21. Метод вариации произвольных постоянных:

Пусть y=C1(x)y1+C2(x)y2-где С1(х),С2(х) некоторые функции подлежащие определению

Для нахождения С1(х),С2(х) потребуем чтобы у_чн было решением уравнения y’’+py’+qy=f(x) (*)

Найдем у_чн’= C1(х)’y1++C1(x)y1’+C2(x)’y2+C2(x)y2’ , пусть для упрощения C1’(x)y1+C2’(x)y2=0, тогда y’_чн=C1(x)y1’+C2(x)y2’ , далее y’’_чн=C1’(x)y1’+C1(x)y1’’+C2’(x)y2’+C2(x)y2’’ подстав­ляем в уравнение (*).

Требуем (…………..)=f(x), и так, чтобы y=C1(x)y1+C2(x)y2 было решением уравнения, должны выполнятся следующие требования:

Из полученной системы определяем С1’(х), С2’(х), находим С1(х), С2(х): интегрированием

Записываем учн=С1(х)у1+С2(х)у2, после чего у_он=у_оо+у_чн

22. Метод неопределенных коэффициентов(метод подбора)

23. Если существует предел интегральной суммы при n→∞(λ→0) который не зави­сит ни от способа разбиения области Д на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д и обо­значается .

Свойства двойного интеграла:

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3. Монотонность: а). если f(x,y)≥0 в Д, то б). еслиf(x,y)≤g(x,y), то

4. Оценка двойного интеграла: пусть м- наи­меньшее, М- наибольшее значения функции z=f(x,y) в области Д, тогда m(Sd)≤≤M(Sd)

5. Аналог теоремы о среднем: пусть f(x,y) не­прерывна в Д, тогда существует М₀(х0,у0) ϵ Д что

S(x)= - площадь поперечного сече­ния цилиндрического тела.

V=- объем ци­линдрического тела

24.Если существует предел интегральной суммы , при →∞(λ→0) независящей ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них, то он называется тройным ин­тегралом от функции f по области V и обозначается

Свойства тройного интеграла:

1. Линейность

2. Аддитивность:

3. Монотонность: если f(x,y,z)≤g(x,y,z)

4. _тела

5. ценка тройного интеграла: m*V≤

6. 

7. p=p(x,y,z) _тела

25. Если существует предел интегральной суммы приn→∞(λ=max →0), кото­рый не зависит ни от способа разделения кривой на части, ни от выбора точек, то он называетсякриволинейным интегралом от функции f(x,y) по длине дуги и обозначается:

Свойства КРИ-1: 1.

2.

3.

4. f(x,y)≤g(x,y),

5. - длина дуги

6. p(x,y), m=

7. , где (хс,ус)АВ

27. пусть функция Р(х,у), Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными в области Д, тогда имеет место формула:

-где - граница области Д и интегрированиепроизводится в положительном направлении, ко­гда при движении пообласть Д остается слева. На­зываетсяформулой ГРИНА, она связывает КРИ-2 по границе области с двойным интегралом, по са­мой области.

Условия независимости КРИ-2:

1. Для любой замкнутой кривой расположен­ной в Д:

2. Для любых 2-х точек А и В лежащих в Д значе­ний интеграла , не зави­сит от выбора пути интегрирования целиком лежащего в Д.

3. P(x,y)dx+Q(x,y)dy – представляет собой пол­ный дифференциал некоторой функции u(x,y) определенного в области Д т.е. такой, что du=Pdx+Qdy

4. В области Д всюду :

28. Пусть задана поверхность S и функция f(x,y,z), разбивающая поверхность на части площадями . В каждой части произвольно выбирают точку Мi(xi,yi,zi), составляют интегральную сумму и нахо­дят ее предел называемый поверхностным инте­гралом(ПОВИ-1):

Свойства: 1. f=1 _{поверхности}

2. Если задана плотность поверхности то, _{поверхности}

29. Рассмотрим 3 непрерывные функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и выберем определенную сторону поверхности S (ориентированную поверхность). Выбранную сторону S разбиваем на части, затем проектируем эти части на координатные плоскости и строим интегральные суммы например: , гдеэто площадь проекции соответствующей части на плоскость Оху (+)-если нормаль составляет с Оz острый угол и (-) – если ту­пой. В пределе при n→∞ такая сумма дает ПОВИ-2

Общий вид ПОВИ-2:

30. Если в каждой точке М некоторой области задан вектор (M), то говорят, что в области задано векторное поле (если рассматриваемая область на плоскости, поле называется плоским).

Характеристики векторного поля: 1. Поток П_S(векторного поля, через ориентированную поверх­ность S называется ПОВИ-1 скалярного произведе­ния вектора на единичный вектор нормали к поверхности S: П_S(

2. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой ориентированной кривой L, называется следующее КРИ-2: Ц_L(=

31. Дивергенцией векторного поля называется ве­личина: = он характеризует мощ­ность источника, если ˃0 в точке М и мощ­ность стока, если˂0 в точке М.

Ротором (вихрем) векторного поля называется (m)= = (++

Если (m)поле называется без вихревым или по­тенциальным, при этом существует такая скалярная функция u(m) что grad u=,u- называется потен­циалом поля.

Векторное поле в каждой точке которого дивергенция равна 0 , называется соленоидальным.