lek3

ЧАСТЬ 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ВОЛНЫ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД

Электрический заряд – это внутреннее свойство электронов (e), протонов (p) и многих других элементарных частиц. Электрический заряд частицы поддается количественному измерению, так как сила электромагнитного взаимодействия прямо пропорциональна электрическому заряду. Наименьший по величине экспериментально обнаруженный электрический заряд, равный

e = 1,6 10 −19 Кл,

получил название «элементарный заряд». Электрон обладает элементарным отрицательным зарядом, а протон – элементарным положительным зарядом:

qe = −e , q p = e .

Если в теле число электронов равно числу протонов, то тело не заряже-

но. Именно электроны могут переходить с одного тела на другое. Тело заряжено положительно, если часть электронов удалена из него, а заряжено отрицательно, если число электронов в теле больше числа протонов в нем. Этот недостаток или избыток электронов составляет сторонний заряд тела. Когда мы будем говорить о заряженных телах, мы будем иметь в виду именно сторонний заряд. Часто зарядом называют само заряженное тело.

ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ Проводники электрического тока – это тела (вещества), в которых

имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы: электроны или ионы, – которые могут перемещаться вдоль тела. Все металлы являются проводниками.

Диэлектрики – это вещества, в которых нет свободных носителей заря-

да. Они являются изоляторами. В диэлектрике электрическое поле ослаб-

ляется в ε раз.

Величина ε называется диэлектрической проницаемостью. В вакууме и воздухе ε = 1, в диэлектрике ε > 1, в металле ε → ∞ (электрическое поле в металле ослабляется до нуля).

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА Взаимодействие между электрически заряженными телами осуществ-

ляется через электрическое поле. Схема взаимодействия изображена ниже на рисунке.

создает		действует
заряд	Электрическое	заряд
+		+
	поле
действует		создает

Взаимодействие точечных зарядов в вакууме подчиняется закону Ку-

лона:

	F =	1	q1 q2	,
		4πε 0	r 2

где ε0 = 8,9·10-12 Ф/м – электрическая постоянная. Согласно закону Кулона

сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна модулю произведения величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Заряды одного знака отталкиваются,

а противоположные по знаку заряды притягиваются.

Электрическая кулоновская сила – сила прямого действия, она направлена вдоль прямой, на которой расположены точечные заряды, как это показано ниже на рисунке. В векторной форме закон Кулона выглядит следующим образом:

+	+	F
			r	1			q q	2	r
			F =			1			e	,
				4πε			r 2		r
q1	r1-2 q2
					0		1−2

r

где r = r1−2 – единичный направляющий вектор, направленный вдоль радиу-

er

r1−2

са – вектора r1-2.

Закон Кулона применим и для взаимодействующих проводящих шаров, где r1-2 – расстояние между центрами шаров.

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ

Электростатическое поле – это поле, созданное неподвижными за-

рядами. Поле способно действовать с некоторой силой на любой точечный заряд, помещенный в это поле. Эта способность не зависит от помещенного заряда, а является свойством самого поля. Мера этого свойства является силовой характеристикой поля. Силовая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется напряженностью. Напря-

женность электрического поля в некоторой его точке – это вектор, рав-

ный вектору силы, действующей со стороны поля на точечный положи-

тельный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленному на величину этого заряда:

	r	F	,	Н	.
	E =
		q+		Кл

Эта формула определения напряженности используется для расчета силы, действующей на точечный заряд, а не для расчета напряженности.

Точечный заряд, помещенный в электростатическое поле, обладает потенциальной энергией, источником которой является само поле. Поле обладает запасом энергии. Мера этого свойства поля является его энергетической характеристикой. Энергетическая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется потенциалом. Потенциал электрического поля в некоторой его точке равен потенциальной энер-

гии, которой обладает точечный положительный электрический заряд,

помещенный в эту точку, деленной на величину этого заряда:

ϕ= W , Дж = В (Вольт).

q+ Кл

Эта формула используется для расчета потенциальной энергии.

