11. Несобственные интеграла с бесконечными пределами интегрирования:

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,+∞] , тогда по определению пола­гают: несоб­ственный интеграл первого рода.

Если существует конечные предел в * то говорят, что Н.И. сходится, если предел не существует или бесконечен – интеграл называется расходящимся.

Для исследования сходимости:

если на промежутке [a,+∞) не­прерывные функции f(x), ϕ(x) удовлетворяющие ус­ловию 0≤f(x)≤ϕ(x),то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость.

Предельный признак сходимости: если существует предел ,то несобственные интегралы , либо оба сходятся либо оба расходятся.

Теорема 3: из сходимости интеграла , следует сходимость интеграла.

13. Уравнение связывающее независимую пере­менную, искомую функцию и ее производные на­зывается дифференциальным уравнением (ДУ).

Решением ДУ называется функция которая при подстановке в уравнение обращают его в тожде­ство.

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у=ϕ(х,с), содержащее одну произвольную постоянную и удовлетворяющая следующим усло­виям:1). Она является решением ДУ при каждом фиксируемом значении С. 2). Каково бы ни было начальное условие y(x0)=y0 найдется такое значе­ние произвольной постоянной с=С0, что функция у=ϕ(х,с0) будет удовлетворять заданному началь­ному условию.

Частным решение ДУ первого порядка называют любую функцию у=ϕ(х,с0) полученную из ОР при конкретных значениях постоянной.

Теорема: Если функция f(x,y) м ее частная произ­водная f’(x,y) непрерывны в некоторой области Д содержащей точку(х0,у0), то существует единствен­ное решение у=у(х) ДУ y’=f(x,y) удовлетворяющее начальному условию.

17. 1-ый тип: уравнения не содержащие явно искомую функцию у: F(x,y’,y’’)=0. Уравнение допускает понижение порядка(т.е. сводится к уравнению более низкого порядка – к первому) с помощью замены y’=z(x), где z(x)-новая неизвестная функция, тогда y’’=z’ и уравнение примет вид F(x,z,z’),решая его находим функцию z(x)=ϕ(x,C1), в итоге искомая функция у находится интегрированием:

2-ой тип: уравнение не содержащее явно независимую переменную х: F(y,y’,y’’)=0. Примени метод понижения порядка, сделаем замену: y’=p(y) y’’=(p(y))’_x=dp/dy*y’_x=pdp/dy,уравнение примет вид F(y,p,pdp/dy)=0 - ДУ 1-го порядка, откуда находим функцию p=ϕ(y,C1) или dy/dx=ϕ(y,C1)–с разделяющими переменными (РАЗДЕЛИТЬ ПЕРЕМЕННЫЕ). Du/ϕ(y,C1)=dx. Далее интегрируем.

18. ЛОДУ 2-го порядка: y’’+p(x)y’+q(x)y=0 *

Функции y1(х),y2(х) называются линейно-зависи­мыми на (а,в), если существуют такие числа α1,α2, из которых хотя бы одно отлично от 0, что выпол­няется равенство α1y1(х)+α2y2(х)=0 для любых х из интервала (а,в). Если же из выполнения указанного равенства следует, что α1=α2=0, то функции y1(х),y2(х) называются линейно-независимыми на (а,в).

О линейно-зависимых или независимых y1(х),y2(х) можно судить по определителю: -вронскиан (определитель Вронского).

ни в одной точке (а,в), тогда и только тогда, когда функции y1(х),y2(х) линейно-независимы.

Теорема: (о структуре ОР ЛОДУ 2-го порядка) если y1(х) и y2(х) линейно-независимые решения урав­нения (*), то функция y=C1*y1(x)+C2*y2(x)-где С1,С2 – произвольные постоянные являющиеся общим решением уравнения (*).

19. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициен­тами: y’’+py’+qy=0

1. Д˃0 к1≠к2 к1,к2=(-p+(-)/2a () ОР (y=C1e^k1x+C2e^k2x)

2. Д=0 к1=к2=к к=-p/2 (y1=e^kx y2=e^kxx) OP (y=C1e^kx+C2e^kxx)

3. Д˂0 Д=-р-4q˂0 k1,k2=(-p+(-)i/2=α+(-)βi

OP (y=C1e^αxcos(βx)+C2e^αxsin(βx)=e^αx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

20. ЛНДУ 2-го порядка: y’’+py’+qy=f(x)

Теорема( о структуре ОР ЛНДУ 2-го порядка) об­щим решением ЛНДУ является сумма общего ре­шения однородного уравнения соответствующее y’’+py’+qy=f(x) и некоторого частичного решения уравнения y’’+py’+qy=f(x): y_он=у_оо+у_чн