§5. Машина Тьюринга.

Понятие конечного автомата возникло из близкого понятия, введенного в 1936 г. логиком Тьюрингом. Тьюринг рассмотрел гипотетическую машину, имеющую конечное множество внутренних состояний и одну бесконечную ленту, разделенную на ячейки, которые машина может передвигать вправо или влево на одну ячейку за такт. В каждой ячейке машина может записывать символ из конечного алфавита. Первоначально лента должна быть пустой, кроме конечного числа ячеек, заполненных заранее. (Эти заранее заполненные ячейки можно представлять программой запуска машины).

Особенности машины Тьюринга, отличающие ее от конечного автомата, состоят в следующем:

1) лента машины Тьюринга бесконечна;

2) машина Тьюринга может двигаться вдоль ленты в любом направлении.

Таким образом, машина Тьюринга имеет потенциально бесконечную память, которой она пользуется в ходе вычислений. Кроме того, каждую ячейку машина может просматривать многократно.

Формальное определение машины Тьюринга следующее.

Определение 1: Машина Тьюринга – это пять объектов , из которых:

1) - есть конечный алфавит символов, которые могут быть записаны в ячейках и являются одновременно входными и выходными: ;

2) - есть конечное множество внутренних состояний,;

3) -функция перехода в новое состояние, она действует изв;

4) - функция выхода,;

5) - функция, регулирующая движение ленты, она действует изво множество.

Машина Тьюринга работает по определенным тактам следующим образом. Она начинает работать, находясь в начальном состоянии . После считывания первого символа последовательности из ячейки машина переходит в новое внутреннее состояние, определяемое функцией. Затем записывает в ячейке новый символ, являющийся значением функции, перемещает ленту вправо (П) или влево (Л), или остается на месте и прекращает работу (останов.) в зависимости от значения функции .

Таким образом, работа машины состоит в повторении следующего цикла: считывания символа из ячейки, переход в новое внутреннее состояние, впечатывание нового символа в эту ячейку, выбор которого определяет функция (может оказаться, что это тот же самый символ), сдвиг ленты вправо или влево, либо остановка. Лента бесконечна в обоих направлениях, однако вначале (и, значит, после любого такта) заполнено лишь конечное число ячеек.

Алфавит машины Тьюринга обычно состоит из символов . Символ # служит для обозначения пустых ячеек, символынеобходимы для записи чисел. Для того чтобы записать на ленте ненулевое число, нужно в ячейки вписать столько единиц, какова величина числа. Ноль служит для записи одноименного числа, а также выступает в качестве разделителя между числами. Но некоторых задачах алфавит может быть произвольным.

Пример. Машина Тьюринга дана следующим описанием. Она считывает входную последовательность, состоящую из нулей и единиц, печатает символ Ч, если число считанных единиц четное и Н, если нечетное. Строке из нулей и единиц предшествует и последуют пустые ячейки, обозначаемые символом #. Символы Ч и Н печатаются в первой пустой ячейки вслед за входной строкой.

Решение: Таким образом, алфавит имеет вид: . Множество внутренних состояний:, где- начальное состояние,- число считанных единиц четно,- число прочитанных единиц нечетно. Так задаются множества. Функции можно задать следующим образом:

Остановка машины происходит после того, как будут выданы нужные результаты.

Функции удобно рассматривать, пользуясь обозначениями Тьюринга. В этом случае машина Тьюринга описывается множеством строк следующего вида:. В каждой такой строке каждый символ определяет один из пяти тактов работы машины:

- текущее состояние машины;

- считываемый из ячейки символ;

- следующее состояние машины,;

- символ, печатаемый в ячейке,;

- одна из команд:.

Набор строк подобного вида называют программой работы машины Тьюринга.

В этих обозначениях описанная выше машина задается так:

,

,

,

,

,

,

,

,

Программы работы машины Тьюринга содержат все известные алгоритмические моменты (циклы, ветвления).

Следующий несложный результат показывает, что машины Тьюринга умеют делать все, что умеют конечные автоматы.

Теорема: Пусть - конечный автомат. Пустьи определены основные функции для всех:

,

,

Тогда машина Тьюринга ставит в соответствие входным строкам те же выходные строки, что и автомат.

Доказательство: Любую входную строку автоматаможно записать на ленте машинытак, чтобы входной символбыл записан в-й ячейке. Описанная выше машина Тьюринганапечатает на выходе символв-й ячейке, перейдет в состояниеи передвинется в-ю ячейку. Добравшись до-й ячейки, она остановится.

Замечание: Если входной алфавит конечного автоматасодержит пробел, он должен обозначатся специальным символом в алфавите, чтобы избежать неоднозначности. Значения функций,мы не определили, ибо для нас они безразличны. Мы получили не полностью описанные автоматы с безразличными состояниями.

Машины Тьюринга обладают большими возможностями, чем конечные автоматы. Можно, например, описать машины Тьюринга, вычисляющие разные функции от чисел, подаваемых на вход. Стандартным представлением неотрицательного числа в машине Тьюринга является последовательность изединиц, стоящих подряд. Два таких числа отделяются нулем. Например, строка ##111011## представляет упорядоченную пару чисел (3,2). Строка ##110111101## представляет собой последовательность чисел (2, 4, 1).

Пример: Следующая машина Тьюринга складывает два неотрицательных целых числа, поданных на вход:

,

,

,

,

,

,

,

Машина превращает две последовательности единиц, разделенные нулем, в последовательность единиц, представляющую число, равное сумме чисел на входе. Можно описать машину Тьюринга, способную сложить три целых числа, четыре целых числа или любое число, даже неограниченное наперед целых чисел.