lek3

В этой формуле σ – удельная электропроводность, являющаяся коэффициен-

том пропорциональности, а ρ =	1		– удельное электрическое сопротивление.
σ
Разделив левую и правую части уравнения на σ, получим
	r		r r

ρj = E + Eстор –

закон Ома в дифференциальной форме. Закон так называется, поскольку он применим для каждой точки проводящей среды.

Проинтегрируем обе части закона вдоль линии l проводящей среды с площадью поперечного сечения S от точки 1 до точки 2:

2	r r	2	r	r 2	r	r
∫ ρ j dl		= ∫ E dl +∫Eстор dl
1		1		1

и рассмотрим каждый из трех интегралов по отдельности. Преобразуем интеграл в левой части уравнения:

	2	r r 2	r r	ρ dl
	∫ ρ j dl = ∫ j S				= i R1−2 .
				S
	1	1

Здесь R1-2 – сопротивление участка цепи, а произведение силы тока на уча-

стке цепи на сопротивление этого участка

i R1−2 = U

называется напряжением.

Электрическое сопротивление измеряется в Омах. 1 Ом = 1АВ .

Первый интеграл в правой части уравнения

2 r r

∫E dl = ϕ1 − ϕ 2

1

есть разность потенциалов на участке цепи, то есть работа сил электрического поля по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка. А второй интеграл

2 r r

∫Eстор dl = ε1-2 –

1

так называемая эдс, – работа сторонних сил по перемещению единицы по-

ложительного заряда от начала до конца участка.

Итак, мы получили формулу

iR1-2 = φ1 – φ2 + ε1-2,

которая называется законом Ома для участка цепи в интегральной форме, где

напряжение, разность потенциалов и эдс измеряются в вольтах. Этот за-

кон является частным случаем закона сохранения энергии, а напряжение есть суммарная работа и сил электрического поля, и сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца уча-

стка.

Обратим внимание, что разность потенциалов и эдс являются алгебраическими величинами, то есть могут быть отрицательными. Для правиль-

ной расстановки знаков при ε необходимо начало и конец участка обозна-

чить соответственно точками 1 и 2, ориентируясь по направлению тока (открытые стрелки на рисунках внизу). При этом напряжение будет всегда по-

ложительно. Разность потенциалов следует записать в виде φ1 – φ2. Тогда ε нужно будет записать со знаком «плюс», если направление сторонних сил, показанное на рисунках черными стрелками, совпадает с направлением тока, и со знаком «минус», если направления сторонних сил и тока противоположны.

				ε1-2 > 0								ε1-2 < 0
1					2		2				1
i								i
				ε1-2 < 0
												ε1-2 > 0
1					2		2		1
i								i

Электрический

ток

действует

создает

					ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ
	–			+			В случае замкнутой цепи нет ни начала, ни
							конца участка, и разность потенциалов обращается
r					ε		в ноль. Источник тока со своим внутренним сопро-
		R				i	тивлением r называется внутренним участком це-
							пи. К источнику тока подключен внешний участок
							цепи – нагрузка – с сопротивлением R.

Обратим внимание, что на внешнем участке цепи ток идет от «плюса» к «минусу», а на внутреннем участке от «минуса» к «плюсу».

При принятых обозначениях закон Ома для замкнутой цепи будет выглядеть так:

i (R + r) = ε.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Магнитное поле существенно отличается от электрического. Магнит-

ное поле создается только движущимся зарядом или электрическим то ком. Магнитное поле действует на движущийся заряд или ток с некоторой силой. Взаимодействие проводников с током осуществляется через магнитное поле. Схема взаимодействия показана ниже на рисунке.

Электрический

ток

создает

Магнитное

поле

действует

Силовые линии магнитного поля всегда замкнутые и расположены вокруг линии тока. Вдоль касательных к силовым линиям магнитного поля на-

правлен вектор магнитной индукции В, который является силовой характеристикой магнитного поля.

i

r

Вектор В всегда расположен в плоскости, перпендикулярной вектору скорости движения заряда или направлению тока. Направление векто-

Bра В определяется по правилу буравчика, как это показано на рисунке.