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ Согласно закону Кулона электростатическое поле – это поле цен-

тральных сил и, следовательно, является потенциальным, а электриче- ские силы являются консервативными. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки поля в другую, как и любая работа консервативных сил, равна разности потенциальных энергий этого заряда в поле:

2	r	r
A1−2 = ∫F dr			= W1 − W2 .
1

Разделив это уравнение на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулу связи напряженности с потенциалом в интегральном виде:

2	r	r
∫E dr			= ϕ1 − ϕ 2	.
1

В правой части формулы стоит разность потенциалов первой и второй точек поля. Разность потенциалов двух точек поля – это работа электрического поля по переносу единицы положительного заряда из первой точки поля во вторую.

Используя связь консервативной силы с потенциальной энергией:

r

F= −gradE p

иразделив обе части этого равенства на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулы связи напряженности с потенциалом в дифференциальном виде в векторной форме:

r

E = − gradϕ

и в проекциях на оси координат:

Ex

= −

∂ϕ

,

∂x

E y

= −

∂ϕ

,

∂y

∂ϕ

E

= −

.

z

∂z

1

2 E

Вектор напряженности поля E все-

гда

направлен в сторону уменьшения

φ1

>

φ2

потенциала.

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е Как и любая работа консервативных сил, работа электростатического

поля по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю:

r	r
∫F	dr	= 0 .

l

Используя формулу определения напряженности, получим теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:

rr

∫E dr = 0 .

l

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по лю- бому замкнутому контуру равна нулю. Равенство нулю циркуляции векто-

ра является признаком потенциального характера соответствующего поля.

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА Чтобы получить формулу для расчета модуля вектора напряженности

электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом, используем закон Кулона и определение напряженности.

E =	1				q1q2						=	1				q1	,
	4πε	0		r 2			q	2				4πε	0			r 2

откуда для любого точечного заряда q получим

	r		=	1		q		–
	E			4πε 0		r 2

формулу для расчета модуля вектора напряженности созданного этим зарядом поля в точке с радиусом – вектором r.

EВектор напряженности поля,

+			созданного положительным заря-
q		r	дом,	совпадает по направлению с
	E
–			радиусом – вектором точки.
q		r

Вектор напряженности поля, созданного отрицательным зарядом, направлен в сторону, противоположную радиусу – вектору точки.

Чтобы получить формулу для расчета потенциала поля точечного заряда, используем связь потенциала с напряженностью для центрального поля:

Er = − dϕ . dr

Далее берем неопределенный интеграл:

ϕ = −∫Er

1

q

q

dr =

+ ϕ

∞ ,

2

dr = −∫

4πε 0

r

4πε 0 r

где константа φ∞, – потенциал поля на бесконечности – равна нулю. Итак:

ϕ =	q	–

4πε 0 r

формула для расчета потенциала поля, созданного точечным зарядом q в точке с радиусом – вектором r. Потенциал поля – это число, знак которого совпадает со знаком заряда. Положительный заряд создает вокруг себя электростатическое поле с положительным потенциалом, отрицательный заряд – поле с отрицательным потенциалом.

Каждый точечный заряд создает свое электростатическое поле независимо от других зарядов. Поле, созданное системой точечных зарядов, представляет собой суперпозицию (сумму) полей, созданных каждым из зарядов:

r r	и ϕ = ∑ϕ i .
E = ∑Ei
i	i

СИЛОВЫЕ ЛИНИИ Электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых

линий. Силовые линии – это прямые или кривые линии, в каждой точке которых векторы Е направлены по касательным к этим линиям. Ниже на рисунке изображены силовые линии полей положительного и отрицательного точечных зарядов и силовые линии поля, образованного двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями.

+	–
Е	Е

+

Е

–

Как видно из рисунков, поля положительного и отрицательного точечных зарядов являются центральными (сферически симметричными), а поле, образованное двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями, является однородным: во всех точках поля векторы Е одинаковы, а силовые линии параллельны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Силовые линии показывают не только направление поля, но его силу: там, где силовые линии расположены чаще, там поле сильнее. Однородное поле везде одинаково.

