0.

				РАБОТА ГАЗА
				Согласно определениям элементар-
p				ной работы и давления имеем:
				δA = F dx =		p	S dx = p dV .
1		2
						S
		A		Таким образом, элементарная работа газа
				при изменении его объема равна:
0 V1		V2		V	δA = p dV			.

Работа газа при изменении его объема от V1 до V2 равна

V2

A = ∫ p dV .

V1

Вспомним, что работа газа при изменении его объема от V1 до V2 зависит от процесса, и запишем выражения для работы газа в некоторых процессах:

Ap = p(V2 − V1 ) – работа в изобарическом процессе;

AV = 0 – работа в изохорическом процессе;

A = νRT ln V2 работа в изотермическом процессе;

T

V1

Aад = − U работа в адиабатическом процессе.

КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ Элементарное количество теплоты равно произведению количества

вещества на мольную теплоемкость системы и на приращение ее температуры:

δQ = ν c dT ,

откуда мольная теплоемкость равна

c =	δQ	,	Дж	.
	ν dT
			моль К

Количество теплоты, как и работа, зависит от процесса. Запишем выражения для количества теплоты, подведенного к газу в некоторых процессах:

δQ p = ν c p dT – в изобарическом процессе;

δQV = ν cV dT – в изохорическом процессе;

δQT = A – в изотермическом процессе.

В этих формулах c p – мольная изобарная теплоемкость и cV – мольная изо-

хорная теплоемкость. Эти мольные теплоемкости в теории идеального газа считаются постоянными.

В изохорическом процессе работа равна нулю, и количество подведенной к газу теплоты равно изменению его внутренней энергии:

ν cV dT = dU ,

откуда следует формула для внутренней энергии газа:

, где k = 1,4·10–23

U= νcV T .

Спомощью первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа можно доказать, что

c p − cV = R .

Имеем для изобарического процесса:

νc p dT = νcV dT + pdV ,

откуда после деления на νdT и исключения из формулы давления получим:

c p = cV + pdV = cV + νRdT = cV + R , νdT νdT

поскольку при постоянном давлении из уравнения состояния следует, что

pdV = νRdT .

ЗАКОН РАВНОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

Внутренняя энергия идеального газа – это суммарная кинетиче-

ская энергия его молекул, поскольку молекулы не обладают потенциальной энергией, так как не взаимодействуют друг с другом. Кроме того, мы будем пренебрегать внутренней колебательной энергий молекул, состоящих из нескольких атомов. Эксперимент показывает, что такое допущение вполне приемлемо, так как при температурах, меньших 1000 К, колебательное движение не возбуждается. Запишем выражение для средней кинетической энергии одной молекулы, применив к ней модель абсолютно твердого тела:

m

v 2

m0 v y2

m

v 2

I

ω 2

I yω y2

I

ω 2

(E )

=

0

x

+

+

0

z

+

x

x

+

+

z

z

.

0 ср

2

2

2

2

2

2

ср

Имеем шесть равноправных слагаемых, называемых степенями свободы. Все эти слагаемые должны быть одинаковыми по величине. Отсюда

следует закон равнораспределения энергии по степеням свободы молекул: на каждую степень свободы молекулы в среднем должно приходиться одно

и то же количество энергии, равное kT Дж/К – константа

2

Больцмана.

Число степеней свободы обозначается буквой i. У одноатомной молекулы есть только три поступательные степени свободы, поскольку материальная точка не может вращаться. Поэтому у одноатомной молекулы i = 3. Моделью двухатомной молекулы является отрезок, который не может вращаться вдоль своей оси. Поэтому двухатомная молекула имеет три поступательные и две вращательные степени свободы, и у двухатомной молекулы i = 5. Если у трехатомной молекулы три атома не лежат на одной прямой, она имеет все шесть степеней свободы, и у трехатомной молекулы i = 6. Эксперименты показывают справедливость этих расчетов.

С учетом числа степеней свободы средняя энергия одной молекулы идеального газа будет равна

(E0 )ср = ikT .

2

Произведение константы Больцмана на число Авогадро и есть универсальная газовая постоянная. kN A = R , поэтому произведение константы Больцмана на число молекул будет равно:

kN = k ν N A = νR .

Отсюда внутренняя энергия идеального газа будет равна

U = iνRT .

2

При этом изохорная теплоемкость идеального газа будет равна

cV = iR ,

2

а изобарная теплоемкость идеального газа будет равна

c p = (i + 2)R .

2

ТЕПЛОВОЙ ДВИГАТЕЛЬ Рассмотрим принцип работы теплового двигателя – устройства, систе-

матически превращающего теплоту в работу. Теплота – особая форма энергии, и эта особенность обусловлена огромностью числа частиц в макросис-

теме. Работа в тепло переходит самопроизвольно, а самопроизвольный переход теплоты в работу крайне невероятен и практически невозможен.

В работу можно превращать часть теплоты, подведенной к рабочему телу – газу, заставив его совершать цикл, состоящий из расширения и последующего сжатия до первоначального состояния.

p

Q1

Aплз

Q2

Расширяясь от объема V1 до объема V2, газ cовершает положительную работу, сжимаясь – отрицательную. Для получения полезной работы Аплз давление газа при расширении должно быть больше, чем при сжатии.

Аплз = Арасш − Асж .

0 V1

V2 V

Повышение давления газа при расширении обеспечивается подведением к нему количества теплоты Q1 от нагревателя. Для понижения давления газа при сжатии у него нужно отобрать количество теплоты |Q2|, передав его холодильнику. Заметим, что для газа величина Q2 отрицательна, и потому взята в модульные скобки.

Поскольку в конце цикла газ возвращается в первоначальное состояние, изменение его внутренней энергии равно нулю, и, согласно первому началу термодинамики, полезная работа будет равна разности модулей количеств теплоты:

Aплз = Q1 − Q2 .

Коэффициентом полезного действия (кпд) теплового двигателя называется отношение полезной работы к количеству подведенной к рабочему телу теплоты:

	A		Q1 −	Q2			Q2
η =	плз	=				= 1 −			.
	Q1		Q1				Q1