Замкнутость силовых линий магнитного поля говорит о его вихревом характере. Вследствие этого поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю:

r

∫B dS = 0 –

S

теорема Гаусса для магнитного поля.

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Так как магнитное поле создается электрическим током, циркуляция

вектора магнитной индукции вдоль любого замкнутого контура l прямо пропорциональна силе тока, пронизывающего этот контур:

r	r
∫ B dl = 0	∫ j dS	.
l	S

Эта формула называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Здесь µ0 – магнитная постоянная, S – площадь поверхности, натянутой на контур l, а

r

∫ j dS = iвнтр –

S

cила тока, пронизывающего контур.

То, что циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля,

также свидетельствует о вихревом характере магнитного поля.

Покажем для примера, как с помощью теоремы о циркуляции получить выражение для значения вектора магнитной индукции для бесконечно длинного прямого провода с током. Воспользуемся рисунком, расположенным выше. В качестве контура l возьмем изображенную там окружность радиуса r, перпендикулярную проводнику с током и с центром в этом проводнике. Эта окружность является одной из силовых линий магнитного поля. Во всех ее точках вектор В совпадает по направлению с вектором dl и одинаков по модулю. В этом случае циркуляция превращается в произведение:

r

∫B dl = B 2πr .

l

Контур пронизывает только ток i. Подставив все это в теорему о циркуляции, получим

B = µ 0 i .

2πr

СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Поскольку магнитное поле создается движущимся зарядом или током,

оно способно действовать с некоторой силой на движущийся заряд или ток. Но действие магнитного поля принципиально отличается от действия электрического поля. На рисунках ниже слева показана сила F, действующая на движущийся заряд, и справа – сила dF, действующая на элемент проводника с током. Эти силы перпендикулярны плоскости, содержащей движущийся заряд и вектор магнитной индукции. Их направление определяется по правилу буравчика или по правилу левой руки. Магнитные силы прямо пропорциональны модулю вектора магнитной индукции, модулю заряда и его скорости или силе тока. Кроме того, эти силы зависят от ориентации вектора В.

Магнитная сила, действующая на движущийся электрический заряд, называется силой Лоренца и вычисляется путем векторного произведения по формуле:

r	r	r	.
F	= qv	× B

Модуль этой силы будет равен

F = q vB sin α ,

где α – угол между векторами qv и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º.

F

		dF
	B	B
+q	α	α
	v	i·dl

Магнитная сила, действующая на элементарный проводник с током, называется силой Ампера и вычисляется также путем векторного произведения по формуле:

r	r	.
dF	= idl B

Модуль этой силы будет равен

r

dF = idl B sin α ,

где α – угол между векторами i·dl и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º.

Формула силы Ампера используется для определения вектора магнитной индукции как силовой характеристики магнитного поля:

B =	F	max		,	Н	= Тл (тесла).
					А м
		il

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

		Пусть	заряженная частица
		v
B		массы m движется со скоростью v,
	F	направленной	перпендикулярно
		вектору В. На рисунке этот вектор
r	+q

направлен от нас и изображен кружочком с крестиком.

Сила Лоренца перпендикулярна векторам скорости и магнитной индукции. Ее модуль вычислим по формуле силы Лоренца.

F = qvB .

Поскольку вектор силы перпендикулярен вектору скорости, сила Лоренца создает нормальное (центростремительное) ускорение. Поэтому заряженная частица будет двигаться по окружности некоторого радиуса r.

Воспользовавшись вторым законом Ньютона: mv 2 = qvB , получим фор-

r

мулу для расчета радиуса окружности: r = mv .

qB

РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы и ее пе-

ремещению. Следовательно, сила Лоренца работу не совершает. Работа совершается при перемещении в магнитном поле проводника с током. На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера. Работа совершается за счет энергии источника, поддерживающего ток в проводнике.

Найдем выражение для элементарной

Bработы δА, совершаемой при перемещении на

dr	вектор dr проводника длины l с током i в маг-
	нитном поле с вектором магнитной индукции
il	В.

r r	r	r
δA = FА dr	= (il × B) dr

Последнее выражение представляет собой смешанное векторное и скалярное произведение векторов, которое можно преобразовать:

r	r	r	× l ) B .
(il × B ) dr	= −i(l × dr ) B = i(dr

Выражение, стоящее в скобках представляет собой вектор элементарной площади:

r

dr × l = dS .