	ПОТОК ВЕКТОРА
	Рассмотрим элементарную площадку
dS	площади dS и вектор а. Проведем к этой
a	площадке с ее лицевой стороны перпендику-
α	ляр (нормаль) и отложим вдоль него вектор
dS	dS, по величине равный площади площадки.
	Угол между этими векторами обозначим α.

Потоком вектора а через элементарную площадку dS называется скалярное произведение векторов а и dS:

r

dΦ = a dS .

Чтобы найти поток вектора через поверхность конечной площади, нужно взять интеграл

r

Φ = ∫a dS .

S

Заметим, что поток – это число.

ТЕОРЕМА ГАУССА Электростатическое поле создается электрическими зарядами, причем

напряженность поля прямо пропорциональна величине заряда. Чем больше заряд, тем больше силовых линий выходит из заряженного тела, и больше поток вектора напряженности. Все это отражено в теореме Гаусса: поток ΦE

вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность S прямо пропорционален электрическому заряду qвнтр, за-

ключенному внутри этой поверхности:

	qвнтр		или	∫	r	r	1		∫
					E	dS =				ρ dV	,
	ε						ε
Φ E =
		0		S				0	V

	где V – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S, а ρ =	dq	–
		dV

объемная плотность заряда. Теорема Гаусса отражает потенциальный ха-

рактер электростатического поля.

	E	В качестве примера покажем, что
		из теоремы Гаусса следует закон Ку-
	S	лона. Для этого окружим точечный за-
	+q	ряд +q сферической поверхностью ра-
	E	диуса r, а заряд расположим в центре
	r	этой поверхности. В этом случае сило-
		вые линии напряженности Е электро-
		статического поля будут перпендику-
		лярны замкнутой поверхности S.

Скалярное произведение векторов будет равно произведению их модулей. Во всех точках этой поверхности векторы Е должны быть одинаковы по модулю, и этот модуль можно вынести из-под знака интеграла. Поток вектора Е

будет равен Φ E = ∫E dS = E 4πr 2 . Подставив его в теорему Гаусса, получим

S

E 4πr 2 =	q		, откуда E =	q			, как и следует из закона Кулона.
						r 2
	ε	0		4πε	0

	ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
	Электрический ток – это направленное движение электрического
заряда.
dq	Пусть элементарный заряд dq, нахо-
	v

дящийся в объеме dV, движется со скоро-

+

стью v.

dV

Произведение объемной плотности заряда ρ = dq на вектор его скорости на-

dV

зывается вектором поверхностной плотности тока: = ρ r . Если движущий-

j v

ся заряд пересекает некоторую поверхность S, то интеграл, взятый по этой

поверхности от скалярного произведения

r

j dS , называется силой тока:

r

r

r

r

r

dq

dr

dq

dr dS

dq

i = ∫ j dS = ∫

dS =

∫

=

,

dt

S

S

dV dt

S

dV

dt

и, следовательно, сила тока равна производной от заряда по времени:

i = dq , Кл = А (ампер).

dt с

СТОРОННИЕ СИЛЫ Электрические силы «толкают» положительный заряд только в сторону

уменьшения потенциала. При круговом токе положительный заряд должен пройти участок от меньшего потенциала к большему. Поэтому для создания кругового тока необходимы так называемые сторонние силы, силы неэлектрической природы, которые будут «толкать» положительный заряд от меньшего потенциала к большему. Такие сторонние силы действуют в источниках тока (см. рисунок внизу) и направлены от «минуса» к «плюсу».

Естор – вектор напряженности поля сторонних

– + сил, направленный от меньшего потенциала к Естор большему.

ЗАКОНЫ ОМА Поверхностная плотность тока прямо пропорциональна суммарной на-

пряженности электрического поля и поля сторонних сил:

r = σ (r + r ).

j E Eстор