тов задачи. В таком случае ограничения в форме неравенств учитываются путем расширения множества критических точек, что и было выполнено выше. В общем случае неравенства, определяющие допустимую область, могут иметь произвольный вид и не разрешаться относительно аргументов задачи.

Порядок аналитического решения задачи на условный экстремум при наличии ограничений в форме неравенств для общего случая представлен, например, в пособии [12]. Там же более подробно изложены рассмотренные в настоящем разделе вопросы и содержится большое количество примеров.

Следует также отметить, что для большинства практических задач, в силу сложности получаемых при формализации уравнений, аналитического решения достичь не удается. В таких случаях применяется метод нелинейного программирования, рассмотренный в разд. 4 настоящего пособия.

3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

3.1. Постановка задачи оптимального управления

Динамические задачи наиболее распространены в области управления динамическими системами.

Обратимся к описанию системы управления в пространстве состояний. Модель объекта управления задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, возможно, нестационарной и нелинейной:

	dX(t)		= f (X,U ,t),	(2)
	dt
где X(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))			– вектор состояния	объекта,
U(t)=(u1(t),u2(t),…,xr(t)) – вектор управления.

С точки зрения классической теории автоматического управления, задача управляющего устройства – выработка такого управления U(t), чтобы качество функционирования системы удовлетворяло заданным требованиям (показатели точности, запаса устойчивости, быстродействия системы находились в заданных пределах). Однако эта задача может быть сформулирована и в другой форме: задача управляющего устройства – выработка такого управления, чтобы качество функционирования системы было наилучшим в определённом смысле (например, быстродействие должно быть максимальным). Такая постановка задачи имеет

21

ряд особенностей.

1.Если не ограничиваться рассмотрением линейных стацио-

нарных систем, то в условиях задачи в общем случае необходимо оговаривать начальное X0 =Х(t0 ) и конечное состояния объекта X1 =Х(t1 ). Тем самым задаётся временной интервал [t0 ; t1 ], для которого и требуется найти оптимальное управление. Границы этого интервала и соответствующее значение вектора X далеко не всегда оказываются фиксированными. В конкретных задачах часть из этих граничных условий может быть неизвестна или может принадлежать некоторой области. Следствие этого – разнообразие задач оптимизации управления.

2.Для реальных объектов управления, как правило, приходится учитывать ограничения на составляющие вектора управления или на переменные состояния. Таким образом, оптимальное управление ищется среди допустимых управлений, принадлежащих некоторой замкнутой области С в r-мерном пространстве управлений. Допустимым управлением является всякая кусочно-

непрерывная функция U (t) C при t [t0 ; t1].

3. При достаточном разнообразии критериев качества управления их принято задавать единым способом в форме функционала

J (X,U )= Ψ(X0 , X1,t0 ,t1 )+ t∫1 f0 (X,U )dt ,

t0

где виды Ψ и f0 определяют конкретный критерий для рассматриваемой задачи.

В итоге основную задачу определения оптимального управления можно сформулировать следующим образом: пусть заданы уравнения объекта управления (2), начальное и конечное состояния объекта. Среди всех допустимых уравнений, для которых траектории системы (2) проходят через начальное и конечное состоя-

ние, выбрать такое, для которого J (X,U )→ min .

Это задача синтеза оптимального управления.

Второй вариант постановки задачи оптимизации – задача синтеза оптимального регулятора. Её отличие состоит в том, что управление ищется не как функция времени U(t), а как функция вектора состояния системы U(X). Тем самым непосредственно определяется уравнение регулятора, обеспечивающего оптимальное качество системы, т.е. уравнение оптимального регулятора.

Выбором подынтегральной функции f0 и функции Ψ миними-

22

зируемого функционала задаются конкретные критерии оптимальности управления. Здесь может быть достигнуто широкое разнообразие. Рассмотрим наиболее распространенные на практике критерии.

1. Критерий максимального быстродействия сводится к минимизации времени перехода объекта из состояния X0 в X1 , другими словами, времени переходного процесса:

t1

J (X,U )= t1 −t0 = ∫dt → min .

t0

2. Критерий минимального расхода топлива:

J (X,U )= t∫1 ∑r β j u j (t)dt → min ,

t0 j=1

где xj (t) – составляющие вектора управления, βj – весовые коэффициенты, выбором значений которых можно учесть расход горючего или другого рабочего тела на формирование сигналов управления по разным каналам.

3. Комбинированный критерий

J (X,U )= tt∫1 β0 + ∑jr=1β j u j (t) dt → min

0

позволяет учесть при соответствующем выборе весовых коэффи-

циентов β0 и βj и время переходного процесса, и расход топлива. 4. Критерий минимума интеграла от квадрата ошибки системы:

J (X,U )= t∫1	∑n pi xi2dt	или J (X,U )= t∫1	XТPXdt .
t	i=1	t
0		0

Здесь Т – символ транспонирования вектора, P – матрица весовых коэффициентов размерностью n × n . Если рассматривается стационарная система, то t1 в этом критерии чаще всего задаётся бесконечным, а xi(t1)=0, i=1,2,...n.

5. Тот же критерий для конечного интервала времени иногда вводится с учётом конечной ошибки системы:

J (X,U )= t∫1 XТPXdt + XТ (t1 )RX(t1 ),

t0

где R – матрица размерностью n × n ; момент t1 задаётся фиксиро-

23

ванным (t1 << ∞); значения xi (t1 ) в условиях задачи не фиксиру-

ются.

6. Критерий минимума расхода энергии:

J (X,U )= t∫1		∑r q ju2j dt	или J (X,U )= t∫1U ТQUdt ,
t	0	j=1	t
			0

где Q – симметричная матрица размерностью r ×r .

7. Квадратичный критерий качества в наиболее общем виде:

J (X,U )= t∫1 (XТPX +U ТQU )dt + XТ (t1 )RX(t1 ),

t0

где t1 << ∞. Это комплексный критерий, обеспечивающий мини-

мизацию интеграла от ошибки и расхода энергии. Если рассматривается t1 → ∞ , то последнее слагаемое отсутствует.

8. В задачах оптимизации управления конечным состоянием системы используют критерий вида

J (X,U )= Ψ(X1,t1 )= XТ (t1 )RX(t1 ).

Конечное состояние в условиях задачи, очевидно, не задаётся. Например, для системы самонаведения ракеты в качестве критерия оптимальности может рассматриваться конечный промах

(квадрат конечного промаха):

Ψ(X1,t1 )= (xр(t1 )− xц(t1 ))2 + (yр(t1 )− yц(t1 ))2 + (zр(t1 )− zц(t1 ))2 ,

т. е. сумма квадратов разностей координат ракеты и цели в момент t1 окончания процесса наведения.

Для задач синтеза оптимального управления при отсутствии ограничений на управление используют классические методы вариационного исчисления.

При наличии ограничений на управление наиболее удобен принцип максимума Л.С. Понтрягина. Для этих же задач применяется метод динамического программирования, разработанный Беллманом.

Эти методы позволяют получить аналитическое решение для наиболее простых задач или свести решение задачи к решению некоторой системы нелинейных алгебраических уравнений, которое может быть далее получено стандартным численным методом.

Однако при достаточной сложности модели объекта управления это оказывается слишком трудоёмким, и приходится применять численные методы оптимизации.

24