Мы получили

δA = i dS B = i dΦ B ,

то есть работа при движении проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение магнитного потока:

δA = i dΦ B .

	dr
i	a
	B
	il
	b

Пусть металлическая перемычка ab скользит вдоль П – образной металлической рамки, в FA которую включен источник тока. По перемычке сверху вниз идет

ток i.

Контур с током расположен перпендикулярно магнитному полю В. Вектор В направлен от нас (на рисунке он обозначен кружочком с крестиком). На перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера FA = ilB , по-

скольку векторы il и В перпендикулярны. Когда перемычка переместится вправо на вектор dr , площадь контура увеличится на величину площади серого прямоугольника il dr = i dS . Сила Ампера совпадает по направлению с вектором dr. Совершенная при этом работа будет равна:

δA = FA dr = ilB dr = iB dS = i dΦ B .

Итак, совершенная силой Ампера работа связана с изменением магнитного потока. Причем эта работа осуществлена за счет энергии источника тока.

ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

					Пусть опять перемычка ab
			+	a	скользит со скоростью v вдоль П –
i	B			v	образной рамки, но без источника
	FA			F	тока. Магнитное поле опять пер-
					пендикулярно рамке и вектор В
			–	b	направлен от нас. При движении

перемычки в контуре идет ток, как это показано на рисунке. Этот ток называется индукционным, а его возникновение есть один из случаев явления электромагнитной индукции.

Почему же возник ток? Единственной причиной появления тока может быть электрическое поле. Перемычка ab оказалась как бы источником тока, потенциал в точке а (+) оказался больше потенциала в точке b (–). Что же произошло? При движении перемычки увеличивается площадь контура и магнитный поток через него. Увеличение магнитного потока и явилось причиной появления электрического поля. С увеличением магнитного по-

тока связано совершение внешней силой F работы δA = i dΦ . На перемычку ab при этом действует сила Ампера FА. При постоянной скорости перемычки эти силы уравновешивают друг друга, и работа силы Ампера равна по модулю и противоположна по знаку работе силы F. Эта работа

δAинд = −i dΦ

есть не что иное, как работа сторонних индукционных сил внутри перемычки, а в расчете на единицу заряда – это эдс индукции:

εинд =	δAинд	= −i	dΦ	= −	dq		dΦ	= −	dΦ	.
	dq		dq
					dt dq				dt

Итак, мы получили формулу закона Фарадея:

εинд = − dΦ ,

dt

согласно которому эдс индукции равна производной от магнитного пото-

ка по времени со знаком «минус».

Вболее широком смысле явление электромагнитной индукции состоит

втом, что переменное магнитное поле порождает в пространстве вихре-

вое электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля уже не равна нулю, а представляет собой эдс индукции:

r

∫E dl = εинд.

l

Чтобы показать, что именно переменное магнитное поле является причиной появления эдс индукции, преобразуем производную от магнитного потока по времени:

					r	r		r	r
	dΦ		d					∂B
		=			∫B dS = ∫				dS .
								∂t
	dt		dt S				S

Теперь можно записать закон Фарадея в интегральной форме:

	r	r	∂B	r
	∫E dl = −∫			dS	.
			∂t
	l	S

ЯВЛЕНИЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Как мы уже знаем, источником магнитного поля являются движущиеся

электрические заряды – электрический ток. При этом циркуляция вектора В по любому контуру пропорциональна потоку вектора поверхностной плотности тока через поверхность, натянутую на этот контур:

r	r
∫ B dl = 0	∫ j dS	.
l	S

Великий английский физик Максвелл заметил, что с этим уравнением не все в порядке. Ведь предполагаемый контур можно мысленно стянуть в точку. Тогда циркуляция вектора В станет равной нулю, а поверхность, натянутая на этот контур, станет замкнутой. Если левая часть уравнения равна нулю, то и правая часть тоже будет равна нулю. Итак, мы получим

r

∫ j dS = 0 ,

S

то есть электрический заряд окажется запертым внутри воображаемой замкнутой поверхности, чего быть не